MATEMTICA MATEMTICA CINCIA E APLICAES Gelson Iezzi Osvaldo

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilze De Almeida – 3º ano Ensino Médio

3º Bimestre RESUMO DO BIMESTRE • • • • Neste bimestre foram trabalhados os temas: Matemática financeira – introdução Aumentos e descontos Variação percentual Juros simples Juros compostos Juros e funções Conjunto dos números complexos Plano de Argand-Gauss Potências de i Forma algébrica de um número complexo Conjugado de um número complexo Quociente de dois números complexos na forma algébrica Módulo e argumento de um número complexo Forma trigonométrica ou polar de um número complexo Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA INTRODUÇÃO Porcentagem No volume 1 desta coleção resolvemos alguns problemas de porcentagens. A porcentagens também podem ser expressas na forma de fração centesimal ou na forma decimal. Observe as diferentes representações: Exemplo: Para se obter 32% de R$ 800, 00 podemos calcular: 0, 32. 800 = 256, ou seja, R$ 256, 00 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA AUMENTOS E DESCONTOS Aumento Um determinado produto de valor Vi sofreu um aumento de i% em seu valor. O novo valor Vf desse produto após o aumento é dado por: Assim, para um aumento de 25%, por exemplo, para encontrar o valor final Vf bastaria multiplicar o valor inicial Vi por 1, 25 (1 + 0, 25). Desconto Um determinado produto de valor Vi sofreu um desconto de i% em seu valor. O novo valor Vf desse produto após o desconto é dado por: Assim, para um desconto de 25%, por exemplo, para encontrar o valor final Vf bastaria multiplicar o valor inicial Vi por 0, 75 (1 – 0, 25). Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA VARIAÇÃO PERCENTUAL Variação percentual Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA JURO E JUROS SIMPLES Juro É uma noção usada na economia e nas finanças para mencionar a utilidade, o ganho, o valor ou o rendimento de algo; podendo também se referir ao lucro produzido por um capital. Juros simples Quando em uma transação, a taxa de juros sempre incide sobre o mesmo valor, isto é, sobre o valor original da . conta, gerando desse modo, o mesmo juro por período considerado, temos que esse mecanismo é conhecido como regime de juros simples. J = C ⋅ i ⋅ n M = C + J M = C ⋅ (1 + i ⋅ n) O juro simples incide sempre no capital inicial Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS COMPOSTOS Juros compostos Nesse tipo de aplicação, o juro é incorporado ao capital, passando também a render juro. Juros compostos com taxa de juros variável No estudo de juros compostos deduzimos a fórmula do montante, admitindo a taxa de juros constante em cada um dos períodos. No entanto, muitas vezes, as taxas de rentabilidade de um fundo de investimento, por exemplo, variam de um mês para o outro. Quando isso ocorre, podemos calcular os montantes mês a mês, lembrando que o princípio de capitalização acumulado é o mesmo. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 6 – MATEMÁTICA FINANCEIRA JUROS Exemplo: Uma dívida de R$ 1 000, 00 será paga com juros de 50% ao ano. Ela deverá ser quitada após um número inteiro de anos. Vamos calcular, ano a ano, os montantes dessa dívida nos dois regimes de capitalização (simples e composto) e comparar os valores obtidos. Juros compostos Para montar a tabela, é preciso lembrar que o montante da dívida em um determinado ano é 50% maior que o montante relativo ao anterior (ou 1, 5 vez o montanterior). A sequência de montantes (1500, 2000, 2500, 3000, 3500, …) é uma progressão aritmética (P. A. ) de razão 500 e cujo termo geral é: an = a 1 + (n − 1) ⋅ r � an = 1500 + (n − 1) ⋅ 500 A sequência de montantes (1500; 2250; 3375; 5062, 50; …) é uma progressão geométrica (P. G. ) de razão 1, 5 cujo termo geral é: an = a 1 ⋅ qn − 1 � an = 1500 ⋅ 1, 5 n − 1 Acréscimo anual capital Podemos associar essa situação à função y = 500 x + 1000, restrita aos valores naturais não nulos que a variável x assume. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre capital Podemos associar essa situação à função y = 1000 ⋅ 1, 5 x, restrita aos valores naturais não nulos que a variável x assume.

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Números complexos Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS PLANO DE ARGAND – GAUSS OU PLANO DE GAUSS Números complexos O Plano de Argand-Gauss ou Plano de Gauss é determinado por dois eixos perpendiculares, denominados eixo real (Re(z)) e eixo imaginário (Im(z)). M é o afixo ou imagem do número complexo z = (a, b) As imagens dos números complexos da forma (x, 0) pertencem ao eixo Re(z) e as imagens dos números complexos da forma (0, y) pertencem ao eixo Im(z). Os números complexos da forma (0, y) são chamados imaginários puros. O número complexo (0, 1) é denotado por i e chamado de unidade imaginária. i 2 = − 1 Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS POTÊNCIAS DE I Potências de i i 0 = 1 i 1 = i i 2 = − 1 i 3 = − i i 4 = 1 i 5 = i i 6 = − 1 i 7 = − i i 8 = 1 i 9 = i i 10 = − 1 i 11 = − i Para calcular in, em que n ∈ ℕ, divide-se n por 4 e o novo expoente de i será o resto dessa divisão. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS FORMA ALGÉBRICA DE Z Forma algébrica de z Dado o número complexo z = (x, y), temos que sua forma algébrica é dada por: z = x + y ⋅ i, em que x ∈ ℝ e y ∈ ℝ. Operações • (I) a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d • (A) (a + bi ) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i • (M) (a + bi) ⋅ (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Conjugado de z Propriedades Interpretação geométrica M' é o conjugado de M Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS QUOCIENTE DE DOIS NÚMEROS COMPLEXOS E MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO Quociente de dois números complexos na forma algébrica Módulo de um número complexo Dado o número complexo z = a + bi, com a e b reais, chama-se módulo de z, e indica-se por |z| ou pela grega ρ, o número real não negativo dado por: Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância de sua imagem à origem do plano de Argand-Gauss.

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO Argumento de um número complexo Na figura, o ângulo θ, medido no sentido anti-horário a partir do semieixo real positivo e de tal maneira que 0 ≤ θ < 2π, é chamado argumento principal do complexo z. θ = arg z Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS ARGUMENTO PRINCIPAL Representações geométricas do argumento principal M ∈ 1º Quadrante M ∈ 2º Quadrante M ∈ ao eixo real Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre M ∈ 3º Quadrante M ∈ ao eixo imaginário M ∈ 4º Quadrante M ∈ ao eixo imaginário

CAPÍTULO 7 – NÚMEROS COMPLEXOS FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DE UM NÚMERO COMPLEXO Forma polar Se z = a + bi, com a e b reais, é um número complexo não nulo, e sendo θ = arg z que satisfaz as condições: É denominada de forma trigonométrica ou polar do número complexo z a expressão: ρ ⋅ (cos θ + i ⋅ sen θ) Dois números complexos são iguais se, e somente se, seus módulos são iguais e seus argumentos são congruentes. Matemática | CIÊNCIA E APLICAÇÕES | Volume 3 | 3º Bimestre