Elektrotehniki fakultet Osijek OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Metode i

Elektrotehnički fakultet Osijek OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Metode i teoremi rješavanja električnih mreža

Metoda I i II Kirchhoffova zakona § Metoda se zasniva na primjeni I Kirchhoffova zakona za struje (KZS) i II Kirchhoffova zakona za napone (KZN). § Primjer: § Kirchhoffov zakon za struje (KZS) čvorovi A, B, C: § (1) § (2) § (3) 2

Metoda I i II Kirchhoffova zakona § Kirchhoffov zakon za napone (KZN) petlje 1, 2, 3: § (4) § (5) § (6) § Rješenjem jednadžbi od (1) do (6) određuju se struje grana ove mreže, a nakon toga mogu se odrediti i druge fizikalne veličine, tj. naponi i snage. 3

Metoda konturnih struja § Metoda konturnih struja temelji se na transformaciji jednadžbi dobivenih primjenom Kirchhoffovih zakona na mrežu. § Iz jednadžbi čvorova (1), (2) i (3) izluče se struje koje teku zajedničkim granama kontura (petlji) mreže: § (7) § (8) § (9) 4

Metoda konturnih struja § Uvrštavanjem jednadžbi (7), (8) i (9) u jednadžbe (4), (5) i (6) i nakon sređivanja dobiju se konturne jednadžbe: § (10) § (11) § (12) § Dobivene su tri jednadžbe s tri nepoznanice. § Te nepoznanice su struje vanjskih grana i čiji smjerovi se podudaraju sa smjerovima obilaska kontura. 5

Metoda konturnih struja § Iz jednadžbi (10), (11) i (12) proizlazi da struje vanjskih grana teku po cijeloj konturi. § Struja množi sumu impedancija konture 1 ( ), a struja množi impedanciju zajedničke grane konture 1 i 2, a struja množi zajedničku impedanciju grane konture 1 i 3. § Ista zakonitost vrijedi i kod ostalih jednadžbi. 6

Metoda konturnih struja § U jednadžbe uvodimo sljedeće zamjene: § struja konture 1, § struja konture 2, § struja konture 3. 7

Metoda konturnih struja § Impedancije zamjenjujemo s: § - impedancija konture 1 § - impedancija konture 2 § - impedancija konture 3 § - impedancija zajedničke grane konture 1 i 2 § - impedancija zajedničke grane konture 2 i 3 § - impedancija zajedničke grane konture 1 i 3 § Ako su smjerovi oznaka kroz zajedničku granu kontura isti onda impedancija ima pozitivan predznak, a ako su smjerovi suprotni 8 onda impedancija ima negativan predznak.

Metoda konturnih struja § Za napone uvodimo sljedeće zamjene: § Nakon uvođenja zamjena dobivaju se konturne jednadžbe u konačnom obliku: § (13) § (14) § (15) 9

Metoda konturnih struja § Rješenjem konturnih jednadžbi određuju se struje kontura, odnosno struje u vanjskim granama mreže: § Struje kroz zajedničke grane kontura određuju se s obzirom na smjerove konturnih struja. Tako je: 10

Metoda konturnih struja § Rješenjem ovih jednadžbi određuju se struje kontura. § Za bilo koju konturnu struju rješenje pomoću determinanti daje: § Determinanta D je determinanta sustava, tj. determinanta svih impedancija koje se u jednadžbama nalaze uz konturne struje. § Determinanta Dk se dobiva tako da se u determinanti sustava k-ti stupac zamijeni s članovima s desne strane jednadžbe. 11

Metoda konturnih struja § Primjer: Određivanje konturne struje § Na temelju jednedžbi konturnih struja (13), (14) i (15) određene su determinante D i D 1 § Determinanta D je simetrična, tj. 12

Metoda konturnih struja § Primjer: Određivanje konturne struje § Iz determinante D 1 dobije se: § Konačno se dobije konturna struja : § Na isti način se određuju konturne struje i . 13

