Applications du formalisme des faisceaux gaussiens la modlisation

Applications du formalisme des faisceaux gaussiens à la modélisation de l'interaction d'une onde électromagnétique avec un objet 3 D complexe Julien HILLAIRET Co-Directeurs de thèse Jérôme SOKOLOFF / Sylvain BOLIOLI LAME

Contexte de l'étude Calcul de champs rayonnés Plusieurs approches : Champ incident Champ rayonné ? Les méthodes rigoureuses (Mo. M, . . . ) ne sont pas adaptées à des problèmes de grandes tailles. ONERA : ELSEM 3 D Les méthodes asymptotiques (lancer de rayons, . . . ) sont adaptées en haute fréquences. ONERA : FERMAT Solution complémentaire : les faisceaux gaussiens (FG) Avantages : Nombre de faisceaux < nombre de rayons Pas de caustiques Page 2/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Sommaire État de l'art : les faisceaux gaussiens (FG) Propriétés principales Problématiques Interactions avec des parois de forte courbure Spectre d'un faisceau gaussien conforme. Diffraction d'un faisceau gaussien Diffraction 2 D par un demi-plan infini ; Diffraction 3 D par une surface rectangulaire finie. Applications des faisceaux gaussiens Contexte de la propagation EM. Conclusion et perspectives Page 3/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

État de l'art Décomposition des champs EM en FG Champ EM (connu) Surface de décomposition Faisceaux gaussiens Champ initial défini sur une surface courbe Page 4/47 Décomposition en FG Propagation des FG Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Interactions des FG avec la scène

Décomposition de champs en FG Décomposition de champs peu divergents Décomposition multi-modale : surfaces courbes (F. Minato, O. Pascal, J. Sokoloff). Décomposition de champs divergents Décomposition de Gabor / frames de Gabor : surfaces planes ou cylindriques (L. Felsen, C. Letrou, D. Lugara) ; Décomposition sur une surface sphérique en champ lointain (P. Schott) ; Décomposition multi-faisceau gaussiens : surfaces courbes (A. Chabory). Page 5/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Faisceaux Gaussiens Un FG est un faisceau dont : L'amplitude transverse est gaussienne La propagation peut se formuler analytiquement E(x, y, z=0) Décomposition en spectre d'ondes planes du champ dans le plan initial (analytique) Méthodes asymptotiques E(x, y, z=0) Plan transverse Page 6/47 Propagation du faisceau Formulations analytiques Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Propagation d'un FG Plusieurs formulations analytiques Approche classique (multimodale) ; Approche spectrale : paraxiale ; Approche spectrale : champ lointain. Zone de validité formulation paraxiale R z Matrice de courbure complexe du FG Zone de validité formulation champ lointain Page 7/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Interaction d'un FG avec une surface courbe 1 FG incident → 1 FG Réfléchi et 1 FG Transmis (lois ABCD/phase matching) 1 FG incident → Champs Réfléchi et Transmis (coefficients R&T analytiques puis décomposition en FG) Surface très courbe : Faisceaux Gaussiens “Conformes” 1 Page 8/47 2 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Problématiques Problèmes restés ouverts en début de thèse: Interactions avec des parois de forte courbure (FGC) ; Diffraction d'un FG. ? ? Page 9/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Interactions avec des parois de forte courbure Page 10/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Parois de forte courbure Contexte originel : interactions antennes/radômes de forte courbure zoom Champ Transmis Champ Réfléchi Lorsque l'angle entre : • la normale n à la surface en M • la direction du vecteur de Poynting P local. Décomposition d'un faisceau, en FG est important : la décomposition en FG Page 11/47 Surface (virtuelle) décomposition n'estdeplus valide ! en FG Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Parois de forte courbure Introduction aux Faisceaux Gaussiens Conformes Des faisceaux adaptés aux surfaces courbes Champ incident Surface de décomposition très courbe Approche : Calcul des courants équivalents J et M sur la surface Décomposition de ces courants en courants « gaussiens » Evolution linéaire de la phase sur la surface Allure gaussienne sur la surface Rayonnement de ces courants « gaussiens » : FGC approximation quadratique de la surface locale hypothèse grande distance Page 12/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Expression analytique

