Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed

Filtri Multirate e Banchi di Filtri Studio ed applicazioni

Banchi di filtri n n Sono sistemi che scompongono il segnale in varie “bande di frequenza” Vengono Impiegati in molteplici settori ¨ Analisi dei segnali ¨ Compressione e Codifica di segnali ed immagini ¨ Crittografia ¨ Sistemi di antenna ¨ Speech processing ¨ Ecc.

Filtri Multirate n Sono sistemi che operano a diverse frequenze di campionamento ¨ Possono essere impiegati per modificare T (Es. Scalaggi di immagini, conversione di dati digitali tra diversi supporti CD, MC, … ) ¨ Si possono impiegate per realizzare sistemi digitali piu’ semplici da un punto di vista realizzativo ¨ Sorgono nuove problematiche n n Aliasing Imaging

Blocchi Fondamentali n Decimatore M n Interpolatore L

Blocchi Fondamentali (esempio) n Decimatore [ … 1 2 3 4 5 6 7 …] n 2 [… 1 3 5 7…] Interpolatore [… 1 2 3 4 5 6 7… ] 2 [ … 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7… ]

Considerazioni n Il decimatore e l’interpolatore ¨ Sono sistemi lineari ¨ NON SONO tempo invarianti Dim:

Considerazioni n Il decimatore e l’interpolatore ¨ Sono sistemi lineari ¨ NON SONO tempo invarianti ¨ Pertanto perdono di significato alcuni strumenti quali: n n risposta impulsiva risposta in frequenza Es: [1 2 3 4 5 6 7] [1 3 5 7] 2 [0 1 2 3 4 5 6 7] [0 2 4 6]

Effetti sullo spettro (Interpolatore) n Interpolatore: In particolare:

Effetti sullo spettro n Interpolatore: 2 Effetto Imaging E

Effetti sullo spettro (Decimatore) n Decimatore In particolare:

Effetti sullo spettro (Decimatore) n Decimatore 2 Possibile effetto Aliasing !!!

Interconnessione M n M Il segnale originale si puo’ recuperare Con un opportuno filtro anti-imaging ¨ Purche’ non vi sia stato aliasing ¨ n n Il segnale originale deve avere banda limitata entro NON e’ necessario che la banda sia centrata attorno allo 0 !!!

Interconnessione M n In generale i due blocchi non sono intercambiabili ¨ n L Es: decimare ed interpolare non e’ lo stesso che interpolare e decimare I blocchi sono invece intercambiabili se M ed L sono “primi fra loro”

Interconnessione M L L M

Interconnessione Pertanto i risultati sono uguali se e solo se gli insiemi dei valori realizzati da: coincidono !!! Perche’ Wk. L copra tutti i punti sul cerchio unitario coperti da Wk, L ed M devono essere primi fra loro

Filtri n Per modificare il periodo di campionamento ¨ Il decimatore è preceduto da un filtro anti-aliasing LP filter ¨ L’interpolatore M è seguito da un filtro anti-imaging L LP filter

Variazione di un fattore razionale L n n n LP filter M Il filtro serve da anti-imaging ed anti-aliasing La freq. di taglio va dimensionata sul max(L, M) Problema: ¨ Il filtro lavora ad alta frequenza ¨ Si possono usare strutture polifase (vedi dopo!)

Realizzazioni in più stadi n Se le specifiche sono troppo stringenti si può operare in due fasi: Esempio: decimatore per 100 ed un filtro anti-aliasing con specifiche: wp=0. 01 p (nessun aliasing) ws=0. 008 p (si salvi l’ 80% della banda utile) ¨ Caso 1: ¨ LP filter LP 100 wp=0. 01 p ws=0. 008 p Le specifiche del filtro sono molto stringenti p

Realizzazioni in più stadi ¨ Caso 2: LP 1 50 2 LP 2 ws=0. 008 p w 2=0. 02 p LP 1 wp=0. 032 p p w 1=0. 01 p LP 2 wp=0. 5 p ws=0. 4 p p Si accetta aliasing in LP 1 che poi verrà eliminato da LP 2 Il primo decimatore (50 ) allarga lo spettro rilassando le specifiche di LP 2 Entrambi I filtri presentano specifiche meno stringenti

Equivalenze fondamentali (1) x(n) M G(z. M) w(n) G(z) M y(n)

Equivalenze fondamentali (2) x(n) G(z) L w(n) L G(z. L) y(n)

Banchi di Filtri (analisi e sintesi) x(n) H 0(z) H 1(z) x 0(n) y 0(n) x 1(n) y 1(n) … F 1(z) … x. M-1(n) HM-1(z) y. M-1(n) banco di analisi H 0 + F 0(z) H 1 FM-1(z) banco di sintesi H 2 HM-1 H 0 … 0 2 p y(n)

Banchi di Filtri (analisi e sintesi) n Banco di analisi ¨ suddivide n il segnale in M sotto bande Banco di sintesi ¨ elabora M segnali (tipicamente da un banco di analisi) ¨ ricombina i risultati in un segnale finale y(n) n n I filtri possono essere progettati secondo diverse tipologie (Nyquist, complementari, DFT, …) Questo schema trova impiego in molti campi n n Analisi dei segnali Codifica / compressione, multiplexing, . . Crittografia …

Uniform DFT filter banks n Tutti i filtri derivano da un “prototipo” n Ovvero n Ossia sono versioni traslate dello stesso spettro H 0 H 1 H 2 HM-1 H 0 … 0 2 p

