UNIDAD 3 Cinemtica de la partcula Velocidad y

UNIDAD 3: Cinemática de la partícula Velocidad y aceleración Movimiento uniformemente acelerado Caída de los cuerpos Movimiento circular. M. C. U Velocidad angular y tangencial Período y frecuencia Aceleración centrípeta

Introducción: El movimiento de una partícula se describe por completo si se conoce su posición en cualquier instante Para esto hay que encontrar leyes que expliquen los diferentes cambios de los cuerpos en el tiempo, se deben registrar los cambios y describirlos Para describir el movimiento debemos definir cinemáticas, que son la velocidad y la aceleración. otras variables

Cinemática de la partícula Cinemática: Rama de la Mecánica que se dedica a la descripción del movimiento mecánico sin interesarse por las causas que lo provocan.

Sistemas de referencia ¿Como determinamos que un cuerpo se mueve? Movimiento: Cambio de posición de un cuerpo respecto a otros, tomados como referencia. Definir sistema bajo estudio Definir Sistema de Referencia (SR)

Sistema de Referencia A los cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio, Se le asocia: y • Sistema de Coordenadas x(t) x z • Observador • Reloj

Posición y desplazamiento Para el movimiento en una dimensión el sistema de referencia es una recta que coincide con la recta sobre la cual se mueve el móvil. En esa recta se elige un punto arbitrario, llamado origen y se gradúa la recta según una escala a conveniencia B - x(Km) -21 -18 ( ) -15 . -12 -9 C -6 -3 a la izquierda del origen 0 A +3 +6 + x(Km) +9 +12 +15 +18 a la derecha del origen si un cuerpo se encuentra en el punto A en un cierto instante, su posición será: tiempo después si el mismo móvil se encuentra en B, su posición será : cuando se halle en C su posición será: +21 (+)

Posición y desplazamiento -21 x 2 x 1 - x(Km) -18 -15 . -12 -9 -6 -3 0 +3 +6 +9 +12 +15 + x(Km) +18 +21 En cierto instante t 1 , la posición de un cuerpo es x 1 En cierto instante t 2 , la posición del cuerpo es x 2 Decimos que hay desplazamiento cuando existe cambio de posición del cuerpo Se calcula: ó

Ejemplo x 4 x 3 x[m] -7 + x[m] -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 x 2 xi=1 m ; xf =4 m xi=2 m ; xf =-2 m xi=-6 m ; xf =-1 m xi=7 m ; xf =2 m 1 2 3 x 1 4 5 6 7

Velocidad media Para que un móvil efectúe un desplazamiento necesita un cierto intervalo de tiempo t Pero un mismo desplazamiento se puede realizar en mayor o en menor tiempo, o sea más lentamente o más rápidamente La relación entre el desplazamiento y el tiempo que se tarda en efectuar ese desplazamiento se denomina velocidad media en dicho intervalo de tiempo o sea:

Unidades: Ejemplo Un móvil realiza cambios de posición en distintos tiempos como indica en la tabla. Determinar la velocidad media entre 2 s y 6 s y entre 1 s y 5 s TABLA Tiempo t[s] Posición x[m] 0 3 1 5 2 7 3 9 4 11 5 13 6 15 para algunos movimientos, como el de la Tabla, el valor de la velocidad media no depende del intervalo del tiempo en que se la calcule

Vimos que el desplazamiento x puede ser (-) ó (+) Como el valor de la velocidad media Vm depende de x, puede suceder: ó sea positiva o negativa. En el primer caso significa que el móvil se mueve hacia la derecha. En el segundo caso significa que el móvil se mueve hacia la izquierda.

Movimiento uniforme (M. R. U. ) En el ejemplo de la tabla, vimos que el valor de la velocidad media no depende del intervalo del tiempo en que se la calcule TABLA Tiempo t[s] Posición x[m] 0 3 1 5 2 7 3 9 4 11 5 13 6 15 Podemos realizar la experiencia con cualquier intervalo de tiempo y siempre obtendríamos el mismo resultado: En un movimiento rectilíneo uniforme, el móvil recorre desplazamientos iguales en tiempos iguales, cumpliéndose en todo momento la relación:

Si indicamos la posición inicial xi como xo, considerando ti=0 y como la velocidad es constante podemos llamar Vm = v despejando: Nos permite saber la posición en cada instante, conociendo la velocidad con que viaja el móvil

Ejemplo: Ejemplo Un automóvil tiene una velocidad de 75 Km/h, ¿ qué espacio recorre el automóvil en 3 minutos 20 segundos ? . Expresar el resultado en m y Km Una forma de resolver este ejemplo, es convertir la velocidad expresada en Km/h en m/s y el tiempo expresado en min y seg en seg Para hallar el espacio: ¿lo podemos hacer de otra forma?

