Introduzione storica alla Meccanica Quantistica Fedele Lizzi CTF

Introduzione storica alla Meccanica Quantistica Fedele Lizzi CTF Università di Napoli Federico II

La scena inizia all’inizio del secolo scorso • Si girava in dirigibile • Vittorio Emanuele III Re d’Italia • Inizia il campionato di calcio

La scienza sembrava godere di ottima salute • La meccanica di Newton spiegava efficientemente il moto degli astri e quello delle mele • Maxwell ed Hertz ci hanno fatto capire l’elettromagnetismo e le sue onde • Clausius, Kelvin, Watt ed altri hanno capito la termodinamica a tal punto da far funzionare transatlantici a vapore

Fra onde e particelle si spiega tutta la natura (più o meno) • Le particelle hanno una ben definita posizione, si muovono con velocità arbitraria in linea retta in assenza di forze, si urtano fra di loro, soddisfano le tre leggi di Newton • Le onde sono estese, si muovono a una determinata velocità, non si urtano ma interferiscono • Le “cose” o sono onde o sono particelle

Michelson afferma (citando Kelvin): Il futuro della ricerca è oltre la sesta cifra decimale

Del resto Kelvin aveva detto: • I vettori non sono mai stati di nessuna utilità per nessuna creatura • Macchine volanti più pesanti dell’aria sono impossibili • I raggi X sono una frode • La radio non ha futuro

Qualcosa che non funzionava in effetti c’era… • Per esempio l’etere (cosa oscilla nelle onde elettromagnetiche? ) • Cosa brucia nel sole? Qualunque combustibile noto si sarebbe esaurito in poche migliaia di anni • Da dove viene la radioattività? • E poi c’era il corpo nero…

Raggi X e radioattività erano stati scoperti da qualche anno • Roentgen scopre che alcuni tubi a fluorescenza emettono dei raggi (elettromagnetici) che possono attraversare i tessuti • Becquerel scopre che alcuni materiali (uranio) emettono dei raggi penetranti, che hanno solo delle particolari frequenze • Rutherford e i coniugi Curie scoprono che i raggi emessi sono talvolta minuscole particelle di materia

Chill ‘o fatt è niro • Il corpo nero sembra uno degli oggetti più noiosi della fisica • Il colore che percepito di un corpo è dato dalle frequenze della luce visibile che esso riflette • Alcuni corpi possono emettere nel visibile, per esempio il sole o una lampadina • Un corpo nero assorbe tutta la radiazione incidenti senza riflettere niente

Niro niro comm’a cche • Dal momento che il corpo non può assorbire energia (riscaldandosi) indefinitamente, il corpo emetterà radiazione elettromagnetica, non necessariamente nel visibile (per cui lo vediamo nero) • Tutti i corpi neri (o approssimativamente tali) sono uguali, ovvero il tipo di radiazione emessa non dipende dal corpo ma solo dalla temperatura

Di che “colore” è la radiazione messa da un corpo nero?

Se la calcoliamo il risultato è totalmente sbagliato!!!

Cribbio!!! • Il guaio non è solo che il risultato teorico non corrisponde al dato sperimentale • L’area sotto la curva rappresenta l’energia totale emessa dal corpo • E nel caso di R&J l’area sotto la curva vale infinito!

Ipotesi di Planck: • In un atto di disperazione Max Planck, nel 1901, fa l’ipotesi che lo scambio di energia all’interno del corpo nero avvenga solo per “quanti di energia” • Ovvero per multipli di una quantità definita: = h

h=0. 000000000000000006626 J s • Una quantità molto piccola per la fisica macroscopica • Ma i cui effetti si fanno sentire • Sin qui tutto bene, mica abbiamo fatto la rivoluzione! • Eccetto che le stranezze non si fermano qui…

L’EFFETTO FOTOELETTRICO: 16

Di per se l’effetto fotoelettrico non è sorprendente • Nel metallo ci sono elettroni liberi trattenuti da una barriera di potenziale • La luce è fatta di onde che trasportano energia • La luce arriva sul metallo, gli elettroni assorbono energia, si “muovono più veloci” e raggiunta l’energia necessaria sfuggono dal metallo

Facciamo i calcoli: • E di nuovo non funziona! • Il comportamento degli elettroni è solo compatibile con l’ipotesi che la luce viaggi nel vuoto non come onde, ma come particelle! • Con una energia proporzionale a… • E= h

Effetto Compton • Ormai ci abbiamo preso gusto: Di nuovo funziona solo le la luce viaggia in quanti di energia: E= h

Onde o particelle? • La differenza fra le onde e le particelle e’ che le onde si sommano e possono anche interferire, ovvero la somma di due onde puo’ essere un oggetto assai complicato

La somma di onde puo’ addirittura dare zero E per certi valori di φ questa espressione puo’ essere 0 o la somma dei due coseni

La luce e’ fatta di onde che interferiscono • Il problema e’ che si vede che interferiscono gli elettroni pure!! • E questo non ce lo aspettavamo

La situazione si è complicata • La radiazione elettromagnetica, che è fatta di onde si comporta come particelle • Gli elettroni che sono particelle si comportano da onde • Questo si chiama dualismo onda-particella • Che è una forma pomposa per dire che: • Non abbiamo capito un cribbio!

