Quarta Lezione Calcolo del campo attraverso i potenziali

Quarta Lezione Calcolo del campo attraverso i potenziali, Generatore di Kelvin, effetto delle punte

Riassunto della lezione precedente n n n Applicazioni del th di Gauss in forma integrale Teorema di Gauss in forma differenziale Teorema della divergenza Il potenziale Scalare Il concetto di gradiente

Considerazioni sul potenziale n Nella lezione precedente avevamo visto come il lavoro compiuto dal campo nello spostare una carica nel campo prodotto da un’altra carica lungo una linea qualunque, definito come dipende solo dai punti A e B e non dal percorso, per cui si poteva definire una energia potenziale elettrica U tale che n Volendo svincolarsi dal valore della carica esplorativa, avevamo definito il potenziale elettrico

Considerazioni sul potenziale n Il fatto che se A e B coincidono, indipendentemente dal percorso, WAB=0 indica che il CAMPO ELETTROSTATICO E’ CONSERVATIVO, ovvero cioè la circuitazione o circolazione del campo elettrostatico è nulla. sempre n Nel seguito useremo questa proprietà per dimostrare che in una gabbia di Faraday il campo è nullo

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n Applichiamo Gauss in forma integrale alla superficie S n Siamo nel conduttore, quindi sia campo che relativo flusso sono nulli n Quindi la carica racchiusa totale è nulla, indipendentemente dal campo esterno Ma questo non ci impedisce di ipotizzare che sulla superficie interna della cavità vi siano distribuzioni di carica “esotiche”, ma tali che la somma sia zero! Sarebbe compatibile con il th S di Gauss!!! n n Immaginiamo di avere in conduttore cavo immerso in un campo elettrico

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n n n Per escludere questa possibilità, procediamo per assurdo Ipotizziamo che ci sia una distribuzione di carica, positiva da una parte e negativa dall’altra In tal caso ci sarebbe anche un campo elettrico interno, ortogonale alla superficie, che va dalle cariche positive alle negative Calcoliamo la circuitazione lungo una linea C: la linea segue una linea di campo e si chiude NEL conduttore Ora sappiamo che la circuitazione deve essere zero. Ma il campo nel conduttore (e quindi il contributo alla circuitazione di C nel conduttore) è nullo. + ++ C -

Qualche parola in più sulla Gabbia di Faraday n n n cioè Ma il percorso C 1 è stato scelto lungo una linea di forza che congiunge cariche positive e negative: se ci sono cariche l’integrale non può essere nullo (E non può cambiare di segno lungo tale percorso) Quindi non c’è campo e non vi sono cariche indotte internamente dal campo esterno B C 1 + ++ A C 2 -

Potenziale per una sfera conduttrice carica (o guscio sferico uniformemente carico n n n Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica interna S 1: nessuna carica racchiusa, campo nullo Se applichiamo Gauss ad una sfera concentrica esterna S 2: campo come se tutta la carica fosse nel centro calcoliamo V distinguendo i contributi interni ed esterni; usiamo il potenziale all’infinito come riferimento Per r<R Costante (non dipende da r)

Potenziale per una sfera conduttrice carica Per r>R Es: supponiamo R=1 m, Q=1 m. C: Grafico

Considerazioni n n Quanto trovato non deve sorprendere: il conduttore, in condizioni di equilibrio statico, è equipotenziale. Se cavo, valgono le considerazioni della gabbia di Faraday del resto internamente non vi è campo né vi possono essere differenze di potenziale in superficie, o vi sarebbe un campo in direzione non ortogonale alla superficie che farebbe scorrere correnti ricordate: condizioni al contorno per un conduttore ideali sono: campo nullo all’interno, e campo solo ortogonale alla superficie

Il Generatore di Kelvin (William Thomson, in Proceedings of the Royal Society of London, Volume 16, giugno 1867, pp 67 ‑ 72) Un generatore che sfrutta solo il passaggio di alcune gocce d’acqua. . .

Il Generatore di Kelvin n n Supponiamo per un qualunque motivo (casualità, raggi cosmici, modo in cui si formano le gocce…) l’armatura a sinistra sia un po’ più positiva dell’armatura a destra L’armatura indurrà cariche negative sulle gocce che l’attraversano; tali cariche sono di fatto sottratte dal liquido nella vasca Le gocce cariche negativamente finiscono nel recipiente di sinistra (che deve essere ben isolato), che quindi aumenta la sua carica Tale recipiente è equipotenziale (grazie ad un conduttore) con l’armatura di destra che quindi è negativa e induce sul secondo flusso cariche positive, caricando il recipiente di destra quindi l’armatura di sinistra diviene sempre più positiva e quella di destra sempre più negativa

