I SISTEMI LINEARI I SISTEMI LINEARI Un sistema

I SISTEMI LINEARI

I SISTEMI LINEARI Un sistema lineare prevede la ricerca delle soluzioni comuni a due o più equazioni di primo grado Simbolo di sistema Risolvere un sistema significa determinare l’insieme delle sue soluzioni. Si dice che un sistema è: Ø IMPOSSIBILE se non ha soluzioni Ø; Ø DETERMINATO se ha un numero finito di soluzioni; Ø INDETERMINATO se ha un numero infinito di soluzioni

Metodi algebrici per risolvere un sistema lineare Metodo di sostituzione Metodo del confronto Metodo di riduzione o di eliminazione Metodo di Cramer

METODO DI SOSTITUZIONE • Il Metodo di Sostituzione si articola nelle fasi seguenti: • 1) isolare in una delle due equazioni la x o la y; • 2) sostituire l’espressione ottenuta nell’altra equazione; • 3) risolvere l’equazione in una incognita così ottenuta; • 4) sostituire nell’altra equazione il valore così trovato e calcolare quello dell’incognita rimanente.

Esempio del metodo di sostituzione

METODO DEL CONFRONTO • Il Metodo del Confronto si articola nelle fasi seguenti: • 1. isolare in entrambe le equazioni rispetto la stessa incognita; • 2. eguagliare le due espressioni ottenute risolvendo; • 3. sostituire il valore così trovato in una qualunque delle equazioni trovate al punto 1), calcolando così il valore dell’incognita rimanente.

Esempio del metodo del confronto

METODO DI RIDUZIONE O ELIMINAZIONE Consiste nell’addizionare o sottrarre membro a membro le equazioni del sistema. Ø Se i coefficienti dell’incognita da eliminare sono uguali si sottraggono membro a membro le due equazioni; Ø Se tali coefficienti sono opposti si sommano membro a membro le due equazioni.

Secondo esempio del metodo di eliminazione Se i coefficienti dell’incognita non sono né uguali né opposti si moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti da eliminare divengano uguali o opposti.

METODO DI CRAMER Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, Δ, contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo, Δx, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per Δy e y. In pratica

METODO DI CRAMER • Questi determinanti si calcolano in questo modo: Quindi Adesso abbiamo le soluzioni:

Esempio del metodo di Cramer 1. Ridurre in forma tipica; 2. Creare una Matrice; 3. Trovare il determinante del sistema e i determinanti dell’incognite; 4. Il valore di ciascuna incognita è uguale a una frazione avente al numeratore il determinante di quell’incognita e al denominatore il determinante del sistema.