INTRODUCCIN RECTA TANGENTE HISTORIA R DE DERIVACION APLICACIONES

INTRODUCCIÓN RECTA TANGENTE HISTORIA R. DE DERIVACION APLICACIONES R. DE LA CADENA DEFINICION TABLA DEDERIVADA 1 NOTACION TABLA DEDERIVADA 2

El concepto de derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal y está basado en el concepto de límite. Los problemas típicos que dieron origen al Cálculo Infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de Grecia (siglo III a. C. ), pero, no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta 20 siglos después (en el siglo XVII por obra de Newton y Leibnitz). En lo que atañe a las derivadas, existen dos conceptos de tipo geométrico: el problema de la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático de Arquímedes) y el problema de los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como Cálculo Diferencial. El problema de la tangente a una curva, fue analizado y resuelto primeramente por Apolonio (200 a. C. ). En el libro II de su obra

Fermat expone un método muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica de la forma y = f (x), toma un valor máximo o mínimo. Esta razón asistió a Laplace al aclamar a Fermat como el verdadero descubridor del Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiadores han considerado que es a Newton y a Leibnitz a quienes se les puede atribuir justificadamente la invención de las derivadas y de las integrales.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. La definición de derivada es la siguiente: Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no derivable en ese punto.

Rapidez de cambio La expresión representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

NOTACIÓN La derivada de una función f en un punto x, se puede denotar de una cualquiera de las formas siguientes: f ’ (x), y’, D xf o D xy

PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Definición: La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P es:

Las reglas de derivación son casos que se trabajan con algunas función algebraicas para facilitar el proceso de determinación de la derivada. Estas reglas son determinadas según el tipo de función. D de una constante D. de una suma o resta D. de una potencia D. de un cociente D de un producto D. de una cte por funcion

Derivada de una constante Una función constante es aquella que no depende de ninguna variable y su derivada siempre será cero. Si f(x) = a , tendremos que f'(x) = 0 Donde a es una constante, como un ejemplo: f(x) = 7 f'(x) = 0

La derivada de una potencia entera positiva La derivada de f(x)= xn es n-1 f '(x)= n x , entonces: 5 f(x)= x f '(x)= 5 x 4

La derivada de una suma La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces: f(x)= 2 x 3 + x f '(x)= 6 x 2 + 1

La derivada de un producto l La regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. Esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera". f(x)= (4 x + 1)(10 x 2 - 5) f '(x)= 20 x(4 x + 1) + 4(10 x 2 - 5)

La derivada de un cociente l l La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

La derivada de una constante por una función. Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), es decir, si g(x)= cf(x), entonces: g'(x)= cf'(x), por ejemplo: f(x)= 3 x 5 f '(x)= 3(5 x 4) = 15 x 4

Regla de la cadena En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x. Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con: o también

TABLA DERIVADAS SIMPLES

TABLA DERIVADA FUNCIONES COMPUESTAS