LA GEOMETRIA PROTAGONISTA NELLA SCUOLA La misura in

LA GEOMETRIA “PROTAGONISTA” NELLA SCUOLA La misura in geometria 3° incontro: 28 marzo 2017 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 1

Problema: calcolare la somma delle ampiezze degli angoli di un poligono Poligoni convessi Angoli interni Angoli esterni Poligoni concavi non intrecciati Angoli interni Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 Angoli esterni 2

Angoli interni di poligoni convessi Prerequisito: conoscere la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo. (Nel mondo della geometria vol. 3 pag. 214) Si ritiene efficace, quella di lavorare con modelli di triangoli in carta: ogni alunno deve ritagliare, o meglio strappare, gli angoli di ogni modello e poi riaccostare le tre parti in modo che i tre vertici del triangolo coincidano Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 3

Angoli interni di poligoni convessi Esempio esagono Per calcolare la somma delle ampiezze degli angoli interni posso dividere il poligono in triangoli partendo da un punto interno qualunque partendo da un vertice 180° x 6= 1080° 180° x 4= 720° Che cosa si deve modificare per ottenere lo stesso risultato da tutti e due i disegni? 180° x 6 – 180° x 2 = 720° In generale: se n è il numero dei lati la somma delle ampiezze degli angoli interni è uguale a: n angoli piatti – 2 angoli piatti = (n -2) angoli piatti Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 4

Angoli esterni di poligoni convessi Si invitano gli alunni, eventualmente suddivisi in piccoli gruppi, a tracciare in ogni poligono gli angoli esterni, a “strappare” il modello in carta del poligono in modo da “separarne” i singoli angoli esterni e, infine, a accostare tutti gli angoli esterni in modo da fare coincidere i loro vertici e da non lasciare “spazio” tra il lati dei vari angoli. A meno di imprecisioni legati alle operazioni concrete, gli alunni dovrebbero riuscire a ricostruire un angolo giro Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 5

Timss - Pisa 2003 Risposta: 60° Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 6

Angoli interni di poligoni concavi La regola generale per i poligoni convessi vale anche per quelli concavi? Esempio pentagono 5 a. p. – 2 a. p. = 3 a. p. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 7

Angoli esterni di poligoni concavi non intrecciati Nel caso dei poligoni concavi il significato di angolo esterno non cambia rispetto a quanto detto per i poligoni convessi e neppure la loro individuazione grafica, tuttavia il risultato può essere “strano” in quanto vi sono angoli esterni che contengono parte del poligono, (gli angoli esterni sono segnati orientando in verso orario la poligonale) Per questo motivo, nei poligoni concavi invece di angoli esterni si preferisce parlare di angoli al contorno, per individuare gli angoli che danno il cambiamento di direzione delle rette dei lati. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 8

Angoli esterni di poligoni concavi Una maggiore difficoltà si incontra nella determinazione della somma delle ampiezze degli angoli esterni di un poligono concavo. Infatti, se si addizionano le ampiezze senza tenere conto dell’orientamento degli angoli, si ottiene un risultato maggiore dell’angolo giro, nonostante la percorrenza del contorno del poligono porti ad affermare che il numero di cambiamenti di direzione è tale da aver fatto percorrere un giro completo, come nel caso dei poligoni convessi. 62° + 59° + 77° + 123° + 101°+ 140° = 562° Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 9

Angoli esterni di poligoni concavi L’eccesso rispetto all’angolo giro è dovuto al fatto che alcuni angoli al contorno sono orientati in senso orario e altri in senso antiorario, come è evidenziato nella seguente figura, nella quale di ogni angoli sono riportate le ampiezze assolute L’angolo di vertice E è ampio 101° ed è ottenuto con un cambiamento di direzione in senso antiorario. Esso si annulla, per esempio, con la parte ampia 101° in senso orario che descrive l’angolo di vertice F, per cui la somma delle ampiezze rimanenti è 360°. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 10

Angoli esterni di poligoni concavi Si può formalizzare in modo algebrico quanto affermato se si associa un segno alle ampiezze: se per esempio si conviene di considerare positive le ampiezze di angoli orientati in verso orario e negative le ampiezze di angoli orientati in verso antiorario, l’espressione che corrisponde alla somma algebrica degli angoli al contorno dell’esagono concavo rappresentato è: 62° + 59° + 77° + 123° + (-101°) + 140° = 360°. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 11

