La curva COMP Equazioni della domanda Equazioni del

La curva COMP € Equazioni della domanda Equazioni del ricavo marginale p 1*(qi) = 10 – qi RM 1(qi) = 10 – 2 qi q*i, 1= 4, 5 p 1*(q*i, 1)= 10 – q*i, 1= 5, 5 p 2*(qi) = 7 – qi RM 2(qi) = 7 – 2 qi q*i, 2= 3 p 2*(q*i, 2)= 7 – q*i, 2= 4 p 3*(qi) = 5, 5 – qi RM 3(qi) = 5, 5 – 2 qi q*i, 3= 2, 25 p 3*(q*i, 3)= 5, 5 – q*i, 2= 3, 25 pn*(qi) = (19 + n)/(n + 1) – qi RMn(qi) = (19 + n)/(n + 1) – 2 qi q*i, n= 9/(n + 1) pn*(q*i, n)= (10 + n)/(n + 1) Equazione del costo marginale Soluzioni CM(qi) = 1 Mark-up di triopolio Curva COMP (esempio) Numero di imprese (n) Mark-up di duopolio Mark-up (µ) 1 2 3 … n 4, 5 3 2, 25 … 9/(n + 1) Equazione µ(n) = 9/(n +1) Mark-up di monopolio p 1 * p 2 * p 3 * RM µ 2 D DR 2 µ 3 µ 4 Curva COMP DR 3 RM 2 CM RM 3 0 µ 1 q 3 * q 2 * q 1 * Quantità 1 2 3 4 Numero di imprese

La curva COMP: Derivazione analitica (1) I dati rilevanti del nostro esempio sono i seguenti: Ø funzione di domanda (inversa): p(Q) = 10 – Q, Ø funzione di costo totale: CT(Q) = 4 + q, dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta dalla singola impresa. Per determinare quale sia la quantità di equilibrio per la singola impresa quando vi sono n imprese e quali siano il prezzo e il mark-up corrispondenti, definiamo il problema di massimizzazione dell’impresa nell’aspettativa che tutte le altre producano la stessa quantità :

La curva COMP: Derivazione analitica (2) PRIMO PROCEDIMENTO Sostituiamo a nella FOC la formula per qi.

La curva COMP: Derivazione analitica (3) SECONDO PROCEDIMENTO Sommiamo le FOCs di tutte le imprese qi e ricaviamo, quindi, qi.

La curva COMP: Derivazione analitica (4) Calcolata la quantità di equilibrio della singola impresa in funzione del numero complessivo di imprese, , è semplice ricavare le altre grandezze di interesse, come mostriamo di seguito.

La curva COMP: Derivazione analitica (1 bis) I dati rilevanti del nostro esempio sono i seguenti: Ø funzione di domanda (inversa): p(Q) = a – Q, Ø funzione di costo totale: CT(Q) = b + cq, dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta dalla singola impresa. Per determinare quale sia la quantità di equilibrio per la singola impresa quando vi sono n imprese e quali siano il prezzo e il mark-up corrispondenti, definiamo il problema di massimizzazione dell’impresa nell’aspettativa che tutte le altre producano la stessa quantità :

La curva COMP: Derivazione analitica (2 bis) PRIMO PROCEDIMENTO Sostituiamo a nella FOC la formula per qi.

La curva COMP: Derivazione analitica (3 bis) SECONDO PROCEDIMENTO Sommiamo le FOCs di tutte le imprese qi e ricaviamo, quindi, qi.

La curva COMP: Derivazione analitica (4 bis) Calcolata la quantità di equilibrio della singola impresa in funzione del numero complessivo di imprese, , è semplice ricavare le altre grandezze di interesse, come mostriamo di seguito.

La curva BE (1) Equazioni Domanda (inversa) Domanda (diretta) Costo totale Costo medio p(q) = a – q q(p) = a – p CT(q) = b + cq CMe(q) = b/q + c Costo medio per impresa al prezzo p Numero massimo di imprese almeno in pareggio al prezzo p CMe(q(p), n) = nb/(a – p) + c n = ((a + c)p – ac – p 2)/b = (a – p)(p – c)/b Mark-up Curva BE (esempio) Parametri a b c Valori 10 4 1 Prezzo, p Mark-up , µ p - c Imprese, n 1 0 0 3 2 1 2 2 3 1 4 3 4 5 Curva BE 4 0 2 3 4 5 Numero di imprese

La curva BE (1 bis): Derivazione analitica I dati rilevanti del nostro esempio sono, come prima, i seguenti: Ø funzione di domanda (inversa): p(Q) = a – Q, Ø funzione di costo totale: CT(Q) = b + cq, dove Q è la quantità prodotta complessivamente e q la quantità prodotta dalla singola impresa. Per determinare quale sia il numero n di imprese che sono almeno in pareggio, per un dato prezzo di equilibrio (e, dunque, per un dato mark-up), calcoliamo prima la curva di domanda diretta e, quindi, il costo medio per impresa:

La curva BE (1 ter): Derivazione analitica A questo punto è sufficiente imporre la condizione di uguaglianza tra il prezzo p e il costo medio per impresa quando il prezzo sia p – condizione che garantisce a ciascuna impresa d’essere in pareggio, cioè di eguagliare ricavi e costi:

La curva BE (2) NOTA: CMe(Q, n) CMe(Q/n) € Mark-up Curva BE € CMe(Q 0, n'') CMe(Q 0, n 0) p 0 µ 0 p 0 CMe(Q 0, n') CMe(Q) CM DH 0 Q 0 Q 0 n'' n 0 n' Quantità venduta 0 dalla singola impresa Q 0 Vendite totali 0 n' n 0 n'' Numero di imprese

La curva BE (3) NOTA: CMe(Q, n) CMe(Q/n) CMe(Q 0, n) € p 0 Curva BE Mark-up € CMe(Q 0, n'') CMe(Q 0, n 0) µ 0 p 0 CMe(Q 0, n') CM DH 0 n' n 0 n'' Numero di imprese 0 Q 0 Vendite totali 0 n' n 0 n'' Numero di imprese

Il diagramma BE–COMP in economia chiusa Mark-up Il diagramma BE-COMP del nostro esempio Curva BE Mark-up µ' Curva BE 4 Curva COMP 3 2 Curva COM P 1 0 n' Numero di imprese 0 2 3 4 Numero di imprese