Applicazioni n Transmultiplexers ¨ Multiplazione n di segnali in tempo o in frequenza Segnali audio digitali HI-FI ¨ Per ottenere una banda utile di 22 k si deve campionare almeno a 44 k ¨ Questo richiede un filtro analogico anti-aliasing con caratteristiche stringenti (elittici a fase non lineare) ¨ Campionando ad una frequenza superiore (88 k) si puo’ usare un filtro analogico meno stringente, si aggiunga quindi un filtro digitale ed un decimatore 88 k. Hz sampler A/D Converter H(z) 2

Applicazioni n Subband Coding n n n ¨ Spesso i segnali presentano l’energia concentrata in certe sottobande (Es. speech, immagini, …) Se l’energia è limitata ad una sotto-banda si può usare ad esempio un filtro ed un decimatore Se l’energia occupa tutta la banda utile ma in modo diverso si può usare un banco di analisi, una opportuna codifica ed un banco di sintesi. Note: n n Conoscenza a priori della tipologia di segnali Fondamentale l’eliminazione di Aliasing-Imaging H 0(z) 2 2 F 0(z) H 1(z) 2 2 F 1(z) +

Applicazioni n Crittografia di un segnale vocale su linea telefonica analogica ¨ suddivisione di un segnale in n sottobande ¨ ogni sottobanda viene quindi suddivisa in m segmenti temporali ¨ permutazione dei segnali ( nm! ) ¨ ricombinazione

Decomposizione Polifase n Si riuniscano i coefficienti h(n) di un filtro in piu’ gruppi (Ad es. pari e dispari) E 0 : filtro composto dai soli coeff. pari E 1 : filtro composto dai soli coeff. dispari Es: [… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 …]= [… 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 7 0 5 0 …]+ [… 0 2 0 4 0 6 0 8 0 6 0 4 …]

Decomposizione Polifase n Filtri IIR ¨ analogamente Es: si può operare anche su filtri IIR

Decomposizione Polifase n Più genericamente (I Tipo): n Essendo e 0(n) la versione decimata di h(n) vale la seguente proprietà

Decomposizione Polifase n Schema (I Tipo): E 0(z. M) z-1 E 1(z. M) + EM-1(z. M) + z-1

Decomposizione Polifase n Esiste anche una versione alternativa (II tipo) che è solo un modo diverso per numerare gli insiemi dei coefficienti del filtro h(n) (si spostano i ritardi a valle) n Nota: la decomposizione polifase si può applicare a qualunque sequenza.

Decomposizione Polifase n Schema (II Tipo): R 0(z. M) z-1 R 1(z. M) + z-1 RM-1(z. M) Notare i ritardi messi a valle dei filtri +

Sistemi polifase per modificare T n n Finora nei decimatori e negli interpolatori il fitro operava nella parte ad alta frequenza Inoltre il filtro compie molte operazioni inutili ¨ campioni nulli all’ingresso dell’interpolatore ¨ campioni eliminati in uscita dal decimatore x(n) z-1 h 0 z-1 h 1 + z-1 h 2 + hn-1 + y(n) 2 y(2 n) Il sistema deve eseguire N Moltiplicazioni ed N-1 somme ogni qualvolta esce un capione pari e potrebbe venir spento durante i campioni dispari

Sistemi polifase per modificare T n Implementazione polifase del decimatore: x(n) E 0(z 2) z-1 E 1 x(n) (z 2) 2 + y(n) y(2 n) 2 E 0(z) z-1 2 E 1(z) + y(2 n) • I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata • La prima parte può essere vista come un de-multiplexer

Sistemi polifase per modificare T n Implementazione polifase dell’interpolatore: x(n) 2 R 0(z 2) z-1 R 1(z 2) x(n) R 0(z) + 2 z-1 R 1(z) 2 + • I filtri ricevono i campioni in ingresso con una cadenza dimezzata • La seconda parte può essere vista come un multiplexer

Sistemi polifase per modificare T n Implementazione polifase dell’interpolatore per un numero razionale: L n LP filter M Lo schema canonico è doppiamente inefficiente ¨ il filtro opera nella parte ad alta frequenza, ovvero: n n L’ingresso del filtro contiene L-1 zeri All’uscita viene salvato solo un risultato ogni M

Sistemi polifase per modificare T n Esempio L=2, M=3; x(n) 2 I Tipo 3 E 0(z) 3 E 1(z) + 3 E 2(z) + z-1 x(n) R 0(z) y(n) II Tipo 2 z-1 R 1(z) 2 + 3 y(n)

Sistemi polifase per modificare T n Notando che: x(n) R 0(z) 2 z-1 x(n) R 1(z) 2 R 0(z) 2 + 3 y(n) z 2 z-3 R 1(z) 2 +

Sistemi polifase per modificare T x(n) R 0(z) 2 z 2 z-3 R 1(z) 2 y(n) 3 + Per le “equivalenze fondamentali”: x(n) z-1 R 0(z) 2 3 z-1 R 1(z) 2 3 + y(n)

Sistemi polifase per modificare T x(n) z-1 R 0(z) 2 3 z-1 R 1(z) 2 3 3 2 + y(n) Essendo M ed L primi tra loro: x(n) z-1 R 0(z) z-1 R 1(z) 3 2 + y(n)

Sistemi polifase per modificare T x(n) z-1 3 R 00(z) 3 R 01(z) + 3 R 02(z) + 3 R 10(z) 3 R 11(z) + 3 R 12(z) + z-1 2 z-1 z-1 2 + y(n)

Sistemi polifase per modificare T n Un esempio pratico: ¨ Siano [a b c d e f e d c b a ] i coefficienti del filtro LP: n E 0=[a d e b] n E 1=[b e d a] n E 2=[c f c] n R 0=[b d f d b] n R 1=[a c e e c a] n R 00=[b d] n R 01=[d b] n R 02=[f] n R 10=[a e] n R 11=[c c] n R 12=[e a]