Visoka poslovnotehnika kola Uice OPERATIVNI SISTEMI MATEMATIKE OSNOVE

Visoka poslovno-tehnička škola Užice OPERATIVNI SISTEMI MATEMATIČKE OSNOVE dr Ljubica Diković, mr Slobodan Petrović

BINARNA AZBUKA l l 2/32 predstavlja skup od samo dva simbola, 0 i 1. Ozn. B={0, 1} Sve informacije u računaru se prikazuju kao reči binarne azbuke. Broj reči dužine k, određen je obrascem 2 k - broj varijacija k-te klase sa ponavljanjem. Broj se sastoji od cifara a azbuka od simbola (slova) k 2 k 1 2 2 4 3 8 4 16

BINARNA AZBUKA Pogodnost korišćenja binarne azbuke: - u elektronskoj tehnologiji lako ostvariti objekat sa dva stabilna diskretna stanja (0 ili 1). Digitalna kola računara imaju na izlazu samo 2 naponska stanja: - napon na izlazu <>0 (ozn. DA ili 1) - napon na izlazu = 0 (ozn. NE ili 0), što znači da su stanja digitalnih kola predstavljena ciframa binarnog brojnog sistema: 0, 1. 3/32

ĆELIJA, REGISTAR Objekat sa dva diskretna stanja nazivamo ćelijom. Više ćelija organizovanih u fizičku celinu da registruju reč (broj) binarne azbuke čine registar. Sadržaj registra može biti podatak ili naredba (instrukcija). 4/32

NOTACIJE l Binarni brojčani sistem – – Sistemske cifre: 0 i 1 Bit (binary digit): pojedinačna binarna cifra l Binarne jednakosti – – – 5/32 1 Byte (B) = 8 bits (b) 1 Kilobyte (k. B) = 1024 bytes = 210 B 1 Megabyte (MB) = 1024 k. B = 1, 048, 576 B = 210 k. B = 220 B 1 Gigabyte (GB) = 1024 MB = 1, 073, 741, 824 B = 210 MB = 220 k. B = 23 0 B 1 Terabyte (TB) = 1024 GB = 210 GB =. . .

OSNOVA BROJČANOG SISTEMA, POZICIONI SISTEM l l 6/32 Osnova brojčanog sistema predstavlja broj različitih cifara tog sistema i označava se sa N. Mesto cifre u zapisu broja naziva se pozicija cifre, a broj cifara dužina broja. Krajnje desna cifra u zapisu broja je cifra najmanje težine. Princip pozicionog obeležavanja realnih brojeva zasniva se na postojanju mesne (pozicione) vrednosti cifre i na postojanju osnove sistema N, za koju se može uzeti ma koji prirodan broj veći od 1.

Brojčani SISTEMI l l Brojčani sistem kod koga je N=10, S={0, 1, … 9} naziva se dekadni sistem. Primer; (39625)10 = 3*104 + 9*103 + 6*102 + 2*101 + 5*100 = 3*10 000 + 9*1 000 + 6*100 + 2*10 + 5*1 = 30 000 + 9 000 + 600 + 20 + 5 = 39 625 (143)10=1*102 + 4*101 +3*100 =1*100+ 4*10 +3*1 7/32

Brojčani SISTEMI l l l 8/32 Brojčani sistem kod koga je N=8, S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} naziva se oktalni sistem. Brojčani sistem kod koga je N=2, S={0, 1} naziva se binarni sistem. Brojčani sistem kod koga je N=16, S={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} naziva se heksadekadni sistem.

9/32 Dekadni Binarni Oktalni Heksadekadni 0 0 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10=8+0 8 9 1001 11=8+1 9 10 1010 12=8+2 A 11 1011 13=8+3 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10

Binarna i dekadna vrednost 22 21 20 d 0 0 0 1 1 0 2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 Binarna vrednost broja 10/32 Dekadna vrednost broja

Prevođenje binarnog broja u dekadni • Prevođenje binarnog broja u dekadni - 1011001 (1 0 1 0 1 ) 2 = (89)10 6 5 4 3 2 1 0 (pozicija) 26 25 24 23 22 21 20 (vrednost ) 1*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 1*64+ 0*32 + 1*16+ 1*8 + 0*4 + 0*2 + 1*1 =(89)10 (11101)2 = 1*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = = 16 + 8 + 4 + 0 + 1 = (29) 10 11/32

Prevođenje binarnog broja u dekadni (1001001)2 6543210 (pozicija cifre) (1001001)2= =1*26+0*25+0*24+1*23+0*22+0*21+1*20= =(64)10+(8)10+(1)10=(73)10 12/32