Parois de forte courbure Interaction d'un FGC avec un diélectrique Exemple : radôme de pointe r Le champ incident sur la paroi interne est décomposé en FGC La propagation analytique des FGC est valide à grande distance Pour procéder comme avec les FG : spectre d'ondes planes ? Spectre d'ondes planes d'un FGC • Généralement défini sur un plan • Un FGC est défini pour une surface courbe ! Page 13/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Spectre d'ondes planes d'un FGC (1) On part des intégrales de courants de Franz : avec : On utilise le développement en ondes planes d'un point source (Weyl, 1919): Ainsi, Page 14/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Spectre d'ondes planes d'un FGC (2) Inversion de l'ordre d'intégration Méthode du Point col Opérateurs différentiels Expression spectrale d'un FGC Page 15/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Spectre d'ondes planes d'un FGC (3) Spectre d'ondes planes d'un FGC : avec Métrique de la surface courbe Matrice de courbure complexe Forme (pseudo) quadratique Page 16/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Évaluation asymptotique du spectre d'ondes planes Obtention d'une expression analytique du champ Évaluation par la méthode du col Expression analytique en zone proche Problème : validité de l'évaluation asymptotique Valide en zone lointaine Limitations en zone proche dues à la position du point col : une évaluation numérique est possible, mais coûteuse en temps de calcul. Page 17/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction d'un faisceau gaussien Page 18/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction d'un FG Contexte Cas de figure d'un FG interceptant une arête Bibliographie Méthodes de champs (OG/TGD, TUD. . . ) Méthodes de courants (OP/TPD. . . ) Page 19/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG : approches utilisables Cas d'un plan semi-infini (problème 2 D) : Es Effet de l'arête Plan conducteur semi-infini ? Deux solutions exactes : Utilisation du Spectre d'Ondes Planes (SOP) ; Théorie du Point Source Complexe (PSC). Une solution approchée : Hypothèse de l'Optique Physique (OP) Page 20/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG : approches utilisables Utilisation du spectre d'ondes planes Le FG incident est décomposé en ondes planes ; On connaît le champ diffracté par chacune des ondes planes (Sommerfeld, 1896) ; Le champ diffracté par le FG correspond à la somme des ondes planes diffractées. Ed. FG Formulation exacte et intégrale. Page 21/47 Plan conducteur semi-infini Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG Spectre d'ondes planes (intégration numérique) Paramètres : Plan conducteur semi-infini Page 22/47 Incidence : 45° Polarisation TE Centre du faisceau sur l'arête Calcul du champ proche Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG : approches utilisables Théorie du point source complexe Le rayonnement d'un point source dont les coordonnées sont complexes correspond approximativement à un FG paraxial. L'expression du champ diffracté par un point source complexe correspond à celle d'un point source réel (Stratton, 1941). ~r Formulation exacte et analytique. Page 23/47 ~ ~ Plan conducteur semi-infini Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG Plan semi-infini : Point source complexe (expression analytique) Plan conducteur semi-infini Page 24/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG : approches utilisables Hypothèse de l'Optique Physique (OP) On calcule le courant électrique OP sur le demi-plan : On calcule le champ rayonné par ce courant : Évaluation asymptotique Expression analytique. Formulation approchée et analytique. Page 25/47 Er ^ n Hi(S) Plan conducteur semi-infini Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG Plan semi-infini : Optique Physique (expression analytique) Plan conducteur semi-infini Page 26/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 2 D d'un FG Plan semi-infini : comparaisons des approches Spectre d'ondes planes (intégration numérique) Champ rayonné lointain Optique Physique (expression analytique) Φ Différences : en zone proche et en dehors des directions principales de rayonnement Page 27/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction d'un FG Plan semi-infini : bilan PSC SOP 2 D 3 D (vect. ) Page 28/47 (FG parax. ) OP Exact Approx. 1 intégrale Analytique Exact Astigmatis. Approx. 2 intégrales Polarisation Analytique Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007 Compromis entre précision et temps de calcul