Il Generatore di Kelvin n In pratica, la differenza di potenziale tra le due vasche cresce proporzionalmente al potenziale stesso (se l’acqua fluisce uniformemente) Qualunque sia stata la causa della differenza di potenziale iniziale Vo, essa cresce esponenzialmente, fino a raggiungere il limite di scarica nell’aria! Di fatto, spesso occorre aspettare un po’ prima che il fenomeno abbia inizio

Effetto parafulmine n n Consideriamo per esercizio due sfere cariche con raggio R 1<<R 2, molto lontane, ma collegate da un filo conduttore L’uguaglianza dei potenziali implica R 1 n Se confrontiamo i campi sulle superfici delle due sfere R 2

Effetto parafulmine n n E’ chiaro che quindi se R 2>>R 1, E 1>>E 2 Se immaginiamo che R 1 è il raggio di curvatura della punta di un’asta metallica (per es 1 cm) ed R 2 quello della terra (6000 km), il rapporto tra E 1 ed E 2 è 6 108! La punta dell’asta sperimenta un campo molto intenso che tende a strappare le cariche Il fatto che il campo elettrico tende a diventare molto grande (addirittura infinito) in prossimità di una punta di metallo può essere dimostrato matematicamente; nondimeno un semplice ragionamento fisico da conto di questo effetto, che si ritrova in ogni SPIGOLO METALLICO (singolarità di spigolo)

Effetto parafulmine n Considerate infatti un piano metallico carico + + + ++ + n Le cariche, tutte dello stesso segno, tendono a respingersi, e finiscono per distribuirsi uniformemente lungo la superficie, in un equilibrio delle forze di repulsione

Effetto parafulmine + + ++ ++ ++ n + + ++ + Immaginate ora di “piegare” il piano a formare uno spigolo ++ ++ ++ + n L’equilibrio è (momentaneamente) rotto. Le cariche in cima si ritrovano in una condizione di asimmetria, con molte cariche spingono dal basso, ma poche (o nessuna per quella al vertice), che spinge dall’alto Le cariche debbono re-distribuirsi per tornare in equilibrio, affollandosi sulla punta

Effetto parafulmine n n Del resto che il campo su una punta (o su uno spigolo) possa essere infinito non sorprende: pensate solo al campo su una sfera carica, e fate tendere a zero il raggio di curvatura Fortunatamente la natura non ama gli spigoli, che sono una astrazione, ma sappiamo che il campo in prossimità degli spigoli è molto grande

Effetto parafulmine n n Il parafulmine sfrutta l’effetto delle punte Le cariche vengono disperse dal parafulmine gradualmente, neutralizzando in modo graduale le cariche dell’aria circostante

Effetto parafulmine n n L’intensità di campo oltre la quale avviene la scarica, per ionizzazione, si chiama rigidità dielettrica Un fulmine è costituito da ioni in movimento, ad una velocità di circa 100 km al secondo

Calcolo del campo di un dipolo usando i potenziali n Se vogliamo il campo elettrico in coordinate sferiche (come determinato in una precedente lezione) occorre calcolare il Grad(V) in coordinate sferiche

Campo Elettrico del dipolo a partire dal potenziale Il gradiente in coordinate sferiche è (come da appendice Ramo-Whinnery) Poiché V non dipende da f Quanto avevamo ottenuto in precedenza…. . . Nota: mentre il campo elettrico di una carica decresce con r come r-2, il dipolo, a causa della seconda carica ha campo che decresce come r-3

Potenziale di una distribuzione continua di cariche P r-r’ r d. V Distribuzione di cariche V r’ r

Esercizio n D Calcolare la differenza di potenziale tra a due cilindri conduttori coassiali se il r cilindro più interno è uniformemente carico con densità lineare di carica l b Avevamo calcolato il campo elettrico qualche tempo fa: riusiamo tale espressione e ricaviamo V

Esercizio (continuo) n n Dobbiamo scegliere un riferimento per eliminare la costante C Non conviene qui usare il potenziale all’infinito come riferimento: meglio uno degli elettrodi: otteniamo quindi

Potenziale di una carica lineare n n Una barra sottile (spessore<<L) di lunghezza L è carica positivamente con densità lineare di carica l, per cui Il potenziale dovuto alla bacchetta in un punto P, alla distanza d da un suo estremo, può essere valutato integrando sulla bacchetta i contributi dovuti agli elementi infinitesimi dq: Ricordate che

Potenziale dovuto ad un disco carico n n n Il disco ha densità di carica superficiale (uniforme) s Calcoliamo il potenziale in P può essere comodo considerare prima un anello del disco, poiché tutti i punti sono a distanza r da P, per cui Ma quantità di carica dell’anello è pari a s per l’area dell’anello: Per cui