TMEC053 Fundamentos de Aerodinmica Cap 02 Princpios e

TMEC-053 Fundamentos de Aerodinâmica Cap. 02: Princípios e Equações Fundamentais 1

Revisão de relações vetoriais • Operações básicas em álgebra vetorial: – Soma e subtração de vetores. – Produto interno ou produto escalar. – Produto externo ou produto vetorial: – e é o vetor unitário perpendicular ao plano de A e B na direção definida pela “regra da mão direita”. 2

Revisão de relações vetoriais • Operações básicas em álgebra vetorial: 3

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas cartesianas. 4

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas cartesianas. – Representação da posição de um ponto P no sistema de coordenadas: – Representação de um vetor A no sistema de coordenadas: 5

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas cilíndricas. 6

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas cilíndricas. – Representação de um vetor A em coordenadas cilíndricas: – Transformação entre coordenadas cartesianas e cilíndricas: 7

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas cilíndricas. – Transformação entre coordenadas cilíndricas e cartesianas: 8

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas esféricas. 9

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas esféricas. – Representação de um vetor A em coordenadas esféricas: – Transformação entre coordenadas cartesianas e esféricas: 10

Revisão de relações vetoriais • Sistema de coordenadas esféricas. – Transformação entre coordenadas esféricas e cartesianas: 11

Campos escalares e vetoriais • Exemplos de campos escalares: pressão, massa específica e temperatura: 12

Campos escalares e vetoriais • Exemplo de campo vetorial: velocidades. 13

Produtos escalares e vetoriais • Coordenadas cartesianas 14

Produtos escalares e vetoriais • Coordenadas cilíndricas 15

Produtos escalares e vetoriais • Coordenadas esféricas 16

Gradiente de um campo escalar • Considere um campo escalar • O gradiente de p, , em um dado ponto no espaço, é definido como um vetor: – Cuja magnitude é a máxima taxa de variação de p por unidade de comprimento de uma coordenada espacial em um dado ponto. – Cuja direção é a da máxima taxa de variação de p em um dado ponto. 17

Gradiente de um campo escalar • Gradiente de um campo escalar 18

Gradiente de um campo escalar • Derivada direcional: consiste na taxa de variação de um escalar p por unidade de comprimento na direção s 19

Gradiente de um escalar • Coordenadas cartesianas 20

Gradiente de um escalar • Coordenadas cilíndricas 21

Gradiente de um escalar • Coordenadas esféricas 22

Divergente de um campo vetorial • Considerando-se um campo vetorial • Supondo-se que esse campo seja o de velocidades. À medida que uma partícula de fluido se move ao longo de uma linha de corrente, seu volume pode se modificar. A taxa de variação de volume está relacionada ao que se chama de divergente de V. 23

Divergente de um campo vetorial • Considerando-se um campo vetorial • Coordenadas cartesianas 24

Divergente de um campo vetorial • Coordenadas cilíndricas 25

Divergente de um campo vetorial • Coordenadas esféricas 26

Rotacional de um campo vetorial • Considerando-se um campo vetorial • Supondo-se que se trate do campo de velocidades de uma partícula fluida movendose por uma linha de corrente. Durante esse deslocamento, a partícula de fluido pode apresentar uma rotação ao longo da linha de corrente. Tal rotação está relacionada ao chamado rotacional do campo vetorial V. 27

Rotacional de um campo vetorial • Coordenadas cartesianas 28

Rotacional de um campo vetorial • Coordenadas cilíndricas 29

Rotacional de um campo vetorial • Coordenadas esféricas 30

Integrais de linha • Considerando-se um campo vetorial • E também uma curva C no espaço conectando dois pontos a e b 31

Integrais de linha • Definindo-se o vetor ds = n ds, então a integral de linha de A sobre a curva C de um ponto a a um ponto b é definido como 32

Integrais de linha • Se a curva C for fechada, tem-se a integral • Para a qual o sentido anti-horário ao longo de C é considerado positivo. 33

Integrais de superfície • Considerando-se uma superfície aberta S limitada por uma curva fechada C • Sobre a superfície, em um ponto P tem-se que sua área é dada por d. S e n é o vetor normal unitário à superfície. 34

Integrais de superfície • A orientação de n é tal que obedeça à regra da mão direita para o movimento ao longo de C. • Definindo-se o vetor de área elementar d. S como sendo igual a n d. S, tem-se: – A integral de superfície de um escalar p sobre a superfície aberta S (resultando em um vetor): 35

Integrais de superfície – A integral de superfície de um vetor A sobre a superfície aberta S (resultando em um escalar): – A integral de superfície de um vetor A sobre a superfície aberta S (resultando em um vetor): 36

Integrais de superfície • No caso de uma superfície fechada (como uma esfera ou um cubo): 37

Integrais de volume • Seja um volume V no espaço e ρ um campo escalar nesse espaço. Assim: – A integral de volume do escalar ρ sobre o volume V, resultando em um escalar é 38