Tra un quadrato e un esagono (da Polymath settembre 2009) Dato l’esagono regolare e il quadrato di figura, calcolare il valore dell’angolo segnato in A. B C Soluzione Poiché l’angolo interno di un esagono è 120°, l’angolo BCA è uguale a 30°. Sappiamo inoltre che il lato del quadrato è uguale al lato dell’esagono, BC = AC, quindi il triangolo ABC è isoscele. Di conseguenza l’angolo CAB è uguale a (180° - 30°)/2 = 75° Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 12

Dividere un quadrato! Prova a dividere un quadrato in: 4 quadrati 7 quadrati 10 quadrati Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 13

Due parole spesso confuse PERIMETRO AREA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 14

CERCHIAMO IL LORO SIGNIFICATO • Perimetro (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera) In geometria, il perimetro è la misura della lunghezza del contorno di una figura piana. È diffusa la convenzione di indicarlo con la sigla 2 p (oppure "P"), da intendersi come due volte p, dove p è quindi la metà del perimetro o semiperimetro. La parola deriva dal greco perímetros, composto di perí, intorno, e métron, misura. • Perimetro (Da. Treccani. it) In geometria, e con riferimento a un poligono, la somma dei suoi lati, o anche, più spesso, la somma delle loro misure: il p. di un triangolo, di un pentagono; calcolare il p. della base di una piramide esagonale. Più in generale, il contorno (detto più precisamente bordo) di una qualsiasi superficie, piana o no, e la misura di tale contorno: il p. della base di una torre, di un castello; quindi, spesso, limite, confine: segnare, misurare il p. di un campo; le mura corrono lungo tutto il p. della città. Più genericam. , con riferimento allo spazio compreso entro tale limite o confine: dentro il p. della città; fuori del p. dell’abitato. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 15

• Area (Da Wikipedia, l'enciclopedia libera) L'area è la misura dell'estensione di una regione bidimensionale di uno spazio, ovvero la misura dell'estensione di una superficie. Come per le altre misure di natura geometrica, per la precisione si dovrebbe distinguere fra la regione bidimensionale (insieme di punti) e la sua area (valore numerico associato alla precedente). Spesso però, nel parlare comune ma anche in esposizioni scientifiche, il termine area e il termine superficie vengono usati intercambiabilmente. Ciò è un errore perché esistono molte differenze, anche sostanziali. • Area (Da. Treccani. it) [dal lat. area]. – Superficie circoscritta di terreno: nell’area prospiciente alla villa. In partic. , a. fabbricabile, spazio di terreno utilizzabile per la costruzione di edifici; a. pubblica, ogni strada, piazza o altra superficie destinata ad uso pubblico; a. di servizio, sulle autostrade o strade di grande comunicazione, spiazzo con impianti di rifornimento di carburante e spesso anche altre attrezzature utili agli automobilisti (bar, servizî igienici, officine, ecc. ); a. di parcheggio (v. parcheggio). Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 16

Ricerca Chiediamo agli alunni dove si usa il prefisso peri nella vita quotidiana. Es. : PERIFERIA PERIGEO (intorno alla Terra) PERIFRASI PERICARDIO PERIPLO Chiediamo agli alunni se esistono delle parole con il prefisso peri nella vita quotidiana, ma con un significato diverso. Es. : PERICOLO Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 17

Ricerca Chiediamo agli alunni dove si usa la parola AREA nella vita quotidiana. Es. : AREA DI SOSTA AREA A TRAFFICO LIMITATO AREA 51 AREA riservata ai camper AREA ARCHEOLOGICA Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 18

Approfondiamo … il concetto di perimetro Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 19

Il perimetro (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati: a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata chiusa e semplice; b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza; c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero reale non negativo. L’accezione con cui viene utilizzato la parola perimetro condiziona la correttezza o meno di espressioni ad esso relative. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 20

Il perimetro (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Al termine perimetro vengono attribuiti diversi significati: a) contorno di un poligono, quindi è sinonimo di poligonale, ossia di spezzata chiusa e semplice; “un poligono di perimetro ABCD” presuppone il significato a), in quanto ABCD è la denominazione della poligonale b) lunghezza del contorno di un poligono, per cui designa una grandezza; “il perimetro di un poligono è di 13 cm” è coerente solo con l’accezione b), dato che 13 cm è una lunghezza; c) misura della lunghezza del contorno di un poligono, pertanto è un numero reale non negativo. in centimetri, il perimetro di un poligono è 13” comporta l’assunzione dell’accezione c), poiché il perimetro viene identificato con un numero, ossia una misura. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 21