In effetti ancor prima dell’esperimento della diffrazione degli elettroni: • Nel 1924 il giovane aristocratico francese Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7 eme duc de Broglie ha una buona idea… • Ipotizza che se la luce ha una natura corpuscolare allora anche le particelle possono avere una natura ondulatoria • Con una lunghezza d’onda: λ = h/q = h/mv

Un successo della fisica teorica • L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima degli esperimenti di Thomson e Davisson. Germer che provano la diffrazione degli elettroni • Quella che inizia a farsi strada è l’ipotesi che la materia e la radiazione a piccole distanze si comporti in maniera non descrivibile dalla fisica classica

Il posto in cui guardare sono gli atomi • Da non molto tempo si era iniziato a guardare “dentro” gli atomi attraverso gli esperimenti di Rutherford • Gli atomi sembravano quindi composti da un nucleo centrale che conteneva una carica positiva e praticamente tutta la massa dell’atomo

Modello atomico di Rutherford

Il modello planetario • Il modello sembra riprodurre in piccolo le caratteristiche di un sistema solare, ma ci sono anche molte differenze • I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni hanno rigorosamente tutti la stessa massa e la stessa carica • I pianeti si attraggono fra di loro, gli elettroni si respingono

• Il rapporto fra la massa del nucleo e la massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il numero atomico, il rapporto fra la massa del sole e la massa di Giove e’ circa mille, ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e Sole/Terra e’ un milione • Il rapporto fra raggio del sole e orbita di Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo

La differenza fondamentale e’ quella fra forza elettromagnetica e forza gravitazionale • C’è un fondamentale differenza fra la forza gravitazionale e la forza elettromagnetica • Una carica in movimento irraggia, ovvero emette radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la componente magnetica • Emettendo radiazione perde energia, rallenta, l’orbita si fa più stretta… • Cade sul nucleo! In miliardesimi di secondo!

Le righe spettrali • In effetti gli elettroni all’interno degli atomi possono emettere radiazione e cambiare la loro orbita • Ma non lo fanno in maniera continua (rallentando progressivamente), invece saltano da una orbita all’altra emettendo un “quanto” di energia. • Quello che si vede sono le righe spettrali

Per un atomo di idrogeno si ha:

Chi non salta un elettrone non è • Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con un certo “spettro” • D’altro canto, se mandiamo della radiazione contenente tutte le frequenze su un gas, dall’altra parte vedremo che certe frequenze mancano, sono state assorbite • Dato che le frequenze sono le stesse, la spiegazione è che gli elettroni saltano da un orbita discreta all’altra.

Gli spettri buoni • Le righe spettrali identificano in maniera univoca gli elementi • Le frequenze presenti seguono una certa regolarità, ovvero • Con

L’atomo di Bohr • La struttura di atomo proposta da Bohr è simile a quella del suo professore Rutherford • Ma con una differenza cruciale: • Le orbite degli elettroni sono quantizzate: il loro momento angolare deve essere un multiplo di… • h/2π

La quantizzazione delle onde • Bohr in effetti stava usando i principi della meccanica ondulatoria dei de Broglie per delle onde che non si propagano ma sono stazionarie • Se io ho una corda tesa con le estremita’ fisse (come una corda di chitarra) solo certe frequenze sono possibili

Gli elettroni “vibrano” • Quelle delle corde vibranti e’ solo una analogia, che serve a capire come gli elettroni, che sono al tempo stesso onde e particelle, all’interno dell’atomo possano avere solo delle ben determinate frequenze e lunghezze d’onda • In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con un semplice calcolo, a spiegare gli spettri delle particelle

Stiamo iniziando a capire qualcosa • Il fatto che la quantita’ Sia composta tutta da grandezze altrimenti note ci permette di calcolare la costante RH con un ottimo accordo con i dati

Ma abbiamo ancora tanta strada da percorrere • Bohr introdusse il principio di complementarietà secondo cui gli aspetti ondulatori e quelli particellari sono complementari, ovvero quando ne riveliamo uno necessariamente nascondiamo l’altro • Questa visione è in qualche modo superata, gli elettroni si comportano come elettroni il 100% delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche • Siamo noi che per spiegarli talvolta li equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle onde del mare o alle onde luminose

Ma che onde sono le particelle? • Intorno al 1925 si fa un grande passo in avanti con la descrizione dell’equazione che descrive l’andamento ondulatorio della materia • L’equazione di Schrödinger descrive il comportamento quantistico della materia

Funzione d’onda • Per esempio l’onda della corda di chitarra è descritta dalla funzione Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t) Mentre un’onda che si propaga è descritta da Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)

Equazioni differenziali • L’equazione che la Ψ della corda di chitarra deve soddisfare è: • E i seni e i coseni hanno la caratteristica che la loro derivata seconda è uguale alla funzione originale

