Equazioni differenziali Breve percorso introduttivo alle equazioni differenziali

Equazioni differenziali Breve percorso introduttivo alle equazioni differenziali. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 1

Definizione di equazione differenziale Un'equazione differenziale è un'equazione dove compaiono la funzione incognita y(x) assieme ad alcune sue derivate. L'ordine massimo di derivazione dell‘ incognita y(x) presente nell’equazione differenziale indica l’ordine dell’equazione 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 2

Esempi • 2 y’’+y’=0 eq. diff del secondo ordine , omogenea, lineare • y’ = -2 y/x + x 3 eq. diff primo ordine, lineare, non omogenea • y’ = -2 x/y +x 3 eq. diff primo ordine, non lineare, non omogenea • y 2 –( 1 -x )y’’’= tgx eq. diff. di terzo ordine, non omogenea non lineare. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 3

Risolvere un’ equazione Risolvere o integrare un’equazione differenziale di ordine n significa ricercare tutte le funzioni incognite del tipo y=y(x) tali che: F(x, y(x), y’(x), …, y(n)(x))=0 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 4

ATTENZIONE ! Soluzione generale non vuol dire aver determinato necessariamente l’insieme di TUTTE le soluzioni dell’equazione in questione. Possono infatti esistere delle soluzioni singolari che non si ottengono dalla soluzione generale. Per determinarle si ricorre a strategie risolutive che esulano da questo corso. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 5

Definizioni • Soluzione o integrale: Una funzione y(x) che sia n volte derivabile e che sostituita nell’equazione differenziale la soddisfi identicamente, si dice soluzione o integrale dell’equazione. • Soluzione generale: Si chiama integrale generale di una equazione differenziale, l’insieme di tutte le funzioni della forma( ) y= (x; c) che sono integrali dell’ equazione data. Soluzione particolare: La soluzione che si ottiene sostituendo in ( ) alla costante c un valore numerico ammissibile è detta integrale particolare • • Soluzione singolare: 1. 2. Detto P un punto di frontiera del dominio D di ( ) si possono determinare le seguenti situazioni: y = (x; č) è soluzione passante per P e tale che ogni suo punto sia interno a D; y = (x; ċ) è soluzione passante per P e tale che ogni suo punto è di frontiera. questi sono integrali SINGOLARI. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 6

……e ancora definizioni. • Grado di una equazione: Il grado del polinomio nella variabile y • Forma normale: L’equazione si dice di forma normale se è risolta nella derivata d’ordine massimo : y(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) • Forma implicita : F(x, y, y’’, ………y(n))=0 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 7

PROBLEMA ai valori iniziali o di Cauchy Teorema di Cauchy (di esistenza e unicità della soluzione di un’equazione differenziale del PRIMO ordine in forma normale). Data un’equazione differenziale y’ = f(x, y) e un punto P(x 0, y 0), sotto opportune condizioni di regolarità della funzione f(x, y) (continua con derivata prima continua) esiste una sola funzione y = y(x) soluzione dell’equazione differenziale tale che y 0 = y(x 0). [cioè tale che la curva y = y(x) passa per il punto P(x 0, y 0)] e si scrive : 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 8

Osservazione Nel caso di equazioni differenziali del secondo ordine il problema di Cauchy si trasforma nelle seguente forma: 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 9

Tipologie • • tipo y’= f(x) a variabili separabili : y’ = f(x; y) tipo y’= f(ax+by) lineari del primo ordine A COEFFICIENTI VARIABILI • OMOGENEE • NON OMOGENEE • lineari del secondo ordine A COEFFICIENTI COSTANTI • OMOGENEE • NON OMOGENEE 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 10

… ed ancora ma senza dare metodi risolutivi • Equazioni omogenee della forma y’=f(x; y)/g(x; y) • Equazioni differenziali esatte • Equazioni di Bernoulli • Del tipo x = f(y’) oppure y = f(y’) • Equazioni di Clairaut • Equazioni di D’Alambert-Lagrange 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 11

A proposito di grado …… • Un’equazione differenziale di ordine n si dice lineare se la funzione incognita y e le sue derivate, y ''' , y(IV) , …, y(n-1) , sono funzioni lineari, ovvero se l’equazione differenziale è di primo grado nel complesso della y e delle sue derivate. Fai attenzione agli esempi che seguono: 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 12