Prevođenje dekadnog broja u binarni l 13/32 Dekadni broj u binarni 1310 = 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 1*23+1*22+ 0*21+ 1*20 = (1101)2 6110 = 1*32 + 1*16 + 1*8 + 1*4 + 0*2 + 1*1 = 1*25 + 1*24 + 1*23 +1*22+ 0*21+ 1*20 = (111101)2

Konverzija iz dekadnog u binarni format Broj 98 konvertuj u binarni format. 98=1100010 14/32 Deljenje Provera Ostatak, R 98 / 2 = 49 49*2 + 0 R=0 49 / 2 = 24 24*2 + 1 R=1 24 / 2 = 12 12*2 + 0 R=0 12 / 2 = 6 6*2 + 0 R=0 6/2= 3 3*2 + 0 R=0 3/2= 1 1*2 + 1 R=1 1/2= 0 0*2 + 1 R=1 98=1 1 0 0 0 1 0

Konverzija iz dekadnog u binarni format 21=10101 Deljenje 21 / 2 = 10 10 / 2 = 5 5/2=2 2/2=1 1/2=0 Ostatak, R 10*2 + 1 5*2 + 0 2*2 + 1 1*2 + 0 0*2 + 1 21=10101 15/32

Prevođenje brojeva iz dekadnog u binarni sistem Izvrši prevođenje dekadnog broja 0. 375 u binarni brojni sistem. 16/32 i xi 0 1 2 3 0. 375 0. 750 0. 00 yi 0, 0 1 1 (0. 375)10=(0. 011)2

BINARNA ARITMETIKA 17/32 X Y Zbir + 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 Prenos Razlika Pozajmi ca 0 0 0 1 1 0 0

BINARNA ARITMETIKA (+) 1 11 010 (2) + 100 (4) = 110 (6) 11111 (10011)2 + (01111)2 =(100010)2 0101 (5) +0111 (7) =1100 (12) 1 X 0 0 1 1 1 Y 0 1 1 + 0 1 1 0 1 Prenos 00011010 + 00001100 00010011 + 00111110 11 (00011010)2 = + (00001100)2 = (00100110)2 = 11111 (00010011)2 = + (00111110)2 = (01010001)2 = 18/32 prenos (26)10 (12)10 (38)10 prenos (19)10 (62)10 (81)10 0 1 1

BINARNA ARITMETIKA (+) 19/32

Binarna reprezentacija označenih brojeva (+9)10 = 0 10012 (+0)10 = 0 00002 (-7)10 = 1 01112 (-0)10 = 1 00002 ispred binarnog broja uvodi se još jedan bit (umetnuti bit 0 za pozitivan znak, a umetnuti bit 1 za negativan znak). Krajnji levi znak označava znak broja, a ostalih n-1 bitova broj. 20/32 – 8 bita 33 je predstavljen sa 0010 0001 -33 je predstavljen sa 1010 0001 – 16 bita 33 je predstavljen sa 0000 0010 0001 -33 je predstavljen sa 1000 0010 0001

BINARNA ARITMETIKA (-) 111(7) - 101(5) 010 (2) X 0 0 1 1 Y 0 1 - Pozajmica 0 1 1 0 0 01 (10011)2 -(01111)2 (00100)2 1 (10011)2 +(10000)2 111 (7) (100011)2 + 010 (C 5) 101 (5) 1001 + 1 (0 00100)2 010 (C 5) 0 010 (+2) + Da bi se dobio broj -5 potrebno je napraviti tzv. nepotpuni komplement broja 5 (C 5), tako što sve 0 postanu 1 i obratno. Ukoliko se kod sabiranja cifara najveće težine pojavi prenos 1, 21/32 govori nam da je rezultat pozitivan (>0) 7 -(+5)=7+(C 5) 11

BINARNA ARITMETIKA (-) 5 -7= 101 -111= (+5) -(C 7) 101 (5) + 000 (C 7) 101 (C 2) 1 010 (-2) 22/32 Ukoliko se kod sabiranja cifara najveće težine NE pojavi prenos 1, govori nam da je rezultat negativan (<0). Traženi rezultat, razlika, jednaka je nepotpunom komplementu dobijenog broja ( sve 1 u 0 i obrnuto)

PITANJA l l 23/32 Prevedi dekadni ceo broj u binarni oblik i obratno. Sabrati dva binarna broja.