Integrais de volume • Seja A um campo vetorial no espaço. Neste caso, para o mesmo volume V, tem-se: – A integral de volume de um vetor A sobre um volume V, resultando em um vetor é 39

Relações entre integrais • Teorema de Stokes: • Teorema da Divergência de Gauss 40

Relações entre integrais • Teorema do Gradiente 41

Abordagens para fluidos • Princípios básicos das equações de conservação: – A massa não pode ser criada ou destruída. – A taxa de variação do momentum de um corpo é igual à força resultante exercida sobre o mesmo (Segunda Lei de Newton). – A energia não pode ser criada ou destruída, ela pode apenas mudar de forma (Primeira Lei da Termodinâmica). 42

Abordagens para fluidos • Abordagem por volumes de controle: – Obtenção direta das equações de conservação na forma integral. 43

Abordagens para fluidos • Abordagem por elementos infinitesimais de fluido: – Obtenção direta das equações de conservação na forma diferencial. 44

Abordagens para fluidos • Abordagem molecular: – Abordagem microscópica na qual as leis fundamentais da natureza são aplicadas diretamente às moléculas, com uma média estatística adequada. Isto conduz à equação de Boltzmann para a teoria cinética, da qual as equações de conservação na forma diferencial podem ser extraídas. 45

Abordagem por volumes de controle • Abordagem Lagrangiana: considera-se uma massa fixa de partículas de fluido, seguindo-a através do campo de escoamento. • Abordagem Euleriana: considera-se um volume de controle fixo no escoamento, relatando-se os movimentos de massa, momentum e energia através das fronteiras do volume às variações que ocorrem dentro do volume de controle. 46

Abordagem por volumes de controle 47

Abordagem por volumes de controle • Da figura anterior: • Seja X (t) a massa, o momentum ou a energia total apresentada pelo sistema de partículas no tempo t. 48

Abordagem por volumes de controle • No tempo t + Δt: • A variação de X do sistema de partículas durante o intervalo de tempo será: 49

Abordagem por volumes de controle • Adicionando-se e subtraindo-se dividindo-se a equação resultante por Δt: e • Ao se fazer Δt tender a zero, o volume V 1+V 2 se aproxima do valor do volume de controle. Assim, o lado esquerdo da expressão anterior representa a taxa temporal de variação de X no sistema. 50

Abordagem por volumes de controle • A derivada é conhecida como derivada substantiva ou material, sendo denotada porque representa a variação de X com o tempo enquanto uma quantidade fixa de massa (material) se move com o fluido. • O segundo termo da expressão representa a diferença entre as taxas de entrada e de saída de X no volume de controle. 51

Abordagem por volumes de controle • Movimento de massa através da superfície de controle: 52

Abordagem por volumes de controle • A variação temporal de X no volume de controle também pode ser escrita como uma integral pois para qualquer elemento de massa dm tem-se 53

Abordagem por volumes de controle • Integrando-se sobre todo o volume de controle obtém-se • A expressão anterior é conhecida como equação de transporte de Reynolds e relaciona as propriedades de um sistema de partículas com massa fixa às propriedades do fluido interno e do fluido que cruza a superfície do volume de controle. 54

Equação da conservação da massa (eq. da continuidade) • Princípio físico: a massa não pode ser criada ou destruída. 55

Equação da conservação da massa (eq. da continuidade) • Fluxo de massa através de d S: • Fluxo de massa que entra no volume: 56

Equação da conservação da massa (eq. da continuidade) • Massa de um volume infinitesimal: • Taxa de variação da massa com o tempo: 57

Equação da conservação da massa (eq. da continuidade) • Empregando-se o princípio fundamental: • Validade: todos os escoamentos (viscosos ou invíscidos, compressíveis ou incompressíveis) 58

Equação da conservação da massa (eq. da continuidade) • Obtenção a partir da equação de transporte de Reynolds: – Tomando-se x = 1 e considerando-se um sistema fixo de massa, , tem-se: 59

Equação da conservação da quantidade de movimento • Princípio físico: a taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo é igual à força resultante que atua sobre o mesmo. • Forma vetorial: 60

Equação da conservação da quantidade de movimento • Para massa constante: • Tipos de forças atuantes sobre um volume de controle: – Forças de corpo. – Forças de superfície. 61

Equação da conservação da quantidade de movimento • Forças de corpo: • Forças de superfície: – Para um fluido invíscido, tem-se 62

Equação da conservação da quantidade de movimento • Força resultante sobre o volume: • Fluxo de momentum associado ao fluxo mássico para o volume de controle: 63

Equação da conservação da quantidade de movimento • Fluxo de momentum devido a flutuações transientes: • Taxa instantânea momentum: total de variação do 64

Equação da conservação da quantidade de movimento • Escoamento invíscido: • Escoamento viscoso: 65

Equação da conservação da quantidade de movimento • Obtenção a partir da equação de transporte de Reynolds: – Considerando-se a segunda lei de Newton: sendo o momento linear do sistema: 66

Equação da conservação da quantidade de movimento – Substituindo-se, então, X por P na equação de transporte de Reynolds, tem-se: 67