ESEMPI: y ''+ x 2 y '+5 y = sin x è del secondo ordine (vi è il termine y”) lineare, essendo y, y', y” funzioni lineari (di primo grado!). y ''+ xy '+ 3 y 2 = cos x è ancora del secondo ordine ma non è lineare in quanto compare il termine y 2 (la y è di secondo grado!). yy'-sin x = 0 è del primo ordine (vi è il termine y’) ma non è lineare in quanto contiene il termine yy’ che, nel complesso, risulta di secondo grado. yy''' = 2 x è del terzo ordine (vi è il termine y ''' ) ma non è lineare in quanto contiene il termine yy’”. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 13

“Omogenea” vs “non omogenea” Si dice TERMINE NOTO, f(x), di una equazione differenziale, il termine che non è moltiplicato o diviso per il fattore y o per una sua derivata successiva y(n). Pertanto: – Se manca il termine noto l’ equazione è OMOGENEA – In caso contrario si dirà NON OMOGENEA 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 14

Ancora qualche esempio • F(x, y, y’) = y’− xy − y 2 = 0 eq. differenziale del primo ordine, di secondo grado, omogenea; • F(x, y, y’) = (y’)2 + ye−y’− x = 0 eq. differenziale del primo ordine, non omogenea, di secondo grado; • F(x, y, y’’) = y’’+ y − x(y’)2 = 0 eq. differenziale del secondo ordine, omogenea, di secondo grado. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 15

Metodi risolutivi: y’ = f(x) La soluzione cercata sarà del tipo y(x)= Ottenuta dai seguenti passaggi : 1. 2. 3. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 16

A variabili separabili y’= f(x; y) La presente equazione presenta la funzione f(x; y) riscrivibile nella forma p(x) q(y) ; Pertanto : 1. 2. 3. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 17

Campo delle direzioni Prima di descrivere qualche tecnica di risoluzione cerchiamo dare un'interpretazione “visiva“ Dell’ equazione Determinare le soluzioni di una equazione differenziale del tipo corrisponde a determinare delle linee del piano (x; y) di cui sia assegnato in ogni punto il coefficiente angolare della tangente, di cui siano cioè assegnate le inclinazioni. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 18

Cioè………… • Consideriamo un punto P=(x 0; y 0) del piano. • Se una soluzione (curva) passa per P, cioè verifica y(x 0)=y 0, allora l'equazione differenziale permette di calcolare la derivata di y(x) in quel punto. • Rimane associato dunque a tale punto la direzione della corrispondente retta tangente a alla curva soluzione y=y(x) in x 0. • Al variare del punto (x 0; y 0) nel piano determiniamo così un campo di direzioni. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 19

Campo delle direzioni una equazione differenziale lineare 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 20

Lineari: y’ = a(x)y + b(x) • a(x) e b(x) sono funzioni dipendenti dalla variabile x ma possono anche essere costanti. • Per la risoluzione si ricorre: 1. Al metodo della “variazione costante”; 2. Oppure applicando direttamente la formula (1): dove A(x) è una primitiva di a(x). 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 21

Metodo delle variazioni costanti • Sia assegnata una equazione differenziale del primo ordine, non omogenea: y’=a(x)y+b(x) • Consideriamo la sua corrispondente equazione omogenea • Troviamo le sue soluzioni: • Integriamo membro a membro: dove A(x) rappresenta una primitiva di a(x). • Da cui : 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 22

• Cerchiamo ora una funzione del tipo che soddisfi l’ equazione data [k(x)”variazione costante”] • Deriviamo membro a membro in funzione della variabile: che dovrà soddisfare l’ equazione data, cioè: da cui: e • Integrando membro a membro: che sostituita nella dà la soluzione cercata (1) 17/05/2018 vedi diapositiva 21. Prof. ssa Sara De Savi 23

È un’equazione omogenea perché numeratore e denominatore hanno stesso grado Esempio: Si risolve riducendola alla forma ponendo si ottiene quindi si ha l’equazione nell’incognita u equivale a Separando le variabili

Integrando si ha

Secondo ordine a coefficienti costanti : ay’’+by’ +cy=p(x) • ay’’+by’ +cy = 0 equazione omogenea • ay’’+by’ +cy = p(x) equazione non omogenea che si risolve discutendo il polinomio p(x) presente nell’ esercizio. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 26