Il perimetro (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson) pag. 55 NOSTRA SCELTA Con il termine perimetro intendiamo la lunghezza del contorno di una figura piana. Il perimetro essendo una lunghezza è, quindi, una grandezza. In base a ciò, non solo si parla di perimetro di un poligono, ma anche di perimetro di un cerchio, inteso come la lunghezza della circonferenza che delimita il cerchio, di perimetro di una figura piana delimitata da una linea mista chiusa, … Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 22

Un passo …indietro Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 23

SOMMA DI DUE SEGMENTI Supponiamo di voler effettuare la SOMMA DI DUE SEGMENTI, AB e CD TRASPORTIAMO i due segmenti su una retta r in modo che risultino ADIACENTI. Ricordiamo che si dicono ADIACENTI due SEGMENTI che hanno un estremo in comune e che giacciono su una stessa retta. Avremo: Il segmento AD è il segmneto SOMMA di AB e CD. Pertanto possiamo scrivere: AD=AB + CD La lunghezza del segmento AD è uguale alla somma delle lunghezze del segmento AB e CD. Seguendo lo stesso procedimento possiamo addizionare tra loro 3 o più segmenti. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 24

Riflettiamo Un segmento AB è cinque terzi del segmento CD. AB è lungo 24 cm, calcola la lunghezza del segmento CD. CD= 24 cm C H D A B CH = CD : 3 = 24 cm : 3 = 8 cm AB = CH x 5 = 8 cm x 5 = 40 cm Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 25

Emma Castelnuovo • . . Il punto di partenza dell’apprendimento deve essere il problema, non la teoria bella e fatta, e la prima soluzione deve essere escogitata costruttivamente … • Poi verrà, se verrà, la sistemazione rigorosa, deduttiva, la teoria compiuta. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 26

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 Esempi 1) Per ciascuno dei seguenti poligoni, si dà agli alunni la consegna di disegnare sul quaderno un segmento uguale al perimetro del poligono. Affinché il disegno sia informativo sul confronto delle lunghezze, senza ricorrere alla loro misura, si pone il vincolo che i segmenti siano incolonnati e con il primo estremo alla stessa distanza dal margine. Accanto ad ogni segmento si segna la lettera del poligono a cui si riferisce. d c a e b Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 27

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 Risulta: a b c d e … ha il perimetro minore di quello di … Poligono a Poligono b Poligono c Poligono d Poligono e Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 28

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson pag. 170 e pg. 176 Si sollecitano le riflessioni degli alunni con domande quali 1. Qual è il poligono con il perimetro maggiore? Quanti lati ha? 2. Qual è il poligono con il perimetro minore? Quanti lati ha? 3. Vi sono poligoni che hanno lo stesso numero di lati? Essi hanno uguale perimetro? 4. Qual è la successione dei poligoni posti in ordine crescente di perimetro? Successivamente si fa quantificare, in lati quadretto, il perimetro di ogni poligono e si rileva che i numeri che esprimono le misure sono nella stessa relazione delle corrispondenti lunghezze. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 29

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 2) Rispetto all’attività precedente è più problematica quella inversa, ossia il passaggio, non univoco, dal segmento che rettifica una poligonale al poligono che ha perimetro uguale alla lunghezza del segmento. Si può graduare il lavoro segnando inizialmente sul segmento dato le lunghezze, quindi assegnando anche il numero, dei lati del poligono. Per esempio: a b c Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 30

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 Il lavoro sulla quadrettatura può essere considerato banale, ma in realtà se opportunamente predisposto permette di tornare a riflettere sulla diversità di lunghezza tra il lato quadretto e la diagonale quadretto. A tal fine può essere stimolante una situazione problematica come quella proposte negli esempi seguenti. Luca, Alì e Sara devono disegnare un poligono che ha il perimetro uguale alla lunghezza del segmento: Ai tre amici il lavoro sembra molto facile. Ecco come ognuno di loro ha risolto il problema. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 31

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 LUCA SARA ALÌ Io ho visto che il segmento è lungo 8 lati quadretto e ho disegnato questo poligono. Anche io ho contato 8 lati quadretto e ho disegnato questo poligono. Io ho disposto gli 8 lati quadretto in modo da formare questo poligono. Chi ha risposto in modo corretto al problema? Perché? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 32

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 2) Si fanno osservare poligoni disegnati su carta quadrettata, come i seguenti: a b d f e 2 pa = 10 ℓq e 2 dq 2 pb = 12 ℓq 2 pd = 8 ℓq e 4 dq 2 pf = 8 ℓq e 4 dq 2 pe = 12 ℓq Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 33