Metoda konturnih struja § Za mrežu s n kontura dobiju se po istim načelima koji su dani za promatranu mrežu n nezavisnih konturnih struja. § Primjenom determinanti na takav sustav jednadžbi može se odrediti bilo koja konturna struja. Tako npr. struja k-te konture je: § (16) § Determinanta sustava n jednadžbi je D, a determinanta Dk dobiva se iz determinante D tako da se elementi k-tog stupca nadomjeste vrijednostima koji stoje na desnoj strani jednadžbi. 14

Metoda konturnih struja § Razvojem po k-tom stupcu determinante Dk dobiva se konturna struja k-te konture: § (17) § Jednadžbu (17) možemo kraće napisati: § (18) § gdje je: § - kofaktor ili algebarski komplement § elementa § - subdeterminanta elementa 15

Metoda konturnih struja § Analogno tome dobije se za i-tu konturnu struju § Struja zajedničke grane između dvije konture određuje se na način dan u primjeru ili općenito za struju zajedničke grane konture k i i dobije se: § (19) 16

Metoda potencijala čvorova § Svaka struja grane može se izraziti pomoću napona grane, odnosno razlike potencijala dvaju čvorova između kojih je spojena grana. § Umjesto nepoznatih struja grana uvode se potencijali čvorova. § Čvor C odabire se za referentni ili nulti čvor. § Potencijali ostalih čvorova su označeni s U A , U B i U D. 17

Metoda potencijala čvorova § Struje grana su: § (20) § (21) § (22) § (23) § (24) § (25) 18

Metoda potencijala čvorova § Prema Kirchhoffovom zakonu za struje jednadžbe za čvorove A, B i D su: § (26) § (27) § (28) 19

Metoda potencijala čvorova § Uvrštavanjem jednadžbi za struje grana ((20) do (25)) u jednadžbe čvorova A, B i D dobiju se tri nezavisne jednadžbe: § (26) § (27) § (28) 20

Metoda potencijala čvorova § U ovim jednadžbama uočava se određena zakonitost: a) Potencijal čvorova kojoj pripada jednadžba ima predznak plus i množi se s admitancijom tog čvora. b) Potencijal ostalih čvorova ima predznak minus i množi se s admitancijom grane između čvorova. c) S desne strane samo one grane koje ulaze u čvor vodeći računa o predznaku odnosno smjeru EMSa. c) Ako je EMS usmjerena prema čvoru onda je predznak plus, a u suprotnom minus. Naponski izvori se pretvaraju u strujne. § Rješenjem jednadžbi (29), (30) i (31) dobiju se potencijali čvorova i. § Uvrštavanjem potencijala i u jednadžbe (20) do 21 (25) dobiju se struje svih grana.

Metoda potencijala čvorova § Općenito za mrežu koja ima nč može se za k-ti čvor napisati jednadžba: § (32) § je napon ili EMS priključen na k-ti čvor, ima predznak “+” ako je usmjeren prema čvoru, a predznak “–” ako je suprotno usmjeren. § Desna strana jednadžbe (32) ukazuje na pretvorbu naponskih izvora u strujne samo onih grana koje ulaze u promatrani k-ti čvor. 22

Metoda potencijala čvorova § Između i-tog i k-tog čvora je grana sa strujnim i naponskim izvorom. § Pretvorbom naponskog izvora u ekvivalentni strujni izvor dobije se struja grane koja ulazi iz k-tog čvora: 23

Metoda potencijala čvorova § Jednadžba k-tog čvora glasi: § gdje je: - suma admitancija svih grana koje ulaze u kti čvor - admitancija zajedničke grane između k-tog i i-tog čvora - suma svih struja koje ulaze u k-ti 24 čvor

Metoda potencijala čvorova § Za mrežu s nč čvorova može se napisati (nč-1) nezavisnih jednadžbi. § Rješenjem tih jednadžbi određuju se potencijali čvorova, a onda se mogu odrediti struje i snage. 25

Metoda superpozicije § Razmatra se linearna električna mreža s n kontura u kojoj dvije konture u vanjskim granama imaju EMS, a ostali dio mreže sadrži pasivne elemente (P). § Konturne struje i ujedno struje grana: su § Po metodi konturnih struja dobiju se struje k-te i i-te grane: § (1) § (2) 26