KOD, KODIRANJE I DEKODIRANJE l l l 24/32 Binarni kod predstavlja slova, cifre i specijalne znake u obliku binarnih cifara. Kodiranje predstavlja funkciju koja preslikava skup objekata B u reči binarne azbuke A, odnosno u skup A*, pri čemu se svakom objektu iz skupa B pridružuje po jedna reč azbuke A. Osnova koda je broj simbola azbuke A. Dekodiranje predstavlja inverznu funkcije kodiranja, odnosno postupak raspoznavanja objekata iz skupa B na osnovu zadate reči azbuke A ili skupa A*.

BINARNO KODIRANI DEKADNI SISTEM Binarni kod 8421 25/32 Binarna reč 8421 Dekadna cifra 0000 0 0001 1 0010 2 0011 3 0100 4 0101 5 0110 6 0111 7 1000 8 1001 9 1010 10

KOD l l l 26/32 Kod je ravnomeran, ako je dužina svih kodnih reči u jeziku ista. U suprotnom, kod je neravnomeran. Kod je jednoznačan, ako se različitim ciframa dekadnog brojnog sistema, pridružuju različiti binarni kodovi. Optimalni zahtevi koje bi kodiranje trebalo da ispuni: - Različitim ciframa dekadnog brojnog sistema moraju se jednoznačno pridružiti različiti binarni kodovi. - Najveća dekadna cifra 9 se kodira najvećim binarnim brojem. - Parnim, odnosno neparnim dekadnim ciframa, odgovaraju parni odnosno neparni binarni kodovi. - Ukoliko dekadne cifre ispunjavaju uslov a+b=9, tada ukoliko se cifri a pridruži neki binarni kod, cifri b se mora pridružiti njegov komplement. - Svako mesto u binarnom kodu mora imati svoju težinu.

ALFA-NUMERIČKI KODOVI 27/32 ASCII kod (American National Standard Code for Information Interchange) lje binarni kod razvijen od strane Američkog Instituta za standarde, pri čemu se svaki karakter predstavlja nizom od 7 cifara i na različit način se može predstaviti 128 karaktera. l. Svaki znak u ASCII tabeli kodova, se nalazi u preseku odgovarajuće vrste i kolone. Prve 4 cifre se uzimaju sa mesta vrsta, a ostale 3 sa mesta kolona. l. ASCII je kod (šifra) za predstavljanje engleskih znakova (slova, brojeva, znakova interpunkcije i posebnih znakova) celim brojevima. l. Svakom znaku se dodeljuje broj od 0 do 127. Na primer, ASCII kod za veliko slovo M je broj 77. l Zapis P@Q u ASCII kodu izgleda na sledeći način: 0101000000 01010001 l Postoje i drugi kodovi za predstavljanje znakova. Na IBM kompjuterima u upotrebi je 8 bitni binarni kod EBCDIC (eng. Extended Binary Coded Decimal Interchange Code).

28/32

29/32

l l l 30/32 ASCII zapis se jednostavno deli u 4 grupe korišćenjem bitova 5 i 6 na sledeći način: Bit 6 Bit 5 Grupa karaktera 0 0 Kontrolni karakteri 0 1 Cifre & Interpunkcijski znaci 1 0 Velika slova & Specijalni znaci 1 1 Mala slova & Specijalni znaci

PROBLEMI OSMOBITNOG KODOVANJA ZNAKOVA I UNICODE KAO REŠENJE l l 31/32 Tradicionalno, kodovanje znakova je koristilo 8 bita što je ograničilo broj znakova koji se kodovanjem može predstaviti na 256. Navedeni problem je rešen stvaranjem novog načina kodovanja za predstavljanje znakova celim brojevima, odnosno uvođenjem kodne šeme koja je označena kao UCS (eng. Universal Character Set) ili Unicode je stvoren sa ciljem da obuhvati sva pisma svetskih jezika i da omogući njihovo kombinovanje u istom dokumentu. Unicode je 32 -bitni (4 bajta) kodni sistem, poznat pod imenom UCS 4, jer koristi 4 bajta za predstavljanje jednog znaka. U najširoj upotrebi je podskup UCS-a, označen kao USC 2, koji koristi 16 bita za predstavljanje znakova. Unicode se može predstaviti kao: - Standard za kodovanje znakova - Uključuje sve glavne svetske jezike - Koduje znake na jednostavan i dosledan način - Objavio ga je Unicode Consortium, ver. 2. 0 objavljena 1996. godine

PITANJA l l l 32/32 Šta je kod? ASCII kod. Unicod.