Diffraction 3 D par un FG : surface finie et OP OP pour une surface finie (3 D) : Es Hi Courant de l'OP sur la surface S S avec Évaluation asymptotique. Hypothèses : Point d'observation en zone lointaine ; Matrice de courbure du FG incident constante sur la surface éclairée ; Forme canonique propice à l'utilisation de la méthode du point col “Découpage” du domaine d'intégration Page 29/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (1) Développement asymptotique connu 1 er terme analytique Page 30/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG : Optique Physique « Découpage » du domaine d'intégration (2) C A B D C Même approche : (4 intégrales doubles avec 2 bornes) 2 Développements asymptotiques uniformes en cascade 4 termes analytiques approximations uniformes 4 termes an. Finalement : le développement asymptotique global correspond à la somme de 1+4+4=9 termes analytiques. Page 31/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG Application numérique (1) Légende : d. B • Intégration numérique OP • Expr. Analytique OP • taille : 20 x 20 • Différence Plaque : FG incident : • centre en (x, y, z)=(10 , 0, 10 ) • angle zenith : 0° angle azimuth : 0° Observation : Très bonne angles zenith : -90° àentre 90° correspondance angle azimuth: 0° intégration numérique distance obs et: 1000 composante E expression analytique. • Page 32/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG Application numérique (2) d. B Légende : • Intégration OP Plaque numérique : Expr. Analytique OP • taille : 20 x 20 • Méthode des Moments (Mo. M) FG incident : • • • centre en (x, y, z)=(0, 0, 50 ) Différence entre Mo. M et OP analytique • E angle zenith : 0° angle azimuth : 0° Observation : Très bonne correspondance entre • angles zenith : -90° à 90° OP numérique et OP analytique angle partout. azimuth: 0° distance obs : 1000 Bonne correspondance entre composante E OP et Mo. M pour les premiers lobes. Page 33/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG Application numérique (3) Légende : OP d. B • Intégration Plaquenumérique : E E E E i=45° • Expr. Analytique OP • taille : 10 x 10 FG incident : • Méthode des Moments (Mo. M) • centre distant de. OP 30 • Différence entre Mo. M et analytique • angle zenith : 45° angle azimuth : 0° Observation : Bonne correspondance entre • angles zenith -90° à 90° OP numérique et OP: analytique angle azimuth: 0° partout. distance obs : 1000 Bonne correspondance composante E entre OP et Mo. M pour les premiers lobes. Page 34/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG Application numérique (4) d. B E E Légende : Plaque : • Intégration numérique OP • taille : 10 x 10 • Expr. Analytique OP FG incident : • Méthode desdistant Moments (Mo. M) • centre de 50 • Différence entre Mo. M: et OP analytique • angle zenith 45° angle azimuth : 0° i=45° Observation : obs=37° zenith : -90° à 90° Bonnes • angles correspondances entre angle azimuth: 37° OP numérique et OP analytique. distance obs : 1000 Correspondances composantes Eentre et E OP et Mo. M uniquement pour les premiers lobes. Page 35/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Diffraction 3 D d'un FG : synthèse Domaine de validité de la solution analytique Hypothèses : Haute-fréquence ; Optique Physique ; Observation en zone lointaine ; Matrice de courbure constante sur la surface Type de surface : conductrice et rectangulaire ; Taille minimum : 5λ x 5λ (OP) ; Pas de taille maximum ; Faisceaux gaussiens : Exemple de temp de calcul : Mo. M (référence) : 30 min OP numérique : 2 min OP analytique : 1 sec Angle d'incidence maximum : environ 60° ; formulations pour FG paraxiaux ou champ lointain. Page 36/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Applications des FG Page 37/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Applications des FG Utilisation du lancer de faisceaux gaussiens : Radômes diélectriques mono/multi-couches Propagation EM indoor Propagation EM outdoor (couverture telecom) εr 3 εr 2 εr 1 Page 38/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Applications des FG : propagation Exemple : propagation EM sur de grandes distances (1 GHz) plan conducteur Le champ incident sur le plan est décomposé en FG (paraxiaux); On compare avec la résolution de l'équation parabolique (code ONERALAME, EPEE 3 D) ; Le sol conducteur est modélisé par le théorème des images ; Indice de réfraction de l'atmosphère = 1 Page 39/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Applications des FG : propagation Plan parallèle à la direction de propagation Équation parabolique (6 h 30) Faisceaux Gaussiens (45 min) lointain Champ réfléchi proche Page 40/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Applications des FG : propagation Plan transverse à la direction de propagation (Composante principale (Ex), à 500 m du plan) coupe Page 41/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Application des FG : propagation Exemple : Propagation dans une vallée d. B ouverture circulaire uniforme ; décomposée en 472 FG(lointain) =30° (>20°). Page 42/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Conclusion et perspectives Page 43/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Conclusion Parois diélectriques très courbes : formulation du spectre d'ondes planes d'un FGC ; calcul numérique des interactions ; calcul analytique pour des parois en zone lointaine. Diffraction d'un FG 2 D : 2 formulations exactes : SOP/PSC 1 formulation approchée : OP 3 D : 2 formulations approchées : OP non uniforme Uniforme (sans singularités ou discontinuités) Applications des FG radômes contexte de propagation EM Page 44/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Perspectives Mathématiques : Développements asymptotiques possibles ? Modification de la forme des FGC ? Diffraction 3 D : triangle Physiques : Utilisation des FGC pour des radômes très courbes Applications des FG à des problèmes complets Page 45/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Lancer de faisceaux gaussiens Radôme diélectrique/multicouches : f. g. « classiques » et conformes. Surface de faible courbure diélectriques ou métalliques : faisceaux gaussiens « classiques » . Surface de forte courbure diélectrique ou métallique: faisceaux gaussiens conformes. Arête diffractante métallique : diffraction d’un faisceau gaussien « classiques » . Page 46/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Merci pour votre attention Page 47/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Développement asymptotique d'intégrales Principe (phase stationnaire) Point stationnaire : Re[exp(j k g(x))] pour g(x) = x^2 - 4 x xs x Page 48/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Configuration des mesures Page 49/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Configuration des mesures Mesures de champs diffractés Dipôle Page 50/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Configuration Page 51/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Champs incidents sur la surface Page 52/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007

Application du spectre d'ondes planes d'un FGC Champs transmis Page 53/47 Julien Hillairet, jeudi 6 décembre 2007