Unit 9 Il campo elettrico e il potenziale

Unità 9 Il campo elettrico e il potenziale Copyright © 2009 Zanichelli editore

1. Il vettore campo elettrico La forza tra due corpi carichi, come quella gravitazionale, è una forza a distanza: agisce senza contatto. Una carica Q 1 in un punto A modifica lo spazio che la circonda, in particolare in un punto B dove si trova la carica Q 2; Q 2 risente della forza elettrica, dovuta alle nuove proprietà dello spazio in cui si trova. Su queste idee si basa il concetto di campo elettrico. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il vettore campo elettrico La carica Q 1 genera un campo elettrico nello spazio circostante al punto A; la presenza del campo nel punto B si constata con la forza che agisce su Q 2; il campo elettrico in B esiste indipendentemente da Q 2. Q 1 modifica lo spazio come la sfera pesante deforma il telo elastico: la deformazione determina il moto della sfera più piccola, ma esiste a prescindere da essa. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Definizione del vettore campo elettrico Una carica di prova è abbastanza piccola da non modificare il sistema fisico in studio. Su una carica di prova q+ nel punto P agisce una forza che dipende: dalle cariche generano il campo; dalla posizione P della carica; dal valore della carica di prova stessa. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Definizione del vettore campo elettrico Definiamo il campo elettrico indipendente dalla carica di prova: in modo il vettore campo elettrico E è dato dal rapporto tra il vettore forza, agente sulla carica di prova, e la carica stessa: È una grandezza unitaria che si misura in N/C e corrisponde alla forza che agirebbe sulla carica di 1 C. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Definizione del vettore campo elettrico Misuriamo il valore di E in un dato punto: mettiamo la carica di prova in quel punto, Nell'esempio, Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il calcolo della forza Noto E in un dato punto, possiamo ricavare il vettore forza F agente su una carica q: quindi il modulo del vettore è F = q E; Copyright © 2009 Zanichelli editore

2. Il campo elettrico di una carica puntiforme Se una sola carica puntiforme Q genera il campo, la forza che essa esercita nel vuoto sulla carica di prova è: Quindi il campo elettrico ha intensità: Copyright © 2009 Zanichelli editore , ovvero

Il campo elettrico di una carica puntiforme Quando le cariche sono immerse in un mezzo isolante, la forza sulla carica q+ è: E il campo elettrico ha intensità: direttamente proporzionale a Q; inversamente proporzionale al quadrato della distanza r. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il campo elettrico di una carica puntiforme La direzione dei vettori E è radiale con centro in Q; per il verso: Copyright © 2009 Zanichelli editore

Campo elettrico di più cariche puntiformi I diversi campi elettrici in uno stesso punto si sommano con la regola del parallelogramma: La presenza di ogni carica non influisce sui campi generati dalle altre Copyright © 2009 Zanichelli editore

3. Le linee del campo elettrico Mettendo una carica Q in olio, dei fili di cotone si dispongono a raggiera intorno alla carica: in questo modo si può visualizzare il campo elettrico. La disposizione dei fili è dovuta polarizzazione del mezzo isolante. Copyright © 2009 Zanichelli editore alla

Le linee del campo elettrico Queste linee non esistono realmente e vengono dette linee di campo. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Costruzione delle linee di campo Si considera il vettore E 1 nel punto P 1; ci si sposta di un tratto s lungo E 1 e si disegna il vettore E 2 in P 2; si continua così fino a ottenere una linea spezzata che congiunge P 1, P 2, . . . Pn. per s che tende a zero, la spezzata diventa la linea di campo. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Costruzione delle linee di campo Le linee del campo elettrico hanno le seguenti proprietà: in ogni punto sono tangenti al vettore E; sono orientate nel verso del vettore E; escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative; la loro densità è proporzionale all'intensità del campo E. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il campo di una carica puntiforme Le linee sono semirette che hanno origine nella carica Q che genera il campo e che si diradano mano che ci si allontana da Q. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il campo di due cariche puntiformi Le linee variano a seconda che le cariche siano di segno opposto (A) o uguale (B): Copyright © 2009 Zanichelli editore

4. Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie La portata di un fluido attraverso una superficie S è il rapporto tra il volume di fluido che attraversa S nel tempo t e l'intervallo t: Se il fluido si muove con velocità v, il valore della portata dipende dall'inclinazione di S rispetto alla direzione di v. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie Esaminiamo ora un angolo d'inclinazione qualsiasi. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie Scomponendo v: v = v|| + v ; si ha La portata è la somma: Come nella figura precedente: (caso A); Quindi Copyright © 2009 Zanichelli editore (caso B).