Troviamo le soluzioni della equazione OMOGENEA Se supponiamo che la funzione y=e. Kx sia integrale al variare di k, della equazione omogenea cioè che : y’=ke. Kx e y’’=k 2 e. Kx soddisfino ay’’+by’ +cy=0 Pertanto sostituendo e dividendo per e. Kx otteniamo: ak 2+bk+c=0 che dicesi EQUAZIONE CARATTERISTICA 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 27

Equazione caratteristica Per risolvere l’ equazione caratteristica discutiamo il segno del suo discriminante: >0 =0 <0 k 1 e k 2 soluzioni reali e distinte k 1 e k 2 soluzioni reali e coincidenti k 1 = k 2 k 1 e k 2 soluzioni immaginarie e coniugate. ki= i y=c 1 ek x +c 2 ek x y=ek 1 x(c 1+c 2 x) y=e x(c 1 cos x+c 2 sen x) 1 17/05/2018 2 Prof. ssa Sara De Savi 28

Troviamo ora le soluzioni della equazione non OMOGENEA • ay’’+by’ +cy = p(x) ammetterà come integrale GENERALE la seguente : y = (x; c 1; c 2) +y 0(x) dove : v y = (x; c 1; c 2) integrale generale dell’ equazione OMOGENEA associata; v y = y 0(x) integrale particolare dell’ equazione data. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 29

Tabella di riferimento • Per determinare l’ integrale particolare y = y 0(x) useremo la tabella che segue usando il caso in esame a seconda della tipologia di termine noto p(x): 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 30

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Esempi • y”-6 y’+5 y=0 ordine, omogenea eq. differenziale lineare del secondo 2 -6 +5=0 eq. caratteristica Soluzioni: 1=5 e 2=1 Integrale generale: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 5 x • y”-3 y’+2 y=2 x 3 -2 x 2+1 eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea 2 -3 +2=0 eq. caratteristica Soluzioni: 1=2 e 2=1 Integrale generale dell’ omogenea: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 2 x 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 32

• Resta ora da determinare un integrale particolare y 0 dell’equazione differenziale non omogenea assegnata, al cui secondo membro figura un polinomio di terzo grado in x, cioè: P(x) = 2 x 3 - x 2 +1 • Per determinare y 0 con il metodo della variazione delle costanti ricorriamo alla tabella. • Nel caso proposto cerchiamo un polinomio di terzo grado che risulti soluzione della equazione data cioè tale che P(x)= ax 3+bx 2+cx+d con le sue derivate P”(x), P’(x) e P(x) soddisfano l’equazione data. 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 33

P’=3 ax 2+2 bx+c e P”=6 ax+2 b e sostituendo nella equazione data si ottiene: 6 ax+2 b-3(3 ax 2+2 bx+c)+2(ax 3+bx 2+cx+d) = 2 x 3 -2 x 2+1 da cui applicando il principio d’ identità dei polinomi otteniamo: a=1 b=4 c =9 d=10 Cioè: y 0(x)=x 3+4 x 2+9 x+10 L’ integrale generale dell’ equazione data è: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 2 x +x 3+4 x 2+9 x+10 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 34

• y”-3 y’+2 y=ex eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea 2 -3 +2=0 eq. caratteristica Soluzioni: 1=2 e 2=1 Integrale generale dell’ omogenea: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 2 x Resta ora da determinare un integrale particolare y 0 dell’equazione differenziale non omogenea assegnata, al cui secondo membro figura una funzione esponenziale cioè: y(x)=Kxex 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 35

y’(x)=Kex +Kxex y”(x)=2 Kex +Kxex e sostituendo nella equazione data e dividendo per ex si ottiene: 2 k+kx-3 k-3 kx+2 kx=1 K=-1 Cioè: y 0(x)=-xex L’ integrale generale dell’ equazione data è: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 2 x -xex 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 36

• Si potrà procedere in modo analogo per le equazioni che presentano p(x) = Acosx+Csenx. • Potrai provare tu usando le tecniche sopra descritte usando l’ equazione: y”-3 y’+2 y=cosx il cui integrale generale sarà: y(x)=c 1 e 1 x+c 2 e 2 x-1/2(cosx-senx) Buon lavoro ! 17/05/2018 Prof. ssa Sara De Savi 37