BROJNI SISTEM Nebojsa Lazarevic prof inf Aleksinaka gimnazija

BROJNI SISTEM Nebojsa Lazarevic, prof. inf. Aleksinačka gimnazija

BROJEVI Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Brojni sistemi Brojni sistem je skup pravila formulisanih u cilju izražavanja kvantitativnih svojstava koda brojnih podataka. Kod U komunikacijama, kod je skup pravila po kojima se jedna informacija (slovo, reč. . . ) konvertuje u neki objekat ili akciju, koji ne moraju biti iste prirode. Primer koda je telegrafski kod, po čijim pravilima se svako slovo engleske abecede reprezentuje kombinacijom kratkih i dugih zvučnih signala iste frekvencije, što je pogodno za transfer putem različitih nosača (žica, radio odašiljač, izvor svetlosti itd). Svi podaci u računaru su predstavljeni u binarnom brojnom sistemu. To je pozicioni brojni sistem sa osnovom dva, odnosno pozicioni brojni sistem koji poznaje samo dve različite cifre: 0 (nulu) i 1 (jedinicu). Iz tog razloga, nadalje će akcenat biti stavljen najviše na proučavanje binarnog brojnog sistema. Pored njega biće pomenuti i heksadecimalni i oktalni sledeći brojni sistemi. Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Podela brojnih sistema Osnovna podela brojnih sistema: Nepozicioni brojni sistemi Pozicioni brojni sistemi Nepozicioni brojni sistemi Simbol koji označava broj (cifra) ima istu vrednost nezavisno od toga gde se nalazi u zapisu broja. Primer za nepozicioni brojni sistem su rimski brojevi. Vrednost zapisa broja računa se tako što se cifre saberu. Jedini izuzetak je kada je manja cifra levo od veće, onda se ona od te veće oduzima, namesto njih dve u zbir ulazi rezultat tog oduzimanja. Primer na sledećem slajdu. Primer nepozicionog brojnog sistema Uzmimo zapis broja MCMXXXV. Prilikom sračunavanja brojne vrednosti ovog zapisa, slovo M uvek nosi vrednost 1000, slovo C uvek označava vrednost 100, slovo X uvek vrednost 10 a slovo V uvek i svuda vrednost 5. Prilikom sračunavanja brojne vrednosti zapisa koristi se pravilo da, ukoliko je manja cifra levo od veće, ona se od veće oduzima. Sve vrednosti cifara se potom saberu. Sračunavanjem zapisa dobijamo vrednost 1935. Možda se nebitnost pozicije cifre najjasnije vidi kod cifre X. Ona se nalazi na tri različite pozicije i u zbir uvek ulazi kao 10, dakle nezavisno od pozicije na kojoj se nalazi. Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Podela brojnih sistema Pozicioni brojni sistemi: Simbol koji označava broj (cifra) ima različitu vrednost u zavisnosti na kojoj se poziciji nalazi u zapisu broja. Primer za pozicioni brojni sistem je dekadni (naš) brojni sistem, binarni, heksadekadni itd. Primer pozicionog brojnog sistema. U svakodnevnom životu koristimo dekadni brojni sistem. On ima 10 različitih simbola za brojeve (cifara): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On spada u "pozicione" brojne sisteme, pošto brojna vrednost koju određena cifra predstavlja ne zavisi samo od cifre, nego i od pozicije koju ta cifra zauzima u zapisu broja (cifra 2 ne nosi istu vrednost u brojevima 12, 21, 3278, 4126438 itd). Binarni sistem takođe spada u pozicione sisteme i od dekadnog se razlikuje jedino u tome što poznaje samo dve različite cifre: 0 i 1. Heksadecimalni i oktalni brojni sistemi su takođe pozicioni brojni sistemi. Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Poziciona notacija Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

1 3 Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Pozicioni brojni sistem • Brojna vrednost zapisa broja dobija se kao zbir brojnih vrednosti pojedinačnih cifara (zavisnost između pozicije cifre i njene vrednosti određuje osnova brojnog sistema): • Na ovaj način brojeve možemo da prikažemo u različitim brojnim sistemima na sledeće načine: • U dekadnom brojnom sistemu osnova je 10 pa se brojevi prikazuju na način: • U binarnom brojnom sistemu osnova je 2 pa se brojevi prikazuju na način: • U oktalnom brojnom sistemu osnova je 8 pa se brojevi prikazuju na način: • U heksadecimalnom brojnom sistemu osnova je 16 pa se brojevi prikazuju na način:

Prevodjenje brojeva • S obzirom na to da je za poznavanje funkcija računara najbitnije poznavanje binarnog brojni sistem, a da se u svakodnevnom životu koristi dekadni BS, akcenat će biti stavljen upravo na prevođenje brojeva između ova dva brojna sistema. • Osim binarnog, biće obrađena još dva BS, takođe bliska unutrašnjosti računara: heksadecimalni brojni sistem (osnova: 16) i oktalni brojni sistem (osnova: 8). Pokazaće se da su ova dva brojna sistema srodna binarnom, te da su postupci prevođenja između ova tri brojna sistema gotovo trivijalni. • Zapis broja u binarnom brojnom sistemu najjednostavnije je pokazati na primeru. U nerednoj tabeli su dati zapisi određenih brojeva u dekadnom i binarnom brojnom sistemu. Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

BINARNI U DEKADNI Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Konverzija binarnog u decimalni broj Postupak konverzije: a) Primeniti sledeću formulu za računanje decimalnog broja: Primer Konvertovati binarni broj 10010110(2) u decimalni.

