MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME M C U Se llama

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. M. C. U Se llama Circular Uniforme porque: CIRCULAR: Su del camino o Trayectoria es que una Son ejemplos M. C. U. el movimiento El estudio del Movimiento Circular Uniforme fue Circunferencia. realiza el segundero mecánico de un reloj, la elice ampliamente expuesto por los Científicos: El UNIFORME: recorre o espacios de un ventilador, el distancias movimiento del CD en un Holandes Cristian Huygens ( 1629 - 1695) y el iguales. equipoen detiempos sonido, también la rotación de la tierra sobre su Aleman Enrique Herz (1857 - 1894). SE REPRESENTA M. C. U eje. ”:

Movimiento de Rotación Movimiento de Traslación

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME RADIAN: Se llama Radian al arco de longitud igual a un Radio. 2 3 Un Radian 1 0, 2832 Radio 4 6 Cuantos radianes tiene la circunferencia? 5 Luego: La circunferencia tiene 6, 2832 Radianes 6, 2832 = 2 x 3, 1416 = 2 xπ = 2π

RELACION ENTRE RADIANES Y GRADOS 90 3Π 4 135 Π 2 La Circunferencia en el sistema sexagecimal es igual aΠ 360 grados 45 4 En el sistema Circular π 180 0 La Circunferencia es Igual a 2π Radianes 2π 360 Para trasformar Grados a Radianes Utilizamos la Formula: La equivalencia de algunos angulos es. Nr = Ng x π 180 Ng= Numero de grados Nr=Numero de radianes 225 315 7Π Para trasformar 5Π Radianes a Grados Utilizamos la 4 Formula: 270 4 Ng = Nr x 180 Ng= Numero 3Π de grados 2 de radianes π Nr=Numero

Ejemplo 1 Transformar 120 grados a Radianes Nr = Ng x π 180 Nr = 120 x π 180 Ahora Simplificamos 2 120° = π 3 Nr = 2 10 30 60 120 x π 180 90 45 15 3

Ejemplo 2 Transformar 5 π/3 Radianes a Grados Ng = Nr x 180 π Ng = 5 x 180 3 Ng = 5π/3 x 180 π Ng = 5 π/3 = 300° 900 3 Ng = 5π x 180 3π Ng = 300°

El angulo de 60 grados en el sistema Circular corresponde a un angulo de. 1. 2. 3. 4. π/6 Radianes π/2 Radianes π/3 Radianes π/4 Radianes

Uno de los arcos corresponde a un ángulo de 3π/4 Radianes aproximadamente. 1. 2. 3. 4.

El angulo de 7π/6 corresponde a un angulo en grados de. 1. 2. 3. 4. 180° 150° 210° 240°

PERIODO ( T ) E n el movimiento circular, se llama Periódo al tiempo que tarda el movil en dar una vuelta completa. Se representa con la Letra T. Mayúscula. Para calcular el Periodo lo podemos hacer mediante una de las siguientes formulas. T t T = ----n 1 T = ----N t = Tiempo n = número de vueltas N = Frecuencia El periodo de la tierra en su movimiento de El Elperiodo El periodo del del segundero minutero horero de de de. Un Un Unrelojes es esiguala: a: a: traslacion, Rotación alsobre rededor su del eje sol. es 12 24 60 60 1 horas seg año min

El periodo de la tierra en su movimiento de rotación sobre su eje es 1. 2. 3. 4. Un segundo Un día Un año Una hora

El periodo de la Luna en su movimiento alrededor de la tierra es 1. 2. 3. 4. 5 dias 15 días 28 dias 30 dias

El tiempo que tarda la tierra en dar una vuelta completa alrededor del sol es de. 1. 2. 3. 4. 24 Horas 60 segundos 365 Días 30 Días Aprox.

ttt T=== -----TT -----nnn Un disco esta animado de M. C. U. y da 120 vueltas por minuto 120 Vueltas Calcular su periodo. 1(R. P. M. ). Min = 60 Segundos EJEMPLO 1 Datos. n = 120 v t = 6 0 seg T =? T= ----- T = 0, 5 sg. EJEMPLO 2 Un disco de larga duración gira 331 R. P. M. v Cuan será el valor del Min = 60 Segundos período. ? Datos. n = 33 v t = 6 0 seg T =? T= ----T = 1, 81 sg.