Metoda superpozicije § Iz relacija (1) i (2) proizlazi da jednu komponentu struje stvara EMS , a drugu EMS : § (3) § (4) § Struja u bilo kojoj strani mreže može se izračunati kao suma doprinosa svake EMS u mreži. 27

Metoda superpozicije § Ilustrirat će se primjena metode superpozicije na početnom primjeru. § Prvo se određuju parcijalne struje k-te i i-te grane koje stvara EMS. 28

Metoda superpozicije § Struja u k-toj grani koju stvara EMS iznosi: § (5) § gdje je: - ulazna admintancija gledano iz k-te grane - ulazna impedancija gledano iz k-te grane 29

Metoda superpozicije § Struja u i-toj grani koju stvara EMS iznosi: § (6) § gdje je: - prijenosna admitancija između i-te i k-te grane - prijenosna impedancija između i-te i kte grane 30

Metoda superpozicije § Struja u i-toj grani koju stvara EMS iznosi: § (7) § gdje je ulazna admitancija gledano iz i-te grane. § Ulazna impedancija gledano iz i-te grane iznosi: § (8) § Struja k-toj grani od EMS je: § (9) § gdje je: - prijenosna admitancija između k-te 31 i i-te grane.

Metoda superpozicije § Prijenosna impedancija između k-te i i-te grane iznosi: § (10) § Konačne vrijednosti struje k-te i i-te grane su: § (11) § (12) § Prijenosne admitancije su jednake: § (13) 32

Metoda superpozicije § Metoda superpozicije vrijedi samo za linearne mreže. § Pri računanju parcijalne struje koju daje jedan EMS potrebno je sve preostale EMSove kratko spojiti, a strujne izvore isključiti te ostali dio mreže pasivizirati. § Na isti način se računaju parcijalne struje svakog od preostalih izvora. § Struja u promatranoj grani dobije se zbrajanjem (fazora) parcijalnih struja vodeći računa o smjerovima. 33

Theveninov teorem § Struju kroz bilo koju impedanciju grane ab električne mreže može se odrediti tako da se preostali dio mreže zamijeni s ekvivalentnim naponskim izvorom i impedancijom izvora § Primjer: 34

Theveninov teorem § EMS ekvivalentnog izvora jednaka je naponu koji vlada na krajevima grane a-b, kada je grana a-b otvorena. § Impedancija jednaka je impedanciji preostale mreže promatrane sa strane priključnica a-b pri otvorenoj grani. Pri tome se naponski izvori kratko spoje, a strujni odspoje. 35

Theveninov teorem § Po Theveninovom teoremu može se nadomjestiti dio po dio mreže. § Aktivni dio mreže a) se nadomjesti s EMS , a dio mreže A 2 s EMS i. § Struja kroz impedanciju i impedancijom se određuje prema shemi b). 36

Millmanov teorem § Millmanov teorem je specijalni slučaj Theveninova teorema. Primjenjuje se na mrežu paralelno spojenih naponskih izvora, tj. na mrežu s dva čvora. 37

Millmanov teorem § Izvor se nadomještaju s jednim izvorom, a sva trošila rezultantnom impedancijom. § Struja kroz impedanciju iznosi: 38

Nortonov teorem § Struju kroz impedanciju grane a-b može se odrediti ako se preostali dio mreže nadomjesti realnim strujnim izvorom. 39

Nortonov teorem § Struja ekvivalentnog strujnog izvora jednaka je struji koja teče kratko spojenom granom a-b. § Impedancija predstavlja impedanciju koja se dobije po istim načelima kao kod Theveninovog teorema. Kod toga se naponski izvori kratko spoje, a strujni izvori mreže se odspoje. 40

Teorem recipročnosti § Ako EMS , djelujući u grani k pasivne linearne električne mreže izaziva struju u grani i iste mreže, onda će ta ista EMS djelujući u grani i izazvati u grani k također struju. 41

Teorem recipročnosti § Neka u mreži djeluje samo EMS § struja u i-toj grani od EMS § Na isti način odredit će se struja iste mreže (slika b)): u k-toj grani (slika a)), a određena je jednadžbom: nastala od u i-toj grani § Za linearnu mrežu vrijedi Aik=Aki pa se dobije odnos: § Ako su EMS tada su struje u granama jednake: 42