In fisica la nozione di campo elettrico fu

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In fisica la nozione di campo elettrico fu proposta da Faraday per meglio spiegare

In fisica la nozione di campo elettrico fu proposta da Faraday per meglio spiegare l'interazione tra cariche si trovano a una determinata distanza l'una dall’altra La presenza di una distribuzione di cariche modifica lo spazio intorno a sé, e questa modifica si manifesta attraverso forze attrattive o repulsive su altre cariche elettriche poste in un punto qualsiasi dello spazio influenzato dalla distribuzione di carica

La figura intende illustrare il senso del discorso su come avviene l’interazione tra due

La figura intende illustrare il senso del discorso su come avviene l’interazione tra due cariche di segno opposto. La sfera più grande modifica le proprietà del telo sul quale è appoggiata. A causa di questa modifica la seconda sfera (più piccola) è costretta a muoversi verso l’altra dalla forma dello spazio e non già perchè attirata a distanza dall’altra sfera. Nell’esempio si può immaginare che la sfera più grande sia una carica negativa, che modifica le proprietà dello spazio introno a se, e a causa di tale modifica la una carica negativa (la sfera più piccola) è costretta a muoversi verso di essa. Allo stesso modo la presenza di una carica modifica lo spazio intorno a sé, e questa modifica si manifesta attraverso forze attrattive o repulsive su altre cariche elettriche poste in un punto qualsiasi dello spazio influenzato dalla distribuzione di carica

Una distribuzione di carica modifica lo spazio circostante e, in particolare, ne cambia le

Una distribuzione di carica modifica lo spazio circostante e, in particolare, ne cambia le proprietà in un punto B in cui si trova una carica piccola Q. La modifica causata dalla distribuzione di carica si manifesta con una forza su Q. La carica Q avverte una forza elettrica proprio a causa delle proprietà dello spazio in cui si trova. Si dice, così, che la distribuzione di carica genera un campo elettrico e che (DEF): la zona di spazio in cui si possono avvertire forze elettriche è sede di un campo elettrico.

CI RESTA DA DEFINIRE LA NUOVA GRANDEZZA FISICA DA UN PUNTO DI VISTA OPERATIVO

CI RESTA DA DEFINIRE LA NUOVA GRANDEZZA FISICA DA UN PUNTO DI VISTA OPERATIVO Se noi mettessimo una carica positiva (*)q+ in un punto P di un campo elettrostatico, potremmo notare che la forza F che agisce su q+ dipende da tre fattori: 1) Cariche formano il campo, perché se fossero diverse sarebbe diversa anche F ; 2) Punto P, perché in un'altra zona la F potrebbe essere diversa; 3) Valore q+, perché se fosse più grande sarebbe più grande anche la F. (*) La carica q+ si chiama carica di prova, è una carica elettrica abbastanza piccola da non modificare le proprietà del campo.

A noi serve trovare una grandezza che descriva la proprietà di ogni punto dello

A noi serve trovare una grandezza che descriva la proprietà di ogni punto dello spazio in cui si manifesta una forza elettrica. Per essere una proprietà dello spazio, essa non deve dipendere dalla carica di prova che si prende in considerazione per verificare la presenza del campo. F è proporzionale a q, per cui il rapporto E = F/q non dipende da q, ma solo dalla distribuzione di carica e dal punto in cui ci si trova. E’ quindi una proprietà dello spazio. Questa nuova grandezza si chiama proprio VETTORE CAMPO ELETTRICO e si misura in Newton/Coulomb. La forma matematica di dipende (come vedremo) dalla distribuzione di carica che ha generato il campo

In conclusione: IL CAMPO ELETTRICO: Ø È definito per spiegare come mai due corpi

In conclusione: IL CAMPO ELETTRICO: Ø È definito per spiegare come mai due corpi che non sono in contatto diretto sono interagiscono tra loro Ø Il campo elettrico è definito come la modifica che lo spazio subisce attorno ad una carica elettrica: lo spazio circostante alla carica è modificato dalla sua presenza Ø Il campo elettrico è un vettore