El periodo de un disco en M. C. U es de 0, 5 segundos, entonces cuando un estudiante afirma: en dar cuatro vueltas el disco tardaría. 1. 2. 3. 4. Un segundo Dos segundos Tres segundos Veinte segundos

FRECUENCIA Se llama Frecuencia al numero de Vueltas que da en un segundo y se la representa con la letra N. Los calculos se realizan mediante las siguientes expresiones. n N = ----t n: Numero de vueltas 1 N = ----T T: Periodo t: Tiempo UNIDADES DE LA FRECUENCIA ( N ). N Las unidades son: Vueltas / seg = Ciclos / seg = Herz

Ejemplo 1. Un móvil en dar una vuelta completa gasta un tiempo de T = 0, 04 segundos , calcular la frecuencia. N =? Datos Ejemplo 2. Una n= rueda t 180 = 1 vueltas min gira =180 60 r. p. m. segundos Calcular su frecuencia. N =? Datos 0, 04 seg 60 seg 180 v 1 N = ------T 1 N = ------- N = 25 v/s = 25 Herz n N = ------t N = ----- N = 3 v/s = 3 Herz

DISTANCIA ANGULAR d (&) Supongamos que el cuerpo gira en una circunferencia de radio RR y pasa de la posición A a la posición B B describiendo un angulo ϴ La distancia angular d(&) d (&) Esta dada por la formula: ϴx. R d (&) = ϴ x R d (&) = ϴx R x π 180 si ϴ esta medido en Radianes. si ϴ esta medido en grados.

POSICION ANGULAR. (ϴ) Nos permite determinar el angulo cuando el cuerpo se encuentra en un punto cualquiera del círculo de radio R y se representa por el simbolo ( ϴ ) El cuerpo ha pasado de la Posición A a la Posicion B El ANGULO ϴ ϴ es la POSICION B ANGULAR Es igual a la longitud del arco d (&) por 360º que tiene el circulo dividido por el PERIMETRO de la circunferencia = 2πR A R Matemáticamente se expresa: ϴ = d (&) x 360º 2πR radianes 360 grados

EJEMPLO Un Trabajador desea saber que cantidad de alambre necesita para cercar un arco de un terreno ϴ = 54° circular que tiene 54 grados y un R = 20 m radio de 20 metros. Datos. Un satelite se encuentra circulando dentro del cinturon de la orbita Geoestacionaria. Calcular la distancia recorrida por este satelite si el angulo ϴ = 30° Datos. d (&) = ? 54° ϴ = 30° ϴ R= 4 x 108 m R 20 m d (&) = ϴx R x π 180 Remplazamos d (&) = 54 x 20 m x 3, 1416 180 d (&) = 18, 84 m R/ El Trabajador debe comprar 18, 4 m De alambre para cercar su terreno. d (&) = 30°x 4 x 108 m x 3, 1416 180 d (&) = 209. 440. 000 m d (&) = 209. 440 kms La distancia recorrida por el satelite cuando el angulo central es de 30° es de: 209. 440 kilometros.

VELOCIDAD ANGULAR Un cuerpo con M. C. U pasa de la Posición A T a =la. Periódo Posición B y Tiempo que tarda en dar gasta un tiempo t y además. una vuelta completa. ϴ Describe un ángulo ϴ Entonces lo hace con una velocidad angular ( W ), B Se define: 2π W = ---- Si el angulo es mayor de 360° T ϴ W = ---- Si el angulo es menor de 360° t Y el tiempo es muy corto UNIDADES W R A t = tiempo muy corto Las unidades con que se expresa la velocidad angular son: Radianes W = ------Seg Grados W = -----Seg

EJEMPLO Un reloj gasta t = 10 10 segundos en recorrer un anguloϴde = 40 °grados. Cual es la velocidad angular? W=? EJEMPLO W= ? Calcular la velocidad angular que tiene un movil con M. R. U, si = 4 v da 4 n vueltas en t =88 segundos? seg DATOS Ahora En primer calculamos lugar la velocidad calculamos el angular periodo T ϴ W = -------t Como ϴ< 360° entonces utilizamos la formula. 40 grados W = ------10 seg W= 4 Grados Seg Remplazamos t T = -------n 8 seg T = -------4 vueltas 2π w = -------T 2π w = -------2 seg w= w= T = 2 seg Π radianes / seg 3, 1416 rad / seg

