CLASE 10 PARTE 1 DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS Bibliografa

CLASE 10 PARTE 1: DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS Bibliografía de la Clase 10: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2. 1, parágrafos 22 y 23. Ejercicios para las clase 10 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 1 a 5 y 13. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

DERIVADAS PARCIALES Dada La derivada parcial de f respecto de x es la derivada de f como función de una sola variable x, dejando y constante. La derivada parcial de f respecto de y es la derivada de f como función de una sola variable y, dejando x constante.

Notaciones para las derivadas parciales: EJEMPLO:

INTERPRETACIÓN GRÁFICA: Recta verde de pendiente Recta rosada de pendiente

PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES: Se definen las tres derivadas parciales ó derivadas respecto de x, y ó z respectivamente dejando las otras dos variables constantes. PARA FUNCIONES DE q VARIABLES:

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Para funciones f(x) de una sola variable real: Existe derivada f ’ IMPLICA que f es continua Para funciones f(x_1, x_2, …, x_q) de más de dos variables reales: Existen las derivadas parciales NO IMPLICA que f sea continua. Existen funciones de varias variables: • continuas que no tienen derivadas parciales. • que tienen derivadas parciales y no son continuas. • que no son continuas ni tienen derivadas parciales. • que son continuas y tienen derivadas parciales.

CLASE 10 PARTE 2: MATRIZ JACOBIANA Bibliografía de la Clase 10: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2. 1, parágrafos 22 y 23. Ejercicios para las clase 10 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 1 a 5 y 13. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

MATRIZ JACOBIANA. J f (a) es la matriz con s filas y q columnas, tal que en la fila i, columna j, tiene el término (a)

EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto a = (1, 1) de la función f siguiente:

EJEMPLO. Hallar la matriz Jacobiana en el punto (1, 2) de

CLASE 10 PARTE 3: DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Y FUNCIONESDE CLASE Cr. Bibliografía de la Clase 10: • Juan de Burgos: Cálculo Infinitesimal en Varias Variables. Capítulo 2, sección 2. 1, parágrafos 22 y 23. Ejercicios para las clase 10 • Práctico 4 del año 2006, ejercicios 1 a 5 y 13. Cálculo Diferencial e Integral II. Eleonora Catsigeras. IMERL. Fac. de Ingeniería. Udela. R. J. Herrera y Reissig 565. Montevideo. Uruguay. Setiembre 2006. Derechos reservados.

DERIVADAS PARCIALES SEGUNDAS: Se obtiene derivando parcialmente respecto a una variable x_i (dejando las demás fijas) y a lo que se obtiene derivándolo parcialmente respecto a otra o la misma variable x_j (dejando las demás fijas). Derivadas “iteradas”

EJEMPLO: Calcular las derivadas parciales primeras y segundas de f. Verificar que las derivadas iteradas son iguales entre sí.

DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales primeras y son todas continuas. DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales primeras y segundas y son todas continuas. DEFINICIÓN: si existen derivadas parciales hasta orden r y son todas continuas.

EJEMPLO: Encontrar si existe una función f(x, y) tal que: