Energia Potenziale Elettrica Lavoro compiuto per spostare una

Energia Potenziale Elettrica Lavoro compiuto per spostare una carica puntiforme q 0 nel campo elettrico della carica puntiforme q (q 0 << q) Lavoro compiuto da F Lavoro totale sul percorso 12: Da cui: Lezione n. 4 Non dipende dal cammino di integrazione ma solo dagli estremi Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 1

La forza elettrostatica è conservativa Unità di misura di U nel sistema SI: joule (J) U 2 = energia potenziale del punto 2 U 1 = energia potenziale del punto 1 Nel caso di un campo elettrico E generico La Forza elettrica è conservativa W 12 non dipende dal cammino di integrazione percorso della carica q 0 nel campo generato dalla carica q. Se il punto P 1 coincide con P 2 (percorso chiuso) Circuitazione di F = 0 Forza elettrica conservativa ma poichè Allora anche la circuitazione di E = 0 Campo elettrico conservativo Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 2

Potenziale elettrostatico Definito come Energia potenziale per unità di carica Unità di misura nel sistema SI: volt=joule/coulomb (V = J C-1) Differenza di potenziale elettrico Nel caso della carica puntiforme Di solito si sceglie la condizione al contorno di potenziale nullo all’infinito, per cui Nel caso di una distribuzione continua di carica, il potenziale vale: dove Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 3

Le unità di misura - l’elettron-Volt Dalla definizione di potenziale si evince che esso è il lavoro per unità di carica necessario per portare l’unità di carica dall’infinito alla posizione r Dal punto di vista dimensionale è un’energia per unità di carica Pertanto il potenziale si misura in volt = joule / coulomb 1 joule rappresenta il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare l’unità di carica (1 coulomb) attraverso la d. d. p. di 1 volt. Una definizione alternativa, usata in fisica atomica, consiste nel definire l’unità di misura del potenziale nel modo seguente: il lavoro (cioè l’energia) necessario per spostare la carica elementare (1|e| =1. 6 10 -19 coulomb) attraverso la d. d. p. di 1 volt. Tale lavoro è pari a 1. 6 10 -19 joule, e tale valore viene chiamato elettron-volt (e. V). Pertanto 1 e. V = 1. 6 10 -19 J (l’e. V è un’unità di misura dell’energia). Inoltre, si ricorda che, per definizione di potenziale, Quindi dove L lunghezza, e pertanto l’unità di misura del campo elettrico è, oltre che newton/coulomb, anche volt/m (ovviamente numericamente le due grandezze sono equivalenti). Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 4

Superfici equipotenziali e linee di forza Le superfici equipotenziali sono definite come il luogo dei punti per cui f = costante Le linee di forza sono “linee” tangenti in ogni punto alla direzione del campo elettrico Esempi Campo elettrico uniforme Carica puntiforme Dipolo elettrico Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 5

Come calcolare il potenziale, dato E? Si è visto che cioè Tale risultato è indipendente dal percorso Nel caso in cui, poi, si scelga f 1=0 la formula si semplifica in: Nel caso della carica puntiforme, si ha: Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 6

Esempio: potenziale di distribuzioni sferiche Guscio sferico o sfera conduttrice Sfera uniformemente carica All’interno il campo elettrico è All’esterno, il campo elettrico è come nel caso di una carica puntiforme. Il potenziale all’interno va calcolato come somma di due contributi, uno relativo a r<R, dove il campo elettrico è Eint, e l’altro per r>R, dove il campo elettrico vale Eest: Il potenziale all’esterno invece va calcolato solo per r>R, dove il campo elettrico vale Eest: Lezione n. 4 Il potenziale all’esterno è uguale al caso del guscio sferico poichè le distribuzioni a simmetria sferica, per la legge di Gauss, possiedono lo stesso campo di una carica puntiforme posta al centro della distribuzione. Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 7

Il potenziale in un campo elettrico uniforme Data la particolare geometria del sistema, si ha subito: E pertanto la d. d. p. risulta essere: Dove “d” è la distanza di integrazione. Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 8