DEKADNI U BINARNI Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Periodicni brojevi Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Konverzija decimalnog u binarni broj Primer Konvertovati decimalni broj 169(10) u binarni. Postupak konverzije: a) decimalni broj deliti sa 2 uz zapisivanje ostataka dok se ne dobije rezultat 0 b) binarni broj formirati od dobijenih ostataka u obrnutom redosledu • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

• • • Pretvorite decimalne brojeve u binarne: a) 37 b) 89 c) 4 d) 126 e) 298 Rešenja: a) 100101 b) 1011001 c) 100 d) 1111110 e) 100101010 • • • Zadatak : Pretvorite binarne brojeve u decimalne: a) 1100 b) 100100 c) 1111111 Rešenja: a) 1100 = 23 + 22 = 8 + 4 = 12 b) 100100 = 25 + 22 = 32 + 4 = 36 c) 1111111= 26 + 25 + 24 + 23 + 22 + 21 + 20 = 64+32+16+8+4+2+1=127 Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Binarno u heksadecimalno Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

• Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Binarno u Oktalno • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

• Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Heksadecimalni brojni sistem q Cifre heksadecimalnog brojnog sistema su: q Smenom q=16 jednačina (1) dobija oblik: • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Konverzija heksadecimalnog u decimalni broj Postupak konverzije: a) Primeniti sledeću formulu za računanje decimalnog broja: Primer 7 Konvertovati heksadecimalni broj 5 E 3(16) u decimalni. • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Konverzija decimalnog u heksadecimalni broj Postupak konverzije: a) decimalni broj deliti sa 16 uz zapisivanje ostataka dok se ne dobije rezultat 0 b) heksadecimalni broj formirati od dobijenih ostataka u obrnutom redosledu Primer 8 Konvertovati decimalni broj 4328(10) u heksadecimalni. • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Konverzija binarnog u heksadecimalni broj Postupak konverzije: a) grupisati po 4 cifre binarnog broja počevši sa desne strane b) dobijene grupe predstaviti u heksadecimalnom brojnom sistemu Primer 9 Konvertovati binarni broj 110111110(2) u heksadecimalni. 1 | 1011 | 1110(2) = 14(10) = E(16) 1011(2) = 11(10) = B(16) 1(2) = 1(10) = 1(16) 110111110(2) = 1 BE(16) • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Konverzija heksadecimalnog u binarni broj Postupak konverzije: a) svaka cifra heksadecimalnog broja se predstavi pomoću odgovarajuće grupe od 4 binarne cifre b) dobijene grupe se spoje i formiraju binarni broj Primer 10 Konvertovati heksadecimalni broj 3 A 9(16) u binarni. 9(16) = 9(10) = 1001(2) A(16) = 10(10) = 1010(2) 3(16) = 3(10) = 0011(2) 3 A 9(16) = 0011 1010 1001(2) = 11 1010 1001(2) • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

DEKADNI U OKTALNI • (181)10 = (? )8 • • 181 / 8 = 22 5 22 / 8 = 2 6 2 / 8 = 0 2 kraj postupka konverzije (181)10 = (265)8 • • Zadatak 3 (67)10 = (? )8 (336)10 = (? )8 (442)10 = (? )8 265 = 2 x 64 + 6 x 8 + 5 x 1 = 128+48+5 =181

2 Binarni sa o elim 2 i m vo e o n ifr os c m jno jstvom o r b sa im svo o ožimtitaivn n M an kv D ta i b 3 o a p p ru G Delimo sa 8 Dekadni Oktalni Množimo sa brojnom osnovom 8 i kvantitaivnim svojstvom cifre Mno ži mo sa b r Deli mo s a 16 ojno m o svoj snovom stvo m ci 16 i kv fre an titai vnim Grupa po 4 bita Heksadekadni

Racunske operacije sa binarnim brojevima • Aritmetičke operacije u binarnom sistemu obavljaju na način potpuno identičan onome na koji smo navikli u dekadnom. • U memoriji računara binarni brojevi sa pamte kao označeni i neoznačeni. • Kod označenih brojeva se jedan bit odvaja za predstavljanje znaka broja (0 za pozitivne i 1 za negativne brojeve). Neoznačeni brojevi su podrazumevano pozitivni (jer ne postoji bit koji označava znak broja). • Ovde će biti prikazane 4 osnovne aritmetičke operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) nad dva neoznačena binarna broja i sabiranje označenih binarnih brojeva. • Nebojsa Lazarevic, prof. inf. • Aleksinačka gimnazija

Sabiranje neoznacenih binarnih brojeva Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

SABIRANJE NEOZNACENIH BINARNIH BROJEVA Nebojsa Lazarevic, prof. inf.

Sabiranje binarnih brojeva (1) Tablica sabiranja Sabiranje binarnih brojeva se vrši po istim pravilima kao i sabiranje decimalnih brojeva, s tim što se mora uzeti u obzir da se radi u brojnom sistemu sa osnovom 2. a, b – cifre na istoj poziciji u okviru dva binarna broja koja se sabiraju c ul – prenos sa prethodne pozicije c iz – prenos na narednu poziciju s – rezultat sabiranja na posmatranoj poziciji VAŽNO! Decimalni sistem: 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 2 Binarni sistem: 0+0 = 0 0+1 = 1 1+0 = 1 1+1 = 10 • 1+1+1 = 3 1+1+1 = 11 prof. inf. Nebojsa Lazarevic, • Aleksinačka gimnazija