IL CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA PUNTIFORME In base alla definizione, il campo elettrico

IL CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA PUNTIFORME In base alla definizione, il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q è un vettore che in un punto P a distanza r da Q ha: Modulo: Direzione: la congiungente Q e P Verso: uscente se la carica sorgente del campo Q è positiva, entrante se Q è negativa

IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DA PIÙ CARICHE PUNTIFORMI ll campo elettrico generato da un

IL CAMPO ELETTRICO GENERATO DA PIÙ CARICHE PUNTIFORMI ll campo elettrico generato da un sistema di cariche puntiformi è la somma vettoriale dei campi generati dalle singole cariche

DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL CAMPO ELETTRICO Le linee di forza rappresentano graficamente il campo elettrico.

DESCRIZIONE QUALITATIVA DEL CAMPO ELETTRICO Le linee di forza rappresentano graficamente il campo elettrico. Le linee di forza hanno, in ogni loro punto, il vettore E come tangente; partono dalle cariche positive e si arrestano su quelle negative

ESEMPI DI LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO in ogni punto la direzione della

ESEMPI DI LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO in ogni punto la direzione della tangente alla linea di forza indica la direzione di E in quel punto, il verso di E è quello della linea di forza; il numero di linee che attraversano una superficie unitaria normale ad esse è proporzionale all’intensità di E; le linee di forza sono line aperte che escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative.

FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è

FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo. Flusso massimo Flusso proporzionale alla proiezione della superficie A nella direzione del campo Flusso nullo 11

DEFINIZIONE DI FLUSSO DEL VETTORE CAMPO ELETTRICO Il flusso del vettore campo elettrico attraverso

DEFINIZIONE DI FLUSSO DEL VETTORE CAMPO ELETTRICO Il flusso del vettore campo elettrico attraverso la superficie A è una grandezza scalare direttamente proporzionale alle linee di forza che attraversano la superficie A e dipende dall’orientamento della superficie rispetto alla direzione e al verso del Campo Elettrico Flusso massimo ed è proporzionale ad A Il flusso dipende dall’orientamento della superficie A rispetto alla direzione del campo Flusso proporzionale alla proiezione della superficie A sulla perpendicolare alla direzione del campo Flusso nullo

Flusso del campo elettrico Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1 -

Flusso del campo elettrico Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1 - Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio) 2 - La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico) Il flusso del campo elettrico si misura in Nm 2/C

Significato fisico di E’ LA PROIEZIONE DI S SULLA PERPENDICOLARE AD E 14

Significato fisico di E’ LA PROIEZIONE DI S SULLA PERPENDICOLARE AD E 14

 N. B in questo caso il flusso (uscente da A) è positivo (perché?

N. B in questo caso il flusso (uscente da A) è positivo (perché? ) N. B in questo caso il flusso (entrante in A) è negativo (perché? )

Flusso del campo elettrico Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1 -

Flusso del campo elettrico Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1 - Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio) 2 - La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico) S E Il flusso del campo elettrico si misura in Nm 2/C

2° Caso Hp: 1 - Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia

2° Caso Hp: 1 - Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto) 2 - La superficie NON è piana (il vettore superficie non è definito in modo unico) In questo caso si divide la superficie in tante piccole(*) superfici e si considera il campo elettrico relativo a ciascuna di esse E 3 E 2 E 4 S 2 S 3 E 1 S 1 (*) Def. di piccole superfici: cioè tali che ciascuna di esse può essere considerata piana ed il campo elettrico relativa ad essa costante

TEOREMA DI GAUSS Il flusso del vettore E campo elettrico attraverso una superficie chiusa

TEOREMA DI GAUSS Il flusso del vettore E campo elettrico attraverso una superficie chiusa S vale: Dove Q = somma di tutte le cariche interne alla superficie chiusa S. NB: le cariche esterne NON contribuiscono al flusso

Dimostrazione del Teorema di Gauss Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è

Dimostrazione del Teorema di Gauss Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è posta una carica elettrica positiva Q Dividiamo la sfera in tanti piccoli pezzettini Si in modo che ciascuno di essi possa essere considerato piano e il vettore campo elettrico costante e parallelo ad esso + Q il flusso del campo elettrico E attraverso ciascun elemento di superficie Si è: i = DSi x Ei = Si Ei cos 0° = Si Ei allora il flusso totale attraverso la sfera sarà

e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è avremo che Quindi:

e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è avremo che Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.