Representación gráfica Podemos representar en una gráfica como cambia la posición de un móvil a medida que transcurre el tiempo Supongamos un automóvil que tiene los siguientes datos iniciales, una velocidad y una posición inicial TABLA t=0 20 Km Tiempo Posición t[h] x[Km] 0 20 t=1 h 80 Km t=2 h 140 Km 1 80 2 140 t=3 h 200 Km 3 200 4 260 t=4 h 260 Km

Representación gráfica (x-t) x[Km] 300 TABLA Tiempo Posición t[h] x[Km] 0 20 1 80 2 140 3 200 4 260 200 100 2 4 6 t[h]

Representación gráfica (v-t) v[Km/h] 60 40 20 2 4 6 t[h]

En general, podemos decir: SISTEMA DE REFERERNCIA MOVIL t CONDICIONES INICIALES (v=cte, xo) v x[m] 0 d xo xf TIEMPO (t) CAMBIO DE POSICIÓN (xf)

Estudio de gráficas para el caso de dos móviles : Caso 1 Móviles que parten del mismo punto al mismo tiempo en el mismo sentido. xo=0 x[Km] para el mismo tiempo: x 2>x 1 v (rojo) > v(verde) x 2 x 1 to=0 t t[h]

Estudio de gráficas para el caso de dos móviles : Caso 2 Móviles que parten al mismo tiempo de distinto punto, en sentido contrario, es decir, (al encuentro) xo 1=0 xo 2 x[Km] para el mismo tiempo: x 2=x 1=x se cruzan (encuentro) xo 2 x 0 t t[h]

Estudio de gráficas para el caso de dos móviles : Caso 3 Móviles que parten del mismo punto en el mismo sentido pero en diferente tiempo. Siendo la v del segundo mayor que la del primero xo=0 x[Km] salen a distinto tiempo, v (rojo) > v(verde) lo alcanza en x x to=0 t 1 t t[h]

Velocidad instantánea En un cuerpo que se mueve, no siempre la velocidad es constante, y en algunos casos la velocidad cambia varias veces a lo largo de la trayectoria si se toma la velocidad media es un determinado lugar de la trayectoria si la tomamos en otro lugar de la trayectoria Vm 1 Vm 2 Si se toma el intervalo de tiempo cada vez más corto velocidad media se transformará en velocidad instantánea

Velocidad instantánea x x 1 x 2 t 0 x 3 xi O Vm = v ti t 3 t 2 t 1 t

Aceleración media Un movimiento donde la velocidad no es constante se denomina movimiento variable. to tf t vo cambio de velocidad vf x[m] 0 xo tiempo ( t) x xf aceleración media (am) o sea:

Unidades Ejemplo: Un automóvil que tiene una velocidad de 90 Km/h frena en 10 segundos disminuyendo la velocidad a 60 Km/h. Determinar la aceleración expresada en.

Movimiento acelerado Describir el movimiento significa poder responder a la pregunta ¿dónde se encuentra el cuerpo en movimiento en cualquier instante de tiempo? . Si la aceleración a varía en el tiempo el movimiento puede ser muy complejo y difícil de analizar. Un caso simple de movimiento es aquel que se realiza en una dirección con aceleración constante. Si la aceleración es constante, entonces la a=am, y significa que la velocidad cambia de manera uniforme en todo el movimiento

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado M. R. U. A. En aquel movimiento donde la trayectoria del móvil es una línea recta Donde los cambios de velocidad son iguales En intervalos de tiempo iguales Las distancias recorridas son diferentes en intervalos de tiempo iguales. El móvil tiene aceleración constante. 1 s 1 s 1 m/s v=2 m/s 3 m/s v=2 m/s 1 s 5 m/s v=2 m/s 7 m/s x

Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado M. R. U. A. De la ecuación: vf>vi Si vf<vi a (+) a (-) el móvil acelera el móvil desacelera “frena”

Si consideramos en la ecuación to=0 , nos queda despejando vf ó Esta expresión, representa la ecuación horaria de la velocidad en todo momento Ejemplo: Un automóvil tiene una velocidad de 100 Km/h, frena con M. R. U. A. y se detiene al cabo de 50 segundos. Determinar la aceleración.

Representación gráfica (v-t) Podemos representar en una gráfica como cambia la posición de un móvil a medida que transcurre el tiempo Supongamos un automóvil que tiene los siguientes datos iniciales, una y una aceleración constante velocidad TABLA (v-t) t=0 5 m/s t=1 s 8 m/s t=2 s 11 m/s t=3 s 14 m/s t=4 s 17 m/s Tiempo Velocidad t[s] v[m/seg] 0 5 1 8 2 11 3 14 4 17

Representación gráfica (v-t) v[m/s] 20 TABLA (v-t) Tiempo Velocidad t[s] v[m/seg] 0 5 1 8 2 11 3 14 4 17 15 5 2 4 6 t[s]

Representación gráfica (v-t) Supongamos un automóvil que tiene los siguientes datos iniciales, una velocidad y una aceleración constante v[m/s] 20 15 5 2 4 6 t[s]

Representación gráfica (v-t) La representación gráfica de la velocidad en función del tiempo en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M. R. U. A. ) es una recta con pendiente positiva si la aceleración es positiva y pendiente negativa la aceleración es negativa Ejemplo: Un móvil tiene una velocidad inicial de 18 m/s y frena con una aceleración constante de 2 m/s 2. Determinar a) la velocidad del móvil a los 3 segundos b) ¿ en que tiempo el móvil se detiene ? . a) b)