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Ericksonda da pag. 170 a pag. 176 NIENTE FORMULE!!!!!! Non si ritiene opportuno parlare con gli alunni di “formule” per il calcolo del perimetro, in quanto le cosiddette formule non sono altro che scritture aritmetiche, formalizzazioni diverse della stessa operazione di somma delle misure dei lati. Si considera didatticamente più formativo fare riflettere gli alunni proprio sulla varietà di modi aritmetici per giungere alla misura del perimetro di un poligono, tutti ugualmente corretti, e di lasciare a ciascun alunno la scelta della strategia di calcolo da adottare. Ogni alunno, infatti, posto di fronte alla richiesta di calcolare il perimetro di un poligono, usa il procedimento che “vede” più facilmente. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 34

Il concetto di perimetro da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 170 a pag. 176 NIENTE FORMULE!!!!!! ESEMPIO Calcolo la misura del perimetro in centimetri usando tre espressioni diverse 3 cm 5 cm a) 5 + 3 + 5 + 3 = 16 b) ( 5 x 2 ) + ( 3 x 2 ) = 16 c) ( 5 + 3 ) x 2 = 16 Il perimetro del rettangolo è di 16 cm. C’è un’espressione che vale per qualunque poligono? Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 35

UN PERIMETRO … TANTE ESPRESSIONI (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 187) Per ogni poligono segna con una crocetta l’espressione che corrisponde alla richiesta. AB = 10 cm BC = 4 cm PQ = 5 m PQ = QR = RS PS = 2, 4 m La misura in centimetri del perimetro del parallelogramma ABCD non si calcola con q 10 + 4 + 10 + 4 q (2 10) + (2 4) q 2 (10 + 4) q 10 + 4 La misura in metri del perimetro del parallelogramma PQRS si può calcolare con q 5 + 2, 4 q (2 5) + 2, 4 q (3 x 5) + 2, 4 q 3 x (5 + 2, 4) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 36

UN’ESPRESSIONE … TANTI PROBLEMI (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 188) Valeria, Antonella, Michele e Riccardo sono impegnati nei compiti. Sembra tutto molto semplice, perché i quattro amici non devono risolvere problemi, ma … inventarne. Possono liberare la loro fantasia, ma devono solo rispettare la consegna: “Per ogni espressione data scrivi il testo di un problema in cui viene richiesto il perimetro di un poligono”. Ecco cosa hanno scritto i bambini per l’espressione: 3 + 8 + 3 + 8. VALERIA MICHELE Un rettangolo ha i lati lunghi 3 cm e 8 cm. Determina la misura del perimetro del rettangolo in centimetri. Calcola la misura del perimetro in centimetri di un rombo che ha i lati lunghi 3 cm e 8 cm. ANTONELLA RICCARDO Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 Un romboide ha i lati lunghi 3 dm e 8 dm. Quanti decimetri misura il suo perimetro? Quanto misura il perimetro in metri di un quadrilatero che ha due lati lunghi 3 m e due lati lunghi 8 m? 37

Rettangoli isoperimetrici (perimetro di 20 cm) Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 38

Abbiamo poi collocato nel piano cartesiano i rettangoli facendo coincidere un vertice con l'origine e disponendo altri due vertici sugli assi. Abbiamo poi riconosciuto che il quarto vertice è quello le cui coordinate sono le coppie additive di 10. Il disegno rappresenta tutte le possibili soluzioni, comprese le soluzioni "limite" del rettangolo con base 0 e altezza 10, e quella del rettangolo con base 10 e altezza 0. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 39

Perimetro – area - volume di una figura: definizioni (di Clara Colombo Bozzolo) Perimetro- area- volume: 1. Sono un ente geometrico, cioè una linea, una superficie, un solido? sì 2. Sono una misura di tale ente geometrico, cioè un numero? sì 3. Sono una grandezza sì no no no Perimetro di una figura piana: 1. è il contorno della figura 2. è la misura del contorno 3. è la lunghezza del contorno sì sì sì no no no Il termine “perimetro” vale solo per i poligoni? Il cerchio ha un perimetro? sì sì no no In un poligono il perimetro: 1. è la somma dei lati 2. è la somma delle misure dei lati 3. è la somma delle lunghezze dei lati sì sì sì no no no Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 40

Perimetro – area - volume di una figura: definizioni. Area di una figura piana: 1. è “lo spazio piano” occupato dalla figura 2. è la misura di tale parte di piano 3. è una grandezza relativa all’equiestensione di figure piane Volume di un solido: 1. è la parte di spazio occupato dal solido 2. è la misura di tale parte di spazio 3. è una grandezza relativa all’equiestensione di figure solide sì sì no no sì no Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 41