Osservazione 2 Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le

Osservazione 2 Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso. Q 1 Q 2 Q 3

Applicazioni Del Teorema Di Gauss Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica

Applicazioni Del Teorema Di Gauss Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica Dati Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q Obiettivo Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico +Q Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), uscente (la carica è positiva).

ANALOGIE TRA LEGGE DI GAUSS E DI COULOMB Sono due modi diversi per enunciare

ANALOGIE TRA LEGGE DI GAUSS E DI COULOMB Sono due modi diversi per enunciare lo stesso fenomeno fisico. I due punti fondamentali sono: 1) La dipendenza della forza di Coulomb da 1/r 2 2) L’additività dei campi (E, F) Ø La legge di Coulomb permette di ottenere il campo E una volta nota la carica Q, mentre con il teorema di Gauss, noto il campo E, si ottiene la carica presente in una certa regione dello spazio. Ø Mentre la legge di Coulomb cessa di valere per cariche in moto, il teorema di Gauss si può applicare sia a cariche in quiete sia a cariche in moto. Il teorema di Gauss è quindi più generale della legge di Coulomb.

ESEMPIO: CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA Come esempio, vogliamo calcolare il campo elettrico generato

ESEMPIO: CAMPO ELETTRICO DI UNA CARICA Come esempio, vogliamo calcolare il campo elettrico generato da una carica q usando il teorema di Gauss Superficie gaussiana = sfera di raggio r centrata in q Il flusso attraverso la sfera vale: Il teorema di Gauss dice che: Quindi:

CAMPO ELETTRICO DI UNA SFERA CARICA Si tratta di studiare il campo elettrico di

CAMPO ELETTRICO DI UNA SFERA CARICA Si tratta di studiare il campo elettrico di una sfera conduttrice carica In questo caso le cariche sono distribuite soltanto sulla superficie, al suo interno non ci sono cariche libere e quindi il campo elettrico all’interno è nullo. Per ogni superficie gaussiana esterna alla distribuzione sferica, la carica totale racchiusa al suo interno è q e pertanto il campo elettrico esterno risulta indistinguibile da quello generato da una carica puntiforme. http: //www. openfisica. com/fisica_ipertesto/openfisica 4/sfera. php

 CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE SFERICA DI CARICA S +Q r E

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE SFERICA DI CARICA S +Q r E applicando la definizione di flusso avremo: applicando invece il teorema di Gauss avremo:

e poiché i due flussi devono essere uguali avremo: Il campo elettrico è lo

e poiché i due flussi devono essere uguali avremo: Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico.

SISTEMI A SIMMETRIA SFERICA Per quanto riguarda il campo elettrico interno, è importante sapere

SISTEMI A SIMMETRIA SFERICA Per quanto riguarda il campo elettrico interno, è importante sapere le caratteristiche della distribuzione. Ad esempio, se essa è metallica, poiché le cariche in un conduttore metallico sono distribuite soltanto sulla superficie, al suo interno non ci sono cariche libere e quindi il campo elettrico è nullo. Nel caso di una sfera isolante, invece, se la carica è distribuita al suo interno in maniera uniforme (densità di carica r=q/V), è possibile valutare dapprima la carica contenuta entro la superficie gaussiana (sfera di raggio r<R): E quindi, essendo il flusso pari a: Si ottiene:

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI GAUSS (GABBIA DI FARADAY) IN UN CONDUTTORE CARICO, IN EQUILIBRIO

CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI GAUSS (GABBIA DI FARADAY) IN UN CONDUTTORE CARICO, IN EQUILIBRIO ELETTROSTATICO, LA CARICA È DISTRIBUITA SULLA SUPERFICIE Infatti, in un conduttore carico in equilibrio elettrostatico, le cariche sono in quiete E = 0 (nei punti interni del conduttore) Attraverso S (superficie gaussiana) E = 0 Q = 0 (all’interno del conduttore) 29

Conseguenze del teorema di Gauss Campo elettrico in punti prossimi alla superficie di un

Conseguenze del teorema di Gauss Campo elettrico in punti prossimi alla superficie di un conduttore carico Vicino alla superficie di un conduttore carico, la carica elettrica all’interno della superficie gaussiana (cilindro) vale s S (dove s = densità superficiale di carica locale e S è l’area delle due superfici di base del cilindro). Per la definizione di flusso: Per il teorema di Gauss: Ed essendo:

INDUZIONE ELETTROSTATICA Carica inducente = -q E = 0 (nei punti interni del conduttore)

INDUZIONE ELETTROSTATICA Carica inducente = -q E = 0 (nei punti interni del conduttore) Attraverso S (superficie gaussiana) E = 0 Q = 0 (all’interno di S) Carica indotta sulla superficie interna = +q Carica indotta sulla superficie esterna = -q NB: il risultato è INDIPENDENTE dalla posizione della carica interna!!! Ad esempio, se all’interno la somma delle cariche è ZERO, il flusso è ZERO 31

LA GABBIA DI FARADAY Da quanto detto, risulta possibile creare uno schermo elettrostatico in

LA GABBIA DI FARADAY Da quanto detto, risulta possibile creare uno schermo elettrostatico in un campo elettrico uniforme (detto gabbia di Faraday) utilizzando come schermo un involucro metallico (schermo elettrostatico) Sono presenti cariche elettriche indotte sulla superficie esterna dello schermo (La carica totale è nulla) Il campo elettrico all’interno dello schermo è nullo (Le linee di campo all’esterno sono modificate) Lo schermo elettrostatico protegge dalle scariche elettriche

SISTEMI A SIMMETRIA CILINDRICA Superficie gaussiana = cilindro di raggio r alto h centrato

SISTEMI A SIMMETRIA CILINDRICA Superficie gaussiana = cilindro di raggio r alto h centrato sulla bacchetta Il flusso attraverso S vale: Il teorema di Gauss dice che: Si ottiene l si chiama densità lineare di carica (U. d. M: C/m)

SISTEMI A SIMMETRIA PIANA: LASTRA CARICA Superficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base

SISTEMI A SIMMETRIA PIANA: LASTRA CARICA Superficie gaussiana = cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra contenete una quantità di carica Q Il flusso attraverso ciascuna delle basi del cilindro A vale: Il flusso attraverso entrambe le basi vale: Il teorema di Gauss dice che: Essendo i due flussi uguali, si ha: s si chiama densità superficiale di carica (U. d. M c/m 2)

DOPPIA PIASTRA Come nel caso precedente, si sceglie come superficie gaussiana un cilindro retto

DOPPIA PIASTRA Come nel caso precedente, si sceglie come superficie gaussiana un cilindro retto chiuso di base A perpendicolare alla lastra. All’interno del cilindro la carica totale è nulla (essendo le due densità di carica uguali ed opposte) per cui esternamente al doppio strato E=0. Tra le due piastre, invece, si ha un contributo di campo elettrico E=s/2 e 0 diretto da sinistra a destra (perché uscente) dovuto alla piastra carica positivamente ed un contributo di campo elettrico E=s/2 e 0 diretto ancora da sinistra a destra (perché entrante) dovuto alla piastra carica negativamente. Per cui, il campo totale vale E=s/2 e 0 + s/2 e 0 = s/e 0