Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz” Universidade de São Paulo LCE 0220– Cálculo II Profa. Dra. Andreia Adami deiaadami@terra. com. br

Controle de Aula Aprovação: MF maior ou igual a 5, 0 e Frequência maior ou igual a 70% (32 aulas no máximo 9 faltas)

Avaliação ü Método: Exercícios em classe, extraclasse e provas; ü Critério: em que: P 1: (1ª prova) no dia 05/04 (quinta-feira) em sala de aula, em horário de aula, 9 pontos prova e 1 ponto exercício; P 2: (2ª prova) no dia 17/05 (quinta-feira) em sala de aula, em horário de aula, 9 pontos prova e 1 ponto exercício; P 3: (3ª prova) no dia 28/06 (quinta-feira) em sala de aula, em horário de aula, 9 pontos prova e 1 ponto exercício; Prova Repositiva: matéria toda, no dia 04/07 (quartafeira) em sala de aula, em horário de aula, a prova vale 10 pontos.

Programa resumido ü Integração indefinida; ü Técnicas de integração; ü Integração definida e aplicações da integração definida; ü Integrais impróprias, funções gama e beta; ü Funções de várias variáveis: derivadas parciais, integração múltipla; ü Introdução às Equações Diferenciais

Importante ü O aluno que não comparecer a uma das três provas fará uma prova repositiva ao final do semestre contendo todo o conteúdo programático. ü O aluno com e o mínimo de 70% de frequência tem direito a avaliação de recuperação, feita sob a forma de uma prova com duas horas de duração, aplicada após o término das aulas, em data determinada pela USP.

Bibliografia Básica ü FLEMMING, D. M. ; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limites, derivação, integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 464 p. ü FLEMMING, D. M. ; GONÇALVES, M. B. Cálculo B: funções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais curvilíneas e de superfície. 2ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 448 p. ü MORETTIN, P. A. ; HAZZAN, S. ; BUSSAB, W. O. Cálculo: funções de uma e várias variáveis. 2ª ed. São Paulo: Saraiva, 2012, 416 p. ü LEITHOLD, L. O cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. V. 1.

Bibliografia de apoio ü BOYCE, W. E. DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 10ª ed. São Paulo: LTC, 2015, 680 p; ü LARSON, R. Cálculo Aplicado: Curso Rápido. Cengage Learning, 2011. 648 p. ü SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2010. Vol. 2. 828 p. ü SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1995. Vol. 2.

ü RELEMBRANDO. . .

Regras de Derivadas ü Derivada da Função Constante Seja f(x) = c , para c qualquer, então: f ’(x)=0. Exemplo: f(x) = 2 → f ’(x)=0

Regras de Derivadas •

Regras de Derivadas •

Regras de Derivadas ü Derivada da Função Exponencial Aplicando logaritmo na função: Derivando ambos os lados e aplicando a regra da cadeia do lado direito, temos: Caso especial: f(x)= ex → f ’(x)= ex. lne= ex, pois lne =1

Regras de Derivadas ü Derivada das Funções Seno e Cosseno Se , para todo x real; Se , para todo x real

Propriedades operatórias ü Derivada do Produto de uma constante por uma função: Seja f uma função e c uma constante. Se g é uma função definida por: g(x) = c f(x), então, g ’(x)= cf’(x)= cnxn-1. Exemplo: f(x)= 2 x 2 → f ’(x)=2(2 x 2 -1)=4 x

Propriedades operatórias ü Derivada de uma soma e/ou diferença Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x). Se f´(x) e g´(x) existem, então h´(x) = f´(x) + g´(x) O mesmo vale para h(x) = f(x) - g(x) Se f´(x) e g´(x) existem, então h´(x) = f´(x) - g´(x) Exemplo: f(x)= x 2 +5 → f ’(x)=2 x 2 -1+ 0 = 2 x

Propriedades operatórias ü Derivada de um produto Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x). g(x). Se f´(x) e g´(x) existem, então a função derivada h’(x) será: h´(x) = f’(x). g(x) + f(x). g’(x). O mesmo vale para h(x) = f(x) - g(x) Se f´(x) e g´(x) existem, então h´(x) = f´(x) - g´(x) Exemplo: f(x)= x 2 +5 → f ’(x)=2 x 2 -1+ 0 = 2 x

Propriedades operatórias ü Derivada de um produto Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x). g(x). Se f´(x) e g´(x) existem, então a função derivada h’(x) será: h´(x) = f’(x). g(x) + f(x). g’(x). O mesmo vale para h(x) = f(x) - g(x) Se f´(x) e g´(x) existem, então h´(x) = f´(x) - g´(x) Exemplo: f(x)= x 2 +5 → f ’(x)=2 x 2 -1+ 0 = 2 x

Propriedades operatórias ü Derivada de um quociente Sejam f e g funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x), onde g(x) ≠ 0. Se f´(x) e g´(x) existem, então a função derivada h’(x) será: Exemplo:

Propriedades operatórias ü Regra da cadeia Utiliza-se a regra da cadeia para situações onde temos que derivar funções compostas, isto é, quando a variável independente também é uma função. Assim, se y=f(u) e u=g(x), e as derivadas dy/du e du/dx existem, então a função composta y=u(g(x)) tem derivadas dadas por: dy/dx= dy/du* du/dx, ou seja: f´(x) = f’(u)*u’(x) Isto é, é a derivada da função “de fora” vezes a derivada da função “de dentro” Exemplo, seja f(x) = (x 2 -1)3, fazendo f(x)= u 3 e u(x) = x 2 – 1. f’(x) = 3 u 2. u’=3 (x 2 -1)3 -1. (2 x) = 6 x(x 2 -1)2