Il potenziale di dipolo Un dipolo elettrico è un sistema composto da due cariche elettriche uguali ma di segno opposto poste alla distanza d. Il potenziale è una grandezza additiva, per cui nel punto P, posto alla distanza r>>d, esso sarà dato da: Data la relazione tra d ed r, si possono utilizzare le approssimazioni: L’angolo q è compreso tra l’asse del dipolo elettrico e la direzione di P. E quindi ottenere il valore finale per il potenziale: La grandezza p=qd è definita momento di dipolo elettrico Si noti come per una carica puntiforme V r-1 ed E r-2 mentre per un dipolo elettrico V r-2 ed E r-3 (nella direzione dell’asse). Questo avviene perché si fa sentire l’effetto della seconda carica di segno opposto Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 9

Il potenziale di un conduttore carico isolato In un conduttore carico isolato E=0 in tutti i punti all’interno di esso, e tutta la sua carica giace sulla superficie del conduttore. Dall’equazione che definisce il potenziale: Si deduce che essendo E=0 allora il potenziale è uguale per tutte le coppie di punti possibili all’interno del conduttore. Ad esempio, per un conduttore a forma di guscio sferico campo elettrico e potenziale assumono l’andamento a fianco Questo significa che le cariche elettriche in un conduttore, in presenza di campo elettrico, si ridistribuiscono sulla superficie in modo da assumere una configurazione equipotenziale. Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 10

L’effetto parafulmine Consideriamo due sfere con cariche Q 1 e Q 2 e raggi R 1 << R 2 collegate tra loro (cioè si trovano allo stesso potenziale) e poste a grande distanza l’una dall’altra (quindi i loro campi elettrici non si influenzano l’uno con l’altro all’interno delle sfere). L’uguaglianza del potenziale implica che: Da cui si trova: Per quanto riguarda i campi elettrici, il loro rapporto vale: E tenendo conto della relazione precedente, si ha: Dato che R 1 << R 2 , allora E 1 >> E 2. Nel caso del parafulmine, R 2 6000 Km è il raggio di curvatura della superficie terrestre mentre R 1 1 cm può essere assunto come il raggio di curvatura della superficie di un’asta metallica che funge da parafulmine, per cui E 1/E 2 6 108 Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 11

Potenziale dovuto ad una carica lineare Una sbarretta lunga L e sottile (spessore<<L) è carica positivamente con densità lineare di carica data da Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla distanza d da un suo estremo, può essere valutato integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli elementi infinitesimi dq: Tale integrale vale: Si ricorda che l’integrale seguente è risolubile come: Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 12

Potenziale dovuto ad un disco carico Si consideri un disco di raggio R, carico con densità di carica superficiale s=dq/d. A. Il potenziale nel punto P, situato sull’asse del disco, è valutabile considerando dapprima il contributo di un anello infinitesimo del disco, di raggio R’ e larghezza radiale d. R’, di area 2 p. R’ d. R’ e carico dq. Essendo tutti i punti dell’anello alla distanza r dal punto P, il potenziale da essi generato vale: Il potenziale dovuto a tutto il disco è quindi dato dall’integrale: Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 13

Energia potenziale elettrica Ogni sistema di cariche possiede un’energia intrinseca immagazzinata nel sistema stesso: l’energia potenziale elettrica L’energia potenziale elettrica è definita come il lavoro richiesto per costruire il sistema di cariche, spostando ciascuna carica da una distanza infinita alla propria posizione. Ad esempio, si consideri un sistema di due cariche q 1 e q 2 poste alle distanze r 1 e r 2 da un arbitrario sistema di riferimento. L’energia potenziale elettrica di questo sistema è equivalente al lavoro necessario per portare la carica q 2 dalla distanza infinita alla posizione r 2 contro il campo elettrico creato da q 1: Nel caso vi siano tre cariche q 1, q 2 e q 3, prima considero la coppia q 1 e q 2, per cui Poi considero q 3: per portarla alla posizione r 3 debbo prima compiere lavoro contro il campo generato da q 1 e poi contro quello generato da q 2 Per cui il lavoro complessivo vale Nel caso generale di un sistema di N cariche Lezione n. 4 Corso di Fisica B, C. S. Chimica, A. A. 2001 -02 14