Il vettore superficie Introduciamo il vettore superficie S, che ha: modulo pari all'area di S; direzione perpendicolare alla superficie; verso uscente, se S è parte di una superficie chiusa. La portata si scrive: Copyright © 2009 Zanichelli editore

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5. Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss Data una superficie piana S e un campo elettrico E costante su S, il flusso del vettore campo elettrico attraverso S è definito: Se una superficie non è piana o E non è costante, bisogna considerare n piccoli elementi in cui le condizioni siano rispettate. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il flusso del campo elettrico e il teorema di Gauss Dividiamo in n elementi Si che si possano considerare piani, in cui E sia circa costante; per ogni superficie calcoliamo il flusso: troviamo il flusso totale come somma di tutti i contributi: ovvero Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il teorema di Gauss per il campo elettrico Teorema di Gauss: il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è direttamente proporzionale alla somma algebrica delle cariche interne alla superficie. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il teorema di Gauss per il campo elettrico Il valore del flusso non dipende: dalla forma della superficie (purché chiusa); da come è distribuita la carica interna; dalle eventuali cariche esterne. Per entrambe le superfici, = 3 q/. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Dimostrazione del teorema di Gauss Dimostrazione per un caso particolare: campo generato da una carica puntiforme Q; è una sfera di raggio r e centro in Q. Dividendo in n parti, si avranno: Si ed Ei entrambi con direzione radiale; verso uscente. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Dimostrazione del teorema di Gauss Si ed Ei sono paralleli: Tutti gli Ei hanno lo stesso valore: perciò . Il flusso è: dove Copyright © 2009 Zanichelli editore . Quindi

6. L'energia potenziale elettrica L'energia potenziale U associata ad una forza conservativa F è definita: 1) con la differenza di energia potenziale U=UB-UA : ; 2) scegliendo poi una posizione di riferimento R e chiamando UA l’energia potenziale di A: Copyright © 2009 Zanichelli editore

L'energia potenziale della forza di Coulomb La forza di Coulomb è: analoga a quella di Newton: , che è , con la sostituzione Le due forze hanno la stessa forma matematica e la forza di Newton è conservativa, quindi anche la forza di Coulomb è conservativa. Anche per la forza elettrica si può definire un'energia potenziale. Copyright © 2009 Zanichelli editore

L'energia potenziale della forza di Coulomb L'energia potenziale gravitazionale di due masse a distanza r è: sostituendo si ha l'energia potenziale elettrica di due cariche Q 1 e Q 2 a distanza r: per k = 0: Copyright © 2009 Zanichelli editore

L'energia potenziale della forza di Coulomb La scelta k = 0 equivale a prendere come riferimento (U = 0) la situazione di due cariche a distanza infinita. Dal grafico di U in funzione di r si vede che l'energia potenziale si annulla per r infinitamente grande. Copyright © 2009 Zanichelli editore

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Il caso di più cariche puntiformi Nel caso di più cariche puntiformi l'energia potenziale elettrica è data dalla somma dei contributi che si ottengono prendendo tutte le coppie possibili tra le cariche. Calcoliamo il lavoro per portare una alla volta le cariche all'infinito. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il caso di più cariche puntiformi Carica Q 1: Carica Q 2: Carica Q 3: Carica Q 4: non serve spostarla, perché è già a distanza infinita dalle altre. L'energia potenziale di un sistema di cariche è pari al lavoro fatto dalle forze elettriche per portare tutte le cariche a distanza reciproca infinita. Copyright © 2009 Zanichelli editore

7. Il potenziale elettrico è una grandezza scalare che dipende dalle N cariche generano il campo elettrico, ma non dalla carica di prova: Copyright © 2009 Zanichelli editore

Definizione del potenziale elettrico VA = UA/q : il potenziale elettrico è il rapporto tra l'energia potenziale della carica di prova q, nel punto A, dovuta alla presenza delle cariche generano il campo, e la carica di prova stessa. Poiché U è direttamente proporzionale a q, V è indipendente da q. Copyright © 2009 Zanichelli editore

