MTRICA Distncia entre dois pontos numa superfcie Ex

MÉTRICA Distância entre dois pontos numa superfície Ex. Uma superfície plana, onde usamos coordenadas cartesianas Y y. B y. A ds 2=dx 2+dy 2 dx=x. B-x. A dy=y. B-y. A ds x. A x. B Nota: ds é um invariante X independe do sistema de coordenadas

Fazendo uma transformação de coordenadas: (x, y) (x 1, x 2) x e y = combinações de x 1 e x 2 x = x(x 1, x 2) y = y(x 1, x 2) Uma mudança dx em x resulta em mudanças dx 1 e dx 2 : ( o mesmo para y ) ds 2=dx 2+dy 2

Escrevendo a equação de forma mais compactada : distância entre 2 pontos próximos sobre uma superfície tensor métrico representação da distância em coordenadas

EXEMPLOS: Métrica euclidiana matriz unidade ds 2=dx 2+dy 2 Coordenadas polares no plano (x, y) (r, ) r x = r cos y = r sin Calculando os gr …… ds 2=dr 2+r 2 d 2 métrica euclidiana em coordenadas polares

Determinação de K através da métrica Seja x 1 e x 2 um sistema de coordenadas arbitrário sobre uma superfície x 2 x 1 distância entre dois pontos vizinhos : Pode-se demonstrar que, com uma mudança de coordenadas conveniente, o tensor métrico pode ser representado por uma matriz diagonal

Define-se então a métrica ortogonal : ds 2=g 11(x 1, x 2)dx 12+g 22(x 1, x 2)dx 22 TEOREMA EGREGIUM DE GAUSS Demonstrou que se pode derivar a K de uma superfície arbitrária somente conhecendo a forma que os coeficientes da métrica variam de um ponto a outro, não importando o valor absoluto destes coeficientes com o sistema de coordenadas escolhido Conhecendo-se a métrica ortogonal de uma superfície determina-se a sua curvatura. K é um invariante que seja o sistema de coordenadas K tem o mesmo valor num dado ponto numa superfície

EXEMPLOS: Plano ds 2=dx 2+dy 2 Cilindro K=0 Coordenadas cilíndricas: x = R cos (pontos na superfície) y = R sin z=z Z R y ds 2=dz 2+R 2 d 2 Usando gauss K = 0 x nota: z=x e R =y ds 2=dx 2+dy 2 métrica euclidiana!!!

Z Esfera x = R sin cos y = R sin z = R cos R Y X ds 2=R 2 d 2+R 2 sin 2 d 2 Usando o teorema de gauss: K = 1/R 2 Não há nenhuma transformação de coordenadas que leve a sua métrica a uma do tipo euclidiana esfera intrinsecamente curva

Determinação de perímetros e áreas de círculos geodésicos desenhados sobre uma superfície usando a métrica Círculo sobre uma superfície plana elemento de arco R Métrica: ds 2=dr 2+r 2 d 2 (coordenadas polares) • elemento de arco (r=R fixo) ds=R d C=∫ds =2 R Se a métrica for ortogonal (g 12=g 21=0), o elemento de área sobre uma superfície é dado por: • então d. A=rdrd A = ∫d. A = = R 2

Círculo de raio r sobre uma superfície esférica r r = raio próprio do círculo a R Métrica: ds 2=R 2 d 2+R 2 sin 2 d 2 • perímetro do círculo de raio r fixo d =0 : ds = R sin d C= ∫ds=2 Rsin(r/R) • área do círculo : A=2 R 2(1 -cosr/R) arco: r=R