La trigonometria I teoremi sui triangoli rettangoli La

La trigonometria I teoremi sui triangoli rettangoli La trigonometria studia le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo. Introduciamo la seguente convenzione. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, indichiamo: • con a la misura dell’ipotenusa (opposta al vertice A), con b la misura del cateto opposto al vertice B, con c la misura del cateto opposto al vertice C • con β l’angolo acuto di vertice B, con γ l’angolo acuto di vertice C. 1

La trigonometria I teoremi sui triangoli rettangoli Primo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: § al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso; § al prodotto della misura dell’ipotenusa per il coseno dell’angolo (acuto) adiacente al cateto stesso. In simboli: 2

La trigonometria I teoremi sui triangoli rettangoli Secondo Teorema. In ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale: § al prodotto della misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al cateto stesso; § al prodotto della misura dell'altro cateto per la cotangente dell'angolo (acuto) adiacente al cateto stesso. In simboli: Con questi due teoremi possiamo risolvere qualunque problema di misura in cui sono coinvolti triangoli rettangoli. 3

La trigonometria La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI In un triangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa CB è lunga 20 cm e l’angolo ha ampiezza 47°. Vogliamo risolvere il triangolo. Risolvere un triangolo significa trovare le misure dei suoi lati e dei suoi angoli. Nel nostro caso: C 47° A 20 cm B 4

La trigonometria Risolviamo il triangolo rettangolo ABC, noti il cateto La circonferenza nel piano cartesiano e l’ampiezza dell’angolo acuto opposto C 65° A 7 cm B 5

La trigonometria L’area di un triangolo e il teorema della corda Dai due teoremi sui triangoli rettangoli possiamo derivare la formula per il calcolo dell’area di un triangolo e il teorema della corda. La misura dell'area di un triangolo è data dal semiprodotto delle misure di due lati per il seno dell'angolo tra essi compreso. In simboli: 6

La trigonometria L’area di un triangolo e il teorema della corda Teorema. In ogni circonferenza, ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda. In simboli: 7

La trigonometria La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI Calcoliamo l’area del triangolo ABC sapendo che e e che A 70° 10 cm 8 cm B C 8

La trigonometria La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI In una circonferenza di raggio 10 cm una corda sottende un angolo al centro di ampiezza 130°. Troviamo la lunghezza della corda. Per la relazione esistente fra angoli al centro e angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco: B A 130° O 10 cm α C 9

La trigonometria I triangoli qualsiasi Estendiamo la convenzione fatta per indicare le misure dei lati e degli angoli di un triangolo rettangolo ad un triangolo qualsiasi. Nel triangolo ABC indichiamo con a la misura del lato opposto al vertice A, con b quella del lato opposto al vertice B, con c quella del lato opposto al vertice C. L’ampiezza dell’angolo di vertice A verrà indicata con α, quella dell’angolo di vertice B con β, quella dell’angolo con vertice C con γ. 10

La trigonometria I triangoli qualsiasi Teorema dei seni Teorema. In un triangolo è costante il rapporto fra un lato ed il seno dell’angolo ad esso opposto; tale rapporto è uguale alla misura del diametro della circonferenza circoscritta al triangolo. 11

La trigonometria La circonferenza nel piano cartesiano A ESEMPIO 30 cm Calcoliamo il perimetro del triangolo ABC noti 45° Applichiamo il teorema dei seni per calcolare B 60° C Applichiamo il teorema dei seni per calcolare 12

La trigonometria La circonferenza nel piano cartesiano Calcoliamo sin 75° (ad esempio con le formule di addizione 75° = 45° + 30°): Troviamo ora 13

La trigonometria I triangoli qualsiasi Teorema del coseno Teorema. In ogni triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell'angolo fra essi compreso. In simboli 14

La trigonometria I triangoli qualsiasi ESEMPIO C Calcoliamo il perimetro del triangolo ABC noti 4 cm 30° Applichiamo il teorema del coseno per trovare A B Quindi 15

La trigonometria I triangoli qualsiasi La risoluzione dei triangoli Il teorema dei seni e quello del coseno ci consentono di risolvere qualsiasi triangolo. Ricordiamo alcune proprietà geometriche utili nell’analisi di un problema relativo ai triangoli: • la somma degli angoli interni di un triangolo è 180; di conseguenza, se si conoscono le misure di due angoli si può trovare quella del terzo; • al lato maggiore è opposto l'angolo maggiore e, viceversa, all'angolo maggiore è opposto il lato maggiore; • ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza (disuguaglianze triangolari); questa proprietà è utile come controllo nella risoluzione dei problemi: non sarà possibile accettare casi in cui, per esempio, i lati misurano 3, 4 e 8 perché 8 non è minore di 3 + 4. 16

La trigonometria I triangoli qualsiasi C ESEMPIO γ Risolvi il triangolo ABC sapendo che α Il problema ha soluzione perché le misure dei lati soddisfano le disuguaglianze triangolari. Per ottenere l’ampiezza di α possiamo utilizzare il teorema del coseno: A β B Quindi 17

La trigonometria I triangoli qualsiasi Utilizziamo ancora il teorema del coseno per calcolare l’ampiezza di β, perché rispetto al teorema dei seni consente di determinare la tipologia dell’angolo (acuto, ottuso). Quindi 18

La trigonometria I triangoli qualsiasi La trigonometria ha molte applicazioni nella pratica, in particolare in fisica e topografia. ESEMPIO Vogliamo calcolare la distanza in linea d’aria per una futura galleria tra due località A e B, separate da una collina, ma collegate tra loro da una strada che passa per la località C. Del triangolo ABC sono noti a, b e l’angolo compreso γ, che misurano 2, 5 km, 5, 2 km e 80°. Per il teorema del coseno B A b a γ C 19