La differenza di potenziale elettrico Dati due punti A e B, la loro differenza di potenziale elettrico è: ovvero La differenza di potenziale è il rapporto tra il lavoro fatto dalla forza elettrica sulla carica q per spostarla da B ad A e la carica q stessa. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il moto spontaneo delle cariche elettriche Se , lo spostamento da A a B può avvenire spontaneamente. V = VB – VA è negativo. Le cariche positive “scendono” lungo la differenza di potenziale (vanno da V maggiore a V minore); le cariche negative “risalgono” la differenza di potenziale (vanno da V minore a V maggiore). Copyright © 2009 Zanichelli editore

L'unità di misura del potenziale elettrico nel S. I. è J/C, che in onore di A. Volta è stato chiamato volt (V). Poiché è tra due punti c'è una differenza di potenziale di 1 V quando, spostando una carica di 1 C da un punto all'altro, la sua energia potenziale cambia di 1 J. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il potenziale di una carica puntiforme L'energia potenziale di q, in un punto P a distanza r dalla carica Q che genera il campo, è: Per la definizione di V si ha quindi Se il campo è generato da più cariche, il potenziale è la somma algebrica dei potenziali generati in P dalle singole cariche. Copyright © 2009 Zanichelli editore

L'elettrocardiogramma Il funzionamento del cuore genera piccoli V (dell'ordine di 1 m. V) tra diversi punti del corpo umano. La variazione nel tempo di questi V viene misurata con degli elettrodi e dà informazioni fondamentali sullo stato del cuore. Copyright © 2009 Zanichelli editore

8. Le superfici equipotenziali Una superficie equipotenziale è il luogo dei punti dello spazio in cui il potenziale elettrico assume lo stesso valore. Per una carica Q è equipotenziali sono sfere concentriche con centro in Q. Le superfici equipotenziali sono perpendicolari, in ogni punto, alle linee del campo elettrico. Copyright © 2009 Zanichelli editore : le superfici

Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo e superfici equipotenziali Per un campo elettrico uniforme: le linee di campo sono rette parallele equidistanti tra loro; le superfici equipotenziali sono piani ad esse perpendicolari. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo e superfici equipotenziali Su un segmento AB perpendicolare alle linee di campo, la forza F è perpendicolare allo spostamento s da A a B: il lavoro compiuto è nullo. Poiché è , cioè V(B) = V(A) : A e B sono su una superficie equipotenziale. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Dimostrazionene della perpendicolarità tra linee di campo e superfici equipotenziali La dimostrazione vale per qualsiasi superficie equipotenziale, prendendone porzioni abbastanza piccole da essere quasi piane. Linee di campo e superfici equipotenziali di un dipolo elettrico. Copyright © 2009 Zanichelli editore

9. La deduzione del campo elettrico dal potenziale È possibile calcolare il campo elettrico in un punto dello spazio se si conosce l'andamento del potenziale elettrico nei dintorni di quel punto. In una zona piccola dove E è circa uniforme consideriamo due superfici equipotenziali (parallele tra loro): 1, a potenziale VA, e 2, a potenziale VA+ V. Copyright © 2009 Zanichelli editore

La deduzione del campo elettrico dal potenziale il lavoro fatto dalla forza elettrica per spostare una carica q da A a B è Tra A e B c'è La componente di l lungo E è , perciò In definitiva: Copyright © 2009 Zanichelli editore e

10. La circuitazione del campo elettrostatico Data una linea chiusa e orientata : si divide in n piccole parti, circa rettilinee e con E costante lungo di esse; si indicano con e con il vettore spostamento ed il campo elettrico di ogni parte; si calcola il prodotto scalare La circuitazione del vettore E lungo Copyright © 2009 Zanichelli editore è:

La circuitazione in fluidodinamica La circuitazione del vettore velocità in fluidodinamica permette di capire se il moto della corrente è laminare o turbolento (cioè con vortici o senza). Copyright © 2009 Zanichelli editore

La circuitazione in fluidodinamica : circonferenza percorsa in senso antiorario. Copyright © 2009 Zanichelli editore

La circuitazione in fluidodinamica Quindi la circuitazione del vettore velocità in fluidodinamica è: positiva, se nella zona ci sono vortici con lo stesso verso di ; negativa, se nella zona ci sono vortici con verso opposto a quello di ; uguale a zero, se nella zona non ci sono vortici. Copyright © 2009 Zanichelli editore

Il significato della circuitazione del campo elettrico Abbiamo visto che è ; quindi La circuitazione del campo elettrico è nulla, per qualsiasi cammino orientato. Questo perché il campo elettrico è conservativo. Il risultato è valido per il campo elettrostatico, cioè quando tutte le cariche elettriche sono in equilibrio. Copyright © 2009 Zanichelli editore