EJEMPLO Cual será la velocidad angular que realiza un cuerpo al dar una vuelta al rededor del circulo? Al dar una vuelta el angulo ϴ = 2π radianes. DATOS Luego. ϴ = 2π radianes Esta expresión se puede escribir t =T 1 N = ---T W=? ϴ W = ---T 2π x 1 W = ------T 2π W = ---T Remplazando tenemos W = 2π x 1 T SABEMOS QUE

VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL ( V ) Cuando el segundero de un reloj da una vuelta completa, el vector velocidad habrá girado un angulo de 360° describiendo una UNIDADES DE LA VELOCIDAD circunferencia de longitud 2πR T, y como la 2πR en un periódo T LINEAL O TANGENCIAL. velocidad es constante y según lo visto en el M. R. U tenemos: Son las mismas unidades que se utilizan para la velocidad en el M. R. U d m/s V = -----Cm/s t p/sg 1 V = ------ V =2πRN V = w. R Pero V C = d = 2πR N = ----T Pero W =2πN Remplazando tenemos. en la igualdad tenemos. t = T

EJEMPLO. Un movil con M. C. U que tiene un radio de 40 cms, gasta 0, 2 seg. En dar una vuelta completa. Cual será su velocidad lineal. Un disco esta animado de M. C. U y da 180 R. P. M cual será su velocidad lineal o tangencial, si el disco tiene un diametro de 4 cms. DATOS n = 180 v R = 40 cm R = 2 cm T= 0, 2 seg N=? V= ? 2πR V = ----T 2 x 3, 1416 x 40 cm V = ------------0, 2 seg V =1256, 64 cm -------seg n 180 v N= ----- N= ----t 60 seg N= 3 herz V = 2πRN V = 2 x 3, 1416 x 2 cmx 3 v/seg V = 75, 39 cms/seg

EJEMPLO. Un disco de larga duración gira 33 R. P. M. Calcular su frecuencia, su velocidad angular y su velocidad lineal si el radio mide 30 cms. DATOS n = 33 vueltas R = 30 cm N=? Finalmente calculamos la En primer lugar calculamos la Ahora obtenemos la velocidad Velocidad lineal o Tangencial angular W=2πNN FRECUENCIA V= wx. R w= ? V= ? n N= ----t 33 vueltas N= ------60 seg w = 2πN w = 2 x 3, 1416 radx 0, 55 v/seg V =w x R V =3, 45 rad/seg x 30 cms N= 0, 55 herz w = 3, 45 rad/seg V = 103, 5 cms/seg

ACELERACION CENTRIPETA O NORMAL ( a. N) La aceleración centripeta o Normal a. N se debe al cambio de dirección del vector velocidad tangencial, esta aceleracion siempre esta dirigida hacia centro del movimiento, razon por la cual su signo es negativo. 2πR ACELERACION CENTRIFUGA ( a (+)) 2πR at Ec. 2 T = ----Ec. 1 V = ----La aceleración centrifuga V es al misma aceleración T a V centripeta, pero se diferencia porque siempre - 2πV a. N Ec. 3 esta dirigida hacia afuera y su valor se lo considera a. N = ----at T Positivo, las formulas que se utilizan para sus - 4π2 Rla aceleración calculos las mismas que para - 2π son 2πR a. N = -------x -------a. N = ------centrípeta. T T T Finalmente Hacemos POR DEFINICION. LA Ahora remplazamos Esta aceleracion es producto de la tercera ley De laremplazamos Ecuación 1 la Hacemos operaciones. Y ACELERACION NORMAL la ecuación 1 en la SABEMOS QUE despejamos el Newton. Ley de Accion y Reaccion que operaciones. 2 ecuación 2 en la finalmente - 2πV -V SE DEFINE la ecuación 3 Periódo T a. N = -------a. N = -------ecuación 3 formula para estudiaremos posteriormente. 2πR R V

