SISTEMI DEQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Argomenti della

SISTEMI D’EQUAZIONI ED EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Argomenti della lezione è Equazioni e sistemi d’equazioni differenziali ordinarie è Sistemi d’equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui

EQUAZIONI E SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

Mostreremo, per iniziare, che un’equazione differenziale d’ordine n è equivalente a un sistema d’equazioni differenziali del prim’ordine di n equazioni in n funzioni incognite. Sarà così plausibile la nostra affermazione che ogni sistema d’equazioni differenziali d’ordine qualsiasi è equivalente a un sistema d’equazioni del prim’ordine in un numero opportuno di funzioni incognite.

Un sistema d’equazioni differenziali di due equazioni in due funzioni incognite d’ordine 3 è per esempio il seguente (di forma normale: nel seguito per semplicità ci riferiremo a sistemi di forma normale. ) ìy ¢¢¢ = f (x, y, z, y ¢, z ¢, y ¢¢) í ïî z ¢¢ = g(x, y, z, y ¢, z ¢, y ¢¢)

Un’equazione d’ordine n, si scrive y (n) f (x, y, y , , y K = ¢ (n - 1) ) ed è in generale accompagnata da opportune condizioni iniziali o al contorno Mostriamo come si possa trasformare l’equazione data in un sistema equivalente di n equazioni del prim’ordine in n funzioni incognite

Facciamo le seguenti posizioni ì y 1 = y ï 2 = ï íy 3 = ï K ïîy n = y¢ K y ¢¢ K K ( n -1) y

Allora l’equazione d’ordine n equivale al sistema del prim’ordine ì y 1¢ = y 2 ï y y ï 2¢ = 3 ï y 4 íy 3¢ = ï K K ï ïîy n¢ = f (x, y 1 , y 2 , K , y n )

In generale, un sistema di n equazioni, ciascuna d’ordine m, è equivalente a un sistema di n. m equazioni del prim’ordine. Useremo la notazione Y per indicare un vettore colonna avente n componenti y 1, … , yn. In questo modo un sistema di n equazioni del prim’ordine in n funzioni incognite, in forma normale, si scrive

(1) Y ¢ = F(x, Y ) in modo simile alla notazione di una sola equazione differenziale, dove

In particolare, se si tratta di un sistema d’equazioni lineari Y ¢ = A(x) × Y + B(x) dove

e æ a 11(x) a 12 (x) K ç a 21(x) a 22 (x) K ç A(x) = ç K K K ç ç an (x) a (x) K n 2 è 1 a 1 n(x)ö ÷ a 2 n(x)÷ K ÷ ÷ ann (x)÷ø

Qui i coefficienti bi(x) e aik(x) sono funzioni continue definite su un intervallo I (che può coincidere con tutto R) Il sistema (1) è, in generale, accompagnato da opportune condizioni iniziali; si vuole risolvere il Problema di Cauchy

(1) Y ¢ = F (x, Y ) con le condizioni iniziali (2) Y(x 0)=Y 0 Notiamo che la soluzione del pd. C (1) + (2) si presta all’ interpretazione geometrica che già abbiamo messo in evidenza nella lezione introduttiva

Se la funzione F(x, Y) è continua, allora esiste una soluzione del pd. C. Se inoltre sono continue le derivate parziali delle componenti fi rispetto alle yk allora la soluzione locale è unica.

Si noti che se non sono soddisfatte le condizioni sulla continuità delle derivate parziali, la soluzione può non essere unica Esempio y’ = |y|1/2 y(x 0) = y 0 Dy |y|1/2 = 1/2 |y|-(1/2) sign (y)

Se y 0 è ≠ 0, allora la derivata parziale è continua in un intorno di y 0. Dunque la soluzione locale è unica. Ma se y 0 = 0, non c’è continuità in alcun intorno di 0. In questo caso l’unicità può mancare.

Se y 0 > 0, allora la soluzione è data da æ x - x 0 + 2 y 0 ö y(x) = ç ÷ 2 è ø per x > x 0 2

Se y 0 < 0, allora la soluzione è data da æ x - x 0 - 2 -y 0 ö y(x) = - ç ÷ 2 è ø per x < x 0 2

Ma se y 0 = 0, allora c’è una soluzione identicamente nulla, accanto alla soluzione æ x - x 0 ö y(x) = ç ÷ è 2 ø per x > x 0 2

e alla soluzione æ x - x 0 ö y(x) = -ç ÷ è 2 ø per x < x 0 2

y x 0 Il pennello di Peano x

SISTEMI D’EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE LINEARI A COEFFICIENTI CONTINUI

Ci occuperemo ora della soluzione del pd. C relativo al sistema (3) Y ¢ = A(x) × Y + B(x) Con le condizioni iniziali (4) 0 0 Y(x )=Y

Se le funzioni bi(x) e aik(x) sono continue e definite su un intervallo I (che può essere tutto R) allora si può dimostrare che la soluzione esiste, è definita su tutto I ed è unica.