Dal quadrato al trapezio (da Polymath novembre 2010) Un quadrato di lato 2 unità viene piegato a metà e si ottiene così un triangolo rettangolo isoscele. Successivamente il triangolo così ottenuto viene piegato lungo la linea che taglia a metà i due cateti. Si chiede il perimetro del trapezio ottenuto. Soluzione Dalla figura si deduce che il perimetro del trapezio è 2 + 3√ 2 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 42

Determinazione della lunghezza di una circonferenza (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Nel caso di linee che non sono segmenti e non sono spezzate la definizione rigorosa di lunghezza comporta il ricorso a processi infinitesimali, ossia l’approssimazione della linea con spezzate che sono progressivamente più “prossime” alla linea e hanno i vertici sulla linea o sono ad essa tangenti, come mostrano i seguenti disegni La lunghezza della linea è il limite a cui tende la successione delle lunghezze delle spezzate così costruite, quando tende ad infinito il numero dei lati delle spezzate. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 43

I concetti di lunghezza, area, volume (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Nella pratica la lunghezza di una linea con elementi curvi si determina o tramite rettificazione, per esempio con cordicelle, oppure con il curvimetro, ruota graduata in centimetri da fare scorrere sulla linea. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 44

Curvimetri Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 45

Determinazione della lunghezza di una circonferenza (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176) Tra le linee curve vi è il caso notevole della circonferenza, la cui lunghezza è il perimetro del cerchio da essa delimitato. Per la circonferenza, tuttavia, è possibile individuare un procedimento aritmetico che permette di calcolare la misura della sua lunghezza, nota quella del diametro. Si deve, quindi, fare scoprire agli alunni il legame tra la lunghezza della circonferenza e la lunghezza del relativo diametro. A tal fine, alle esperienze sopra indicate si può aggiungere la seguente: si ritaglia da un cartoncino il cerchio considerato e lo si fa rotolare su una retta disegnata, partendo da un punto A segnato su ambedue. Quando il punto A segnato sulla circonferenza tocca di nuovo la retta ci si ferma e, sulla retta, si segna il punto B. Evidentemente il segmento AB rappresenta la circonferenza rettificata. A A A B Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 46

Determinazione della lunghezza di una circonferenza (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pg. 176) Si confronta, direttamente o indirettamente con medio termine o con il compasso, la lunghezza del segmento AB con quella del diametro e si nota che essa è poco maggiore di tre diametri. Si ripete l'esperienza più volte e con cerchi di diverso diametro. Se si utilizzano cerchi piuttosto “grandi” si suggerisce di ritagliare quattro cordicelle o nastri lunghe come il diametro del cerchio in esame: si accostano consecutivamente tre di esse al segmento che rettifica la circonferenza e si vede che rimane “scoperto” un pezzetto di segmento. Si divide la quarta cordicella in dieci parti uguali per lunghezza e con queste parti si cerca di ricoprire ciò che rimane del segmento: un decimo del diametro non basta, ma due decimi del diametro sono troppi. Ciò significa che la lunghezza della circonferenza è più di 3, 1 diametri ma meno di 3, 2 diametri. Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 47

Determinazione della lunghezza di una circonferenza (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176) Dopo che con la manipolazione e la misura si è collocato il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del relativo diametro nell’intervallo di estremi 3, 1 e 3, 2, l’insegnante introduce il numero indicato con π che esprime esattamente il valore di tale rapporto, ma non è utilizzabile concretamente perché è un numero decimale illimitato non periodico, ossia un numero che ha infinite cifre decimali senza ripetizioni regolari: π = 3, 14159254. . Un valore approssimato di tali numero era già noto nell’antichità, sin dagli Egizi; un’approssimazione comoda era quella data dal numero razionale assoluto 22/7 che in forma decimale è il numero periodico 3, 142857 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 48

Determinazione della lunghezza di una circonferenza (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 175 a pag. 176) Si fa notare agli alunni che per eseguire conti con è inevitabile assumerne un valore approssimato; in genere, si arrotonda ai centesimi, per cui a si sostituisce il valore 3, 14. Se d è la lunghezza del diametro e C quella della circonferenza, si farà scrivere: C = π d = 3, 14. . . d 3, 14 d È opportuno non dare la formula inversa, ma farla ricavare da quella diretta scrivendo la formula con l’uso dell’operatore “ 3, 14”: x 3, 14 d C : 3, 14 Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis febbraio aprile 2017 49