Equazione di Schrödinger L’andamento delle onde di materia descritte da questa equazione ha alcune caratteristiche in comune con le onde di prima, ma anche molte differenze

Onde di materia • Tanto per cominciare la presenza della unità immaginaria implica che la funzione di onda Ψ e’ necessariamente una quantita’ complessa • La presenza della funzione V(x) descrive le forze classiche agiscono sulla particella/onda • Anche senza forze la forma delle onde si deforma

La Meccanica quantistica • Con l’equazione di Schrödinger la meccanica quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria compiuta • In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri di vari atomi e di molte molecole • Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i vari esperimenti • Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione elettromagnetica (particelle senza massa) e la relativita’, ma i passi in avanti sono clamorosi

Resta da capire una cosa: • Onde di che? • Cosa oscilla nell’equazione delle onde di materia?

A caso ma non tanto • Se si osserva l’interferenza di elettroni si vede che questi arrivano uno alla volta (sono particelle) • E sembra che arrivino in posti casuali • Ma se si aspetta allora la figura di interferenza emerge, some somma delle posizioni

Questa e’ una distribuzione di probabilita’

Questa invece e’ la distribuzione di probabilita’ della misura di interferenza (di neutroni questa volta)

Dove arriva la particella? • Noi non sappiamo dove arriva la particella, • Sappiamo solo che se aspettiamo a lungo vedremo la figura di interferenza • Lo stesso avviene per gli atomi che decadono emettendo i raggi che formano lo spettro • Non sappiamo quale atomo decade, ma sappiamo che dopo un certo tempo la meta’ degli atomi sono decaduti

Ma dove e’ la particella • Il fatto che la luce sia fatta di onde e al tempo stesso di fotoni ha conseguenze importanti per la misura • Principio di indeterminazione di Heisenberg: • E’ impossibile misurare al tempo stesso posizione e velocita’ di una particella

Microscopio di Heisenberg • Per “vedere” particella dobbiamo illuminarla • Ma per illuminarla dobbiamo mandarci su un fotone • E per vederla con precisione dobbiamo mandare un fotone “piccolo”

Δx Δp ≥ h/4π • Il problema e’ che per misurare la posizione con precisione devo prendere un fotone con lunghezze d’onda piccola • Ma λ=c/. Quindi se λ e’ piccolo e’ grande • Ma l’energia E=h • Per cui per misurare con precisione la posizione devo mandare un bel fotone molto energetico • Ma questo da una bella sberla alla particella, e quindi non ne so piu’ la velocita’

L’interpretazione di Copenaghen • Alla fine degli anni 20 vari fisici, Bohr, Born, Heisenberg, Pauli. . . proposero che le onde di materia dovessero essere interpretate come onde di probabilita’ • Piu’ precisamente il modulo quadro della funzione d’onda e’ la densita’ di probabilita’ di trovare la particella in un dato punto

Onde di probabilita’ • La materia e’ fatta di queste onde • E la somma di onde e’ diversa

C’e’ del marcio in Danimarca? • Questa delle onde di probabilita’ e’ una idea che all’inizio non fu accettata, soprattutto da parte dei fisici piu’ anziani • “Dio non gioca a dadi con il mondo” • E perche’ mai no? • Certo l’interpretazione di Copenaghen lascia perplessi, ma sembra funzionare

Grandi successi • Soprattutto perche’ la meccanica quantistica ha avuto degli indubbi grandissimi successi • Tutta la fisica atomica (bombe, energia, risonanza magnetica) • Tutta la fisica dello stato solido (e tutta l’elettronica che ci circonda) • La teoria delle interazioni fondamentali

MQ relativistica spin • La meccanica quantistica relativistica e’ stata sviluppata da Dirac, e predice lo spin dell’elettrone e il fatto che non ci possono due elettroni nello stesso stato • Ma ha addirittura predetto qualcosa che neanche la fantascienza aveva predetto: • ANTIMATERIA!

Andar per campi • Un migliorato accordo con gli esperimenti si ottiene con la teoria dei campi • Le onde divengono dei campi quantistici regolati da equazioni che generalizzano quella di Schrodinger • Ma che hanno degli infiniti che bisogna imparare a rinormalizzare, ovvero a cancellare ad arte

E viviamo felici e scontenti… • Questo ha portato alla formulazione dell’attuale modello standard delle interazioni: forte, debole e elettromagnatica • L’unico elemento che manca, il bosone di Higgs lo stanno acchiappando… • Il futuro della fisica e’ di nuovo oltre la sesta cifra decimale?

Un’altra frontiera • Purtroppo la cancellazione degli infiniti ha un problema • Non funziona se lo spaziotempo e’ curvo • Quindi non funziona con la relativita’ generale • Quindi dobbiamo unificare Teoria dei Campi e Gravitazione:

Cosa che starei facendo Se non dovessi fare lezione al CTF Comunque mi sono divertito, spero di essere stato utile e in bocca al lupo per l’esame!