EJEMPLO Una piedra gira en un circulo que tiene de radio R = 2 metros y el giro completo lo hace. T =en 4 segundos. Cual será el valor de la aceleracióna. N centripeta o normal. ? =? DATOS a. N = - 4 x 9, 86 x 2 4 π2 R = T 2 16 = 4, 93 m s 2 El radio de la tierra es de 6400 km. Cual es la velocidad lineal y cual su aceleración centrípeta? DATOS R= 6400 km T= 24 horas V= ? a. N= ? V= a. N = 2π R T - v 2 R = 2 x 3, 1416 x 6400 = 24 1675, 52 km h = -(1675, 52)2 6400 - 438, 65 km h 2 =

TRASMISION DE MOVIMIENTO CIRCULAR Como hemos visto anteriormente, en todo movimiento circular se presentan dos velocidades, la velocidad lineal (V) y la velocidad angular (W) Teniendo en cuenta estas velocidades analicemos que sucede cuando el movimiento circular se trasmite de una rueda a otra. Lo haremos en dos casos. 1. TRASMISION EN CIRCULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS. 2. TRASMISION EN CIRCULOS CONECTADOS.

TRASMISION EN CIRCULOS INSCRITOS Y CIRCUNSCRITOS Suponga que dos cuerpos A y B estan pegados sobre un disco que gira con M. C. U. como muestra la figura. Al analizar el movimiento de los cuepos A y B que podemos decir de sus velocidades? A tiene mayor velocidad que B? Porque? B tiene mayor velocidad que A? Porque? A y B tienen la misma velocidad? Porque?

B` A` r R ϴ A B CONCLUSION. Vb > Va 2πR > 2πr T T Wa = Wb 2π = 2π T T El cuerpo B tiene mayor Velocidad lineal V, ya que debe recorrer mayor distancia que el cuerpo A. Los cuerpos A y B tienen la misma Velocidad Angular W, ya que en cada punto barren el mismo angulo

EJEMPLO El circulo menor inscrito tiene un radio de 4 cms. el circulo mayor circunscrito tiene 10 cms. de radio, si su periodo es de 2 seg. Calcular. Las velocidades lineales y angulares de cada uno de ellos. DATOS R= r= 10 cm. 4 cm. T= 2 seg. V 1= ? V 2= ? W 1= ? W 2= ? V 1= 2πR T V 1= 2 x 3, 1416 x 10 cm 2 seg V 1=31, 41 cm V 2= 2πr T V 2= 2 x 3, 1416 x 4 cm 2 seg V 2=12, 56 cm W 1= V 1 R W 1= 31, 41 cm/s 10 cm W 1=3, 141 rad seg W 2= V 2 r W 2= 12, 56 cm/s 4 cm W 2=3, 141 rad seg seg V 1 > V 2 La V 1 es dos y media veces mayor que la V 2 W 1 = W 2 La W 1 es IGUAL a W 2

TRASMISION EN CIRCULOS CONECTADOS. V 1 = V 2 V 1 = W 1 x R V 2 = W 2 x r SE SABE W 1 QUE: Este movimiento se lo ve a diario en: fabricas, industrias, IGUALAMOS DESPEJANDO Y W 2 REMPLAZAMOS movimiento circular, puede tornos, Todo motores, bicicletas, etc. se. W 1= 2πN 1 un circulo otro mediante Aqui latrasmitir rueda dede. Radio mayora R, trasmite su movimiento W 1 x RR = W 2 xr W 2= 2πN 2 el uso cadenas, engranajes a la rueda dede radio menorcorreas, r o viceversa, debido a la W 2 x r W 1 x R x N 1 de x Rlos = 2π x N 2 x rde cadena, lar velocidad 2π lineal bordes W 1=tension de la W 2 = las ruedas es IGUAL. Por tanto: N 1 x R = N 2 x r