Ecuaciones del M. R. U. A. Como en éste movimiento la velocidad varia uniformemente con el tiempo, podemos calcular el espacio: donde reemplazando el valor de la velocidad promedio recordando que reemplazando en la anterior y operando Estas expresiones, son las ecuaciones horarias del espacio en función del tiempo

Ejemplo: Un automóvil tiene una velocidad de 100 Km/h, frena con M. R. U. A. y se detiene al cabo de 50 segundos. Determinar el espacio recorrido. Otra expresión para determinar el espacio en un movimiento M. R. U. A reemplazando t en: despejando vf 2 : independiza la posición del tiempo t

Representación gráfica (x-t) v O t x(t) a a a t O t

RESUMEN DE ECUACIONES DE M. R. U. A.

Caída de los cuerpos Si dejamos libre un cuerpo El cuerpo cae ¿ Cómo es la trayectoria ? . La trayectoria es vertical ¿ Cómo es la velocidad ? . La velocidad no es constante ¿ Cómo es la velocidad en cuerpos de distinto peso? . La velocidad en el vacío es la misma Experimentalmente se demuestra que todos los cuerpos que se dejan caer cerca de la superficie de la Tierra, lo hacen con una aceleración aproximadamente constante. Esta aceleración, que se llama aceleración de gravedad, es producida por una fuerza que existe entre cuerpos con masa, llamada fuerza de atracción gravitacional

Si se deja caer un cuerpo Si se arroja hacia arriba un cuerpo v 2 v 0 v 1 h v 1 m = g 9 , 8 2 s g = 9 , 8 h v 0 v 2 ñ v 1 ñ v 0 v 2 áv 1 áv 0 m s 2

El movimiento de caída de los cuerpos es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M. R. U. A. )

Ejemplo: Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad inicial de 42 m/s. Calcular: a) el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima b) la altura máxima alcanzada c) la velocidad con que llega al suelo el cuerpo d) el tiempo que emplea en caer a) el cuerpo emplea el mismo tiempo al bajar que el que emplea para subir b) c) d) existe una simetría en el movimiento de subida y en el movimiento de bajada de un cuerpo

Movimiento circular. M. C. un movimiento es circular cuando la unión de las sucesivas posiciones de un cuerpo a lo largo del tiempo (que llamamos trayectoria) genera una curva en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia R (radio) de un mismo punto llamado centro. v v R v v v Movimiento circular Uniforme. M. C. U. Cuando, además, gira de manera que el módulo de su velocidad lineal es constante, diremos que tiene un movimiento circular uniforme (M. C. U. ). En un MCU, el cuerpo que gira describe arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales

v O Designándola con la letra B v R A t

Velocidad tangencial En un M. C. U. , la llamamos velocidad tangencial En un M. R. U. , la velocidad instantánea El arco ó trayectoria circular es: dividiendo ambos miembros por t v d pero: R v

Período es el tiempo que un objeto en movimiento circular tarda en recorrer una vuelta completa, o realizar un giro completo, o también completar una revolución. Su unidad de medida usualmente es el segundo y se designa con la letra T El periodo de la Tierra alrededor del Sol vt aproximadamente 365 días El periodo de la aguja del minutero en un reloj 60 minutos o una hora El periodo se mide generalmente en segundos vt Sol Tierra

frecuencia Se denomina frecuencia (f ) al número de vueltas que un objeto da en un segundo. La frecuencia se mide en vueltas/segundo o Hz (hertz), revoluciones por minuto (r. p. m. ), revoluciones por segundo (r. p. s. ). Sin embargo, en el SI la frecuencia se expresa en Hertz (Hz), que corresponde a una revolución por segundo Periodo y frecuencia son magnitudes inversamente proporcionales Si da una vuelta, y sabiendo lo que es el Periodo de la relación entre T y f

PROBLEMA No 28: Un volante de 3 m de diámetro está girando a 120 rpm. Determinar: a) su frecuencia b) su período c) la velocidad angular en rad/s d) la velocidad lineal en un punto sobre su borde. a) b) c) d)

Aceleración centrípeta Vimos que en el movimiento circular uniforme, el módulo de la velocidad tangencial (rapidez) es constante Pero como la dirección de la velocidad cambia continuamente, la partícula posee aceleración La llamaremos aceleración centrípeta ac y se debe exclusivamente al cambio de la dirección de la velocidad v La dirección de la aceleración está dirigida hacia el centro del círculo, es por ello que se denomina aceleración centrípeta y es la v necesaria para que la velocidad tangencial cambie de dirección a cada instante. ac Se puede obtener la expresión ac O de la aceleración centrípeta:

Ejemplo: Un punto describe una trayectoria circular de 30 cm de radio tardando 3, 52 s en dar cinco vueltas. Calcular: a) La velocidad angular en r. p. m y en rad/s b) El periodo y la frecuencia del movimiento c) El ángulo girado al cabo de 0, 85 s de iniciado el movimiento. d) Su aceleración centrípeta