4 La transforme en z Un formalisme adapt

4. La transformée en z Un formalisme adapté au filtrage et à l’analyse en fréquence des signaux échantillonnés et à l’automatique numérique Définition x(t) signal étudié z variable complexe t entier : pas d’échantillonnage égal à 1 Im(z) problèmes liés à la convergence : importance du domaine de définition en général une couronne incluant le cercle de rayon 1 Re(z) 1 lien avec la transformée de Fourier 1

Exemple x(t) t (entier) Im(z) convergence si séries géométriques Re(z) |a| (fractions rationnelles) 1 1/|b| a et b peuvent être complexes 2

associée à une équation récurrente (filtrage) équivalente numérique de l’équation différentielle linéraire à coefficients constant du premier ordre 3

Effet de la valeur de a très amorti : peu amorti a proche de zéro a proche de 1 Im(z) a négatif |a| Re(z) a>1 1 oscillations à ½ fréq. d’éch. exponentielle divergente si a>1 4

Im(z) convergence si Re(z) |a| 1 fractions rationnelles : pôles et zéros racines du dénominateur et du numérateur 5

t associée à une équation récurrente (filtrage) équivalente numérique de l’équation différentielle linéaire à coefficients constant du deuxième ordre de la forme 6

Argument des pôles et fréquence des oscillations Im(z) Re(z) 1 Oscillations rapides (hautes fréquences) Oscillations lentes (basses fréquences) 4. 0 2. 5 2. 8 1. 4 1. 6 0. 3 0. 4 -0. 8 -1. 9 -2. 0 -3. 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t 7

Module des pôles et amortissement pôles proches de l’origine pôles près du cercle de rayon 1 Im(z) |a| Re(z) 1 Très oscillant Très amorti 1. 3 1. 0 0. 8 0. 7 0. 3 0. 4 -0. 2 0. 1 t -0. 2 -0. 7 t -1. 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 8

Module des pôles et stabilité pôles intérieurs au cercle 1 Im(z) |a| pôles extérieurs au cercle 1 Im(z) |a| 1 Re(z) 1 stable (convergence) t instable (divergence) t 9

Quelques propriétés immédiates de la transformée en z La transformée d’une séquence de durée finie est un polynôme Le retard de k échantillons est associé à z -k La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=0 est une constante La transformée d’un signal composé d’un seul échantillon pour t=1 est 10

Transformée d’une convolution discrète (commutativité) Même démonstration que dans le cas de la transformée de Fourier d’une convolution 11

Transformée d’une convolution discrète cf : produit de polynômes les coefficients du produit s’obtiennent en calculant une convolution discrète 12

Inversion de la transformée en z C contour dans le domaine de convergence : cercle de rayon 1 (expression donnant l’amplitude de l’harmonique d’une série de Fourier) dans les cas simples : décomposition en fractions rationnelles du premier degré : le signal x est une somme d’exponentielles alors (a peut être complexe) la transformée inverse d’un polynôme est une séquence de durée finie Attention au domaine de convergence ! En traitement du signal ce domaine contient le cercle de rayon 1 13

fréq. Lien avec la transformée de Fourier graduation linéaire en angle du cercle de rayon un correspond à une graduation linéaire de l’axe des fréquences p p/2 Im(z) p/2 p/4 3 p/4 p -p p/4 Re(z) -p/4 -3 p/4 -p/2 -p/4 -p/2 Lien avec la transformée de Laplace l’intérieur du disque de rayon 1 se transforme dans le demi plan partie réelle négative -p 14

signal à temps continu échantillonnage dom tem aine por el x(t) signal échantillonné y(n)=x(t) pour n=t transformée en z n t transformée de Fourier Y(z) dom fréq aine uen tiel Im(z) Re(z) Y(z) périodisation z=ejw X(w) -p p X(w)= Y(ejw) -p p w enroulement sur le cercle 1 15