Equação da conservação da quantidade de movimento – Considerando-se as forças de campo e as forças de corpo, tem-se então: – Para escoamento invíscido: 68

Equação da conservação da energia • Princípio físico: a energia não pode ser criada ou destruída; ela apenas muda de forma. • Taxa de calor transferida para o (ou a partir do) fluido: sendo a taxa específica de transferência de calor. 69

Equação da conservação da energia • Taxa de trabalho efetuado em um corpo em movimento: • Taxa de trabalho efetuado por forças de corpo: 70

Equação da conservação da energia • Taxa de trabalho efetuado sobre o fluido dentro do volume de controle: • Taxa líquida de escoamento de energia através da superfície: 71

Equação da conservação da energia • Taxa temporal de variação de energia dentro do volume de controle: • Taxa de variação da energia devido ao escoamento através do volume: 72

Equação da conservação da energia • Da Primeira Lei da Termodinâmica: ou seja, 73

Equação da conservação da energia • Na equação anterior não estão incluídos os seguintes fenômenos: – Taxa de trabalho efetuado sobre o fluido pela rotação de um eixo: – Taxa de trabalho efetuado por tensões viscosas: – Calor trocado pela superfície do volume de controle por condução e/ou difusão. Associado aos efeitos de radiação, tais efeitos são denotados por 74

Equação da conservação da energia • Equação completa: 75

Equação da conservação da energia • Obtenção a partir da equação de transporte de Reynolds: – A partir da primeira lei da termodinâmica: – Substituindo-se X pela energia total (E) e, consequentemente, x por e: 76

Equação da conservação da energia – Admitindo-se que o sistema possua apenas energias interna e cinética, tem-se: 77

Equação da conservação da energia – Considerando-se que o calor recebido pelo sistema seja avaliado por: – Admitindo-se, ainda, que o trabalho efetuado sobre o sistema possa ser dividido em duas parcelas: uma devido ao deslocamento de massa através das fronteiras do sistema e a outra correspondente ao trabalho de forças de corpo. 78

Equação da conservação da energia – Trabalho devido ao deslocamento de massa através das fronteiras: aplicando-se a toda a superfície de controle: 79

Equação da conservação da energia – Trabalho devido às forças de corpo atuantes sobre o sistema: – Tem-se, desse modo: 80

Equação da conservação da energia – A equação da energia, neste caso, será expressa como: 81

Derivada substantiva • Considerando-se um pequeno elemento de fluido se movimentando ao longo do escoamento. 82

Derivada substantiva • Seja o campo de velocidades dado por • Sendo as componentes: • Seja o campo de massas específicas: 83

Derivada substantiva • Em um instante de tempo t 1, o elemento de fluido estará localizado em um ponto 1, cuja densidade é: • Em um segundo instante de tempo t 2, o elemento de fluido estará em um ponto 2, cuja densidade é: 84

Derivada substantiva • Expandindo-se a função, então, através de uma série de Taylor ao redor do ponto 1, tem-se: 85

Derivada substantiva • Dividindo-se toda a expressão por t 2−t 1 e desprezando-se os termos de ordem superior 86

Derivada substantiva • O termo da esquerda da igualdade anterior representa a taxa média de variação da massa específica do elemento de fluido de um ponto 1 a um ponto 2. No limite, quando t 2 se aproxima de t 1, tem-se: • Essa expressão é chamada de derivada substantiva. 87

Derivada substantiva • A derivada substantiva representa a taxa instantânea de variação de massa específica de um elemento de fluido que se move através de um ponto do escoamento. • Nota-se, também, que: 88

Derivada substantiva • Nesse caso, tem-se a seguinte expressão: • Dessa forma, a derivada substantiva para coordenadas cartesianas pode ser expressa como 89

Derivada substantiva • Lembrando-se que • Então a derivada substantiva pode ser expressa como 90

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • As equações da conservação da massa, quantidade de movimento linear e energia serão expressas em termos da derivada substantiva. Para tanto, nesse processo será empregada a seguinte identidade vetorial: 91

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Considerando-se a equação da conservação da massa dada na forma • Empregando-se a identidade vetorial, obtém-se 92

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Entretanto, a soma dos dois primeiros termos da equação anterior são a derivada material de ρ, de modo que • Na sequência, considera-se a equação da conservação da quantidade de movimento na direção x. 93

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Tem-se assim • O primeiro termo pode ser expandido como 94

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • O segundo termo da equação pode ser expandido usando o vetor identidade como • Substituindo-se as expressões anteriores na lei de conservação 95

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Ou seja, • Examinando-se os termos entre colchetes, verifica-se que os mesmos são o lado esquerdo da equação de conservação da massa, de modo que sua soma é nula. 96

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Desse modo • ou 97

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • Examinando o termo entre parênteses, observase que o mesmo corresponde à derivada material Du/Dt. Assim: • Analogamente, pode-se obter 98

Equações fundamentais em termos da derivada substantiva • E • De modo similar, obtém-se também a equação da energia: 99