PROBLEMA DI TRIGONOMETRIA Giorgio Buffa 4 H 2015

PROBLEMA DI TRIGONOMETRIA Giorgio Buffa 4 H 2015 -16 Nel triangolo ABC l’altezza CH divide AB in due parti, una tripla dell’altra. Sapendo che AB=8 a e CH=2 a, calcola la tangente di ciascun angolo del triangolo, il suo perimetro e l’altezza relativa a CB nel triangolo CHB. DATI AB=8 a CH=2 a INCOGNITE tg α =? tg β =? tg γ =?

tg β=? Considero il triangolo CHB Per il 2° Teorema dei triangoli rettangoli si ha Dal quale si ricava tg β=CH/HB CH=HB tg β CH=2 a HB=? Per trovare HB considero il triangolo ABC Sapendo che AB =AH + HB = 8 a essendo HB = 3 AH Ottengo che 8 a =AH + 3 AH AH= 2 a QUINDI HB = 3 x 2 a HB = 6 a ALLORA SARA’ tg β =2 a / 6 a = 1/3 tg β = 1/3

tg α =? Analogamente Considero il triangolo CAH Per il 2° Teorema dei triangoli rettangoli si ha Dal quale si ricava tg α =CH/AH QUINDI tg α =2 a / 2 a = 1 CH=AH tg α CH=2 a AH=2 a tg α = 1

tg γ =? Sapendo che α + β + γ= 180° Essendo α =arctg 1 = 45° β =arctg 1/3=18, 43° ALLORA γ = 180 – β – α = 180 – 18. 43 – 45 = 116. 57 QUINDI tg γ = tg 116. 57 = -2 tg γ = 1

PERIMETRO =? Considero il triangolo ACH Dal Teorema di Pitagora ricaviamo che: AC= QUINDI AC= 2 a √ 2 Considero il triangolo CHB Dal Teorema di Pitagora ricaviamo che: CB = QUINDI CB= 2 a √ 10

PERIMETRO =? QUINDI AC= 2 a √ 2 CB= 2 a √ 10 Dai dati si ha che AB = 8 a DI conseguenza P = AC + CB + AB = 2 a √ 2 + 2 a √ 10 + 8 a P= 2 a( 4 + √ 2 + √ 10)

HK =? Considero il triangolo HKB Per il 1° Teorema dei triangoli rettangoli HK = HB sen β Essendo sen β= sen 18. 43 = 0. 31 SI OTTIENE HK = 6 a x 0. 31 HK = 1. 87 a