Accanto al sistema (3), detto completo, considereremo il sistema omogeneo (5) Y ¢ = A(x) × Y nel quale B(x) 0. Le soluzioni di (3) o di (5) sono funzioni definite su I a valori in Rn, necessariamente continue con derivata prima continua. Cioè

sono funzioni di classe C 1(I, Rn). converrà considerare l’operatore differenziale associato a (3) o a (5) (6) L(Y)= Y ¢ - A(x) × Y Che a ogni funzione Y(x): I Rn associa Y’(x) - A(x) ×Y; questa è una funzione continua su I a valori in Rn. Cioè L è un’applicazione lineare da C 1(I, Rn) a C 0(I, Rn).

Le soluzioni di (5) danno dunque il nucleo di L: ker(L). Teorema ker(L) C 1(I, Rn) è un sottospazio di di dimensione n di C 1(I, Rn). Ossia ker(L) è isomorfo a Rn.

Si fissi un punto x 0 in I e sia Y(x) una soluzione di (5). Allora Y(x 0) è un vettore di Rn. Se Y 1(x) ≠ Y 2(x) allora Y 1(x 0) ≠ Y 2(x 0) per l’unicità della soluzione del pd. C (5) + (4). Se poi Y 0 è un arbitrario vettore di Rn esiste una soluzione di (5) + (4), per l’esistenza della soluzione del pd. C corrispondente. L’applicazione N : ker(L) ® R n

definita da 0) ( ( ) NY x =Y x è un isomorfismo tra ker(L) e Rn. Infatti abbiamo verificato che è biiettiva; inoltre è lineare. Ma spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione: dim ker(L) = n. Esistono dunque n funzioni linearmente indipendenti soluzioni di L(Y) = 0: Y 1(x), Y 2(x), . . , Yn(x).

Ogni soluzione di (5) è perciò una combinazione lineare delle precedenti funzioni Y 1(x), Y 2(x), . . , Yn(x). Si noti che, date n soluzioni di (5), se esse, calcolate in un punto x 0, danno vettori lin. indipendenti di Rn, allora sono l. i. in ogni altro punto di I. Ciò è conseguenza dell’unicità della soluzione del pd. C.

Mostriamo ora che tutte le soluzioni del sistema completo (3) sono del tipo Y(x) = Z(x) + Y(x) dove Z(x) è una soluzione del sistema omogeneo e Y(x) è una Soluzione particolare di (3).

Infatti L(Y ) = L(Z) + L(Y ) = 0 + B(x) = B(x) Se poi abbiamo due soluzioni del sistema completo Y(x) e Y(x) la loro differenza soddisfa L(Y - Y ) = L(Y ) - L(Y ) = B(x) - B(x) = 0 cioè Y(x) - Y(x) = Z(x) �è una soluzione del sistema omogeneo.

Se Y 1(x), Y 2(x), . . , Yn(x) sono soluzioni l. i. del sistema omogeneo, si dice che formano un insieme (o sistema) fondamentale di soluzioni del sistema (5). La matrice U(x) le cui colonne sono date da Y 1(x), Y 2(x), . . , Yn(x) l. i. , si dice una matrice fondamentale Si noti che se det U(x 0) ≠ 0 allora det U(x) ≠ 0 per ogni x in I.

Evidentemente per la matrice fondamentale U(x) vale l’equazione U’(x) - A(x) ×U(x) = 0 La soluzione generale del sistema omogeneo L(Y) = 0, è una combinazione lineare dell’insieme fondamentale:

Y(x) = c 1 Y 1(x)+c 2 Y 2(x)+. . +cn. Yn(x) = =U(x) ×(c 1, c 2, . . , cn)T Il metodo della variazione delle costanti suggerisce di cercare per (3) una soluzione della forma Y(x) = U(x) ×Z(x)

Ossia U(x) × Z’(x) = B(x) E finalmente Z’(x) = U(x)-1 × B(x)

Integrando Z(x) = ò U (t) × B(t)dt -1 E in conclusione Y(x) = U(x) ò U (t) × B(t)dt -1

Il metodo per trovare un integrale particolare del sistema completo sarà utile anche nel caso di una singola equazione lineare completa d’ordine n.