Banach Sabit Nokta Teoremi Bzlme Teoremi Banachs fixed

Banach Sabit Nokta Teoremi (Büzülme Teoremi) Banach's fixed point theorem has important applications to iteration methods for solving systems of linear algebraic equations and yields sufficient conditions for convergence and error bounds. To understand the situation, we first remember that for solving such a system there are various direct methods (methods that would yield the exact solution after finitely many arithmetical operations if the precision-the word length of our computer-were unlimited); a familiar example is Gauss' elimination method (roughly, a systematic version of the elimination taught in school). However, an iteration, or indirect method, may be more efficient if the system is special, for instance, if it is sparse, that is, if it consists of many equations but has only a small number of nonzero coefficients. (Vibrational problems, networks and difference approximations of partial differential equations often lead to sparse systems. ) Moreover, the usual direct methods require about n 3/3 arithmetical operations (n = number of equations = number of unknowns), and for large n, rounding errors may become quite large, whereas in an iteration, errors due to roundoff (or even blunders) may be damped out eventually. In fact, iteration methods are frequently used to improve "solutions" obtained by direct methods.

Banach Sabit Nokta Teoremi (Büzülme Teoremi) Sabit Nokta dönüşümünün bir sabit noktasıdır. Büzülme ‘de bir büzülmedir Teorem Banach Sabit Nokta Teoremi BST 1 tam ‘de bir büzülmedir ‘nin tek bir sabit noktası vardır. Tanıt Herhangi bir belirleyip “ardışıl dizi” oluşturalım

dizisinin Cauchy olduğunu göstermek için: üçgen eşitsizliği Hatırlatma: Geometrik dizi ilk n terimin toplamı: geometrik dizinin toplamı

büzülme Nasıl? bir sabit Bunu nasıl söyledik? m yeterince büyük ve n>m alınarak bu ifade istenildiği kadar küçük kılınabilir. Cauchy Tam Böylece T’den yararlanarak oluşturulan dizinin yakınsak olduğunu gösterdik. x’in T’nin sabit noktası olduğu göstermek için: üçgen eşitsizliği büzülme yakınsaklığın tanımından ‘nin sabit metrik Sabit noktasıdır tanımından

Sabit noktanın tekliğini göstermek için: ve iki farklı sabit nokta olsun Büzülme Teorem İterasyon, Hata Sınırları BST 2 tam Herhangi bir ‘de bir büzülmedir belirleyip “ardışıl dizi” ‘nin tek sabit noktası ‘e yakınsar “Hata Kestirimleri” Öncül Kestirim: Son Kestirim:

Tanıt BST 1 yerine alıp Bunlar bir kısıtlama getir mi? alınırsa yeniden yazılırsa

Hatırlatma Yuvar ve Küre Açık Yuvar Kapalı Yuvar Küre Teorem Bir yuvarda büzülme BST 3 Tam ‘de bir büzülme ve “ardışıl dizi” ‘e yakınsar ‘nin bir sabit noktasıdır ‘nin ‘de tek sabit noktasıdır

Tanıt BST 1 Gösterilmesi gereken yerine ‘ler ve ‘in, ‘de olduğu konursa Hipotezden ‘lerin hepsi ‘nin içinde + kapalı BST 1 Tanıt tamamlandı Teorem Süreklilik BST 4 ‘de büzülmedir süreklidir

Lineer Denklem takımı reel sayılardan oluşmuş n-lilerin oluşturduğu küme tam mı? Bir Cauchy dizisi oluştur. tamdır ‘deki her Cauch dizisi yakınsaktır MU 5, MU 6, MU 7 teoremlerinden Cauchy dizisinin yakınsadığı noktasının ‘de olduğunu göster tam

bir büzülme dönüşümü mü? Yanıt:

Teorem Lineer Denklem Takımı LDT ile verilen denklem sistem ( verilmiş) koşulunu sağlıyorsa çözüm, “ardışıl dizi” keyfi bir için elde edilir. ‘nin limiti olarak Bu çözüme ilişkin hata sınırları: Burada elde edilen sınırlar metriğe göre değişir, metriğe göre değişen başka ne var?

Genel olarak karşılaştığımız lineer denklem takımları nasıldır? n bilinmiyenli, n lineer cebrik denklemden oluşan sistemler Jakobi İterasyonu Bu iterasyon ile çözümü bulmak istersek ilk neye dikkat etmeliyiz?

bağıntısından yararlanarak veya bağıntısını elde etmek için

Gauss-Seidel İterasyonu 0000 xxxxx m+1’deki değerler yok var j. satır