EJEMPLO 1 8 cm Dos ruedas una de 8 cm. otra de 2 cm. de radio estan conectadas por una cadena, si la primera tiene una velocidad angular de 4 Rad/seg. Calcular: a. La velocidad angular de la rueda pequeña. b. Las frecuencias de las dos ruedas c. Cuantas R. P. M da cada rueda. 2 cm DATOS R= 8 cm r= 2 cm W 1= 4 rad/seg W 2= ? W 2 =4 r/s x 8 cm 2 cm W 2 = W 1 x R r N 1 = W 1 2π N 1 = 4 r/s 6, 2832 r N 1 = 0, 636 Herz La rueda. N 2 grande da revoluciones. = W 2 N 2 = 38, 16 16 r/s N 2 = 2, 546 Herz 2π 6, 2832 r ? La rueda pequeña da 152, 76 revoluciones. N 1= ? N 2= W 2 = 16 rad seg r. p. m 1= ? r. p. m 1 = 0, 636 x 60 = 38, 16 r. p. m 2= ? r. p. m 2 = 2, 546 x 60 = 152, 76

EJEMPLO 2 40 cm 20 cm DATOS R= 40 cm r= 20 cm V 1= 60 cm/s Una bicicleta tiene una rueda de 20 cm de radio atras y otra de 40 cm. delante. Si el ciclista lleva una velocidad de 60 cm/s. Calcular: a. Las velocidades angulares de cada una. b. Las frecuencias de las dos ruedas c. Cuantas R. P. M da cada rueda. W 1 = V 1 r W 1 = 60 cm/s 20 cm W 1 = 3 rad seg W 2 = V 2 r W 1 = 60 cm/s 40 cm W 1 = 1, 5 rad seg La 60 cm/s rueda grande da 14, 28 revoluciones, W 1= ? N 1 = 3 r/s N 1 = W 1 N 1 = 0, 477 Herz mientras que la rueda pequeña da 28, 62 6, 2832 r 2π W 2= ? ? N 1= revoluciones N 2 = W 2 N 2 = 1, 5 r/s N 2 = 0, 238 Herz V 2= N 2= ? 2π 6, 2832 r r. p. m 1= ? r. p. m 1 = 0, 4776 x 60 = 28, 62 r. p. m 2= ? r. p. m 2 = 0, 238 x 60 = 14, 28

EJERCICIOS 1 Dos poleas de 10 cm y 30 cm de radio respectivamente, se hallan conectadas por una correa, si la polea de radio menor gira a la velocidad de 12 ciclos/seg. Cuantas vueltas por minuto dará la segunda rueda. 5. Dos poleas de 5 y 12 cms de radio respectivamente, están conectadas por una cadena, la velocidad angular de la menor es de 0, 8 radianes por segundo, cual es la velocidad angular de la rueda mayor. 2. Dos poleas de 15 cm y 20 cm de radio respectivamente giran conectadas por una banda. Si la frecuencia de la polea de menor radio es de 28 Hertz. Cual será la frecuencia de la polea de radio mayor. 6. El circulo menor inscrito tiene un radio de 2 cms. el circulo mayor circunscrito tiene 6 cms. de radio, si su periodo es de 0, 5 seg. Calcular. Las velocidades lineales y angulares de cada uno de ellos. 3. Un disco gira a 78 rpm y tiene un radio de 4 centímetros. Calcular: su frecuencia, periodo, velocidad angular, velocidad lineal y aceleración centrípeta. 4. Dos ruedas, una de Radio 18 cms y otra de radio 7 cms están conectadas por una cadena, si la polea de radio menor tiene un periodo de 0, 5 segundos, cual es el periodo y frecuencia de la polea de radio mayor. 7. Una bicicleta tiene una rueda de 35 cm de radio atrás y otra de 45 cm. delante. Si el ciclista lleva una velocidad de 50 cm/s. Calcular: a. Las velocidades angulares de cada una. b. Las frecuencias de las dos ruedas c. Cuantas R. P. M da cada rueda.

AUTOEVALUACION 1. Que es radian? 2. Que es velocidad angular? 3. Cuales son las unidades de la velocidad angular? 4. Que es velocidad lineal o tangencial? 5. Cuales son las unidades de la velocidad lineal o tangencial? 6. Que es frecuencia? 7. Cuales son las unidades de la frecuencia? 8. Que es periodo? 9. Cuales son las expresiones que sirven para obtener el periodo? 10. Que se hace para pasar directamente la frecuencia a rpm? 11. Que es posición angular? 12. Que es distancia angular? 13. En que consiste la trasmisión de movimiento circular? 14. Que se hace para pasar directamente la r. p. m a frecuencia?