LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Esercitazioni Dott ssa

LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Cosa è un’equazione di secondo grado? Un’equazione di secondo grado è un’equazione in cui l’incognita (usualmente indicata con la lettera x) compare con esponente al massimo pari a 2. Ad esempio sono equazioni di secondo grado: x 2 -3 x=4 4 x 2 -1=0 3 x 2 -2 x+4=0 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Cosa significa risolvere un’equazione? Significa trovare gli eventuali valori numerici che assegnati all’incognita rendono l’equazione un’uguaglianza sempre vera. Questi valori vengono dette soluzioni o radici dell’equazione. Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Quante sono le soluzioni di un’equazione di secondo grado? Un’equazione di secondo grado può avere: 1) due soluzioni reali distinte determinata 2) due soluzioni reali coincidenti 3) nessuna soluzione impossibile 4) infinite soluzioni indeterminata Nei casi 1) e 2) l’equazione si dice determinata, mentre nel caso 3) si dice impossibile e nel caso 4) si dice indeterminata Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Cosa si intende per forma normale dell’equazione di secondo grado? Data un’equazione di secondo grado, essa può essere sempre ricondotta, effettuando opportuni passaggi algebrici, alla forma: ax 2+bx+c=0 questa è detta “forma normale”. Ad esempio nell’ equazione 4 x 2=+5 x-12, trasportando tutti i termini al primo membro (ricordandosi di cambiarne il segno) otteniamo l’equazione in forma normale: 4 x 2 -5 x+12=0 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Classificazione delle equazioni di secondo grado In base alla loro forma le equazioni di secondo grado vengono così classificate: equazioni pure: ax 2+c=0 equazioni spurie: ax 2+bx=0 equazioni complete: ax 2+bx+c=0 Le equazioni pure e spurie sono dette anche incomplete Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Come si risolve un’equazione pura? Considera l’equazione pura: ax 2+c=0 isola il termine con x 2: ax 2= -c dividi per a: x 2= -c/a a questo punto si possono verificare due casi: Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

10 caso: il termine –c/a è positivo: si può allora estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni distinte (una positiva e l’altra negativa) x 1, 2= ± -c/a 20 caso: il termine –c/a è negativo: in questo caso non si può estrarre la radice quadrata e l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile). Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Ad esempio considera l’equazione: 4 x 2 -16=0 isola il termine x 2: 4 x 2 = 16 dividi tutto per 4 e ottieni: x 2 = 4 e quindi estrai la radice quadrata di +4 (ricordati che ci sono due soluzioni di segno opposto) x 1, 2= ± 2 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Considera ora l’equazione pura seguente: 2 x 2+50=0 isola il termine x 2 e ottieni: 2 x 2 = -50 dividi tutto per 2: x 2 = -25 osserva ora che al secondo membro dell’equazione hai un numero negativo, per cui non è possibile estrarre la radice quadrata e quindi l’equazione è priva di soluzioni reali, cioè impossibile. Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Come si risolve un’equazione spuria? Consideriamo l’equazione spuria ax 2+bx=0 raccogli a fattor comune la x: x(ax+b)=0 applica la legge di annullamento del prodotto (il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo) e otteni che deve essere: 10 fattore uguale a zero x=0 20 fattore uguale a zero: ax+b=0, da cui x= -b/a Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

quindi un’equazione spuria ha sempre due soluzioni distinte, di cui una vale sempre zero. Esempio se devi risolvere l’equazione spuria: 3 x 2+5 x=0 devi raccogliere a fattor comune la x: x(3 x+5)=0 e così ottieni le due soluzioni: x 1=0 e x 2= -5/3 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Come si risolve un’equazione completa? Per risolvere un’equazione completa ax 2+bx+c=0 devi applicare la formula risolutiva seguente: Il termine che compare sotto radice viene chiamato discriminante e indicato usualmente con la lettera greca (delta). Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Quale è il ruolo del discriminante? Il discriminante gioca un ruolo molto importante ai fini della determinazioni delle soluzioni dell’equazione. A seconda del suo segno si possono verificare tre casi: 1 o caso: >0 in questo caso sotto il simbolo di radice si ha un numero positivo, per cui è possibile estrarre la radice quadrata e si ottengono due soluzioni reali distinte x 1, 2 = (-b± b 2 -4 ac)/2 a Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

2 o caso: =0 se il discriminante è nullo, la radice quadrata è pure nulla e quindi si ottengono due soluzioni reali coincidenti: x 1 = x 2 = -b/2 a 3 o caso: <0 se il discriminante è negativo, sotto radice abbiamo un numero negativo e quindi non è possibile estrarre la radice quadrata, per cui l’equazione non ha soluzioni reali (è impossibile) Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

Esempi 1) Considera l’equazione completa x 2+3 x+2=0 risulta: a=1 b=3 c=2 calcola il discriminante b 2 -4 ac: = 32 -4· 1· 2= 9 -8=1 esso è positivo per cui l’equazione ammette due soluzioni reali distinte: calcola la radice quadrata del discriminante: = 1 ottieni allora le due soluzioni: x 1= (-3+1)/2= -1 e x 2= (-3 -1)/2=-2 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

2) Considera l’equazione completa: x 2 -10 x+25=0 risulta: a=1 b=-10 c=+25 calcola il discriminante: = (-10)2 -4· 1· 25= 100 -100=0 esso è nullo e quindi l’equazione ammette due soluzioni reali coincidenti: x 1=x 2= 10/2=5 Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.

3) Considera l’equazione completa x 2 -7 x+13=0 risulta: a=+1 b=-7 c=+13 calcola il discriminante: = (-7)2 -4· 1· 13= 49 – 52 = -3 <0 il discriminante è negativo e quindi l’equazione non ammette soluzioni reali, cioè è impossibile. Esercitazioni Dott. ssa Badiglio S.