EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI PER QUADRATURA

EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE ALTRI TIPI INTEGRABILI “PER QUADRATURA”.

Argomenti della lezione è Ulteriori tipi d’equazioni del prim’ordine. è Alcuni tipi d’equazioni del second’ordine.

ULTERIORI TIPI D’EQUAZIONI DEL PRIM’ORDINE

Equazioni differenziali lineari del prim’ordine. (4) y’ = a(x) y(x) + b(x) con a(x) e b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R. L’equazione (4) si dice anche equazione completa, mentre

(5) y’ = a(x) y(x) si dice equazione omogenea associata alla (4). Se A(x) è una primitiva di a(x), allora la totalità delle soluzioni di (5) è data da y(x) = c exp(A(x)) dove c è una costante reale arbitraria.

Infatti. . (calcoli a parte) Vale ora il seguente fatto generale (per le equazioni lineari): Se z(x) è una generica soluzione –––– dell’omogenea e y(x) è una soluzione particolare dell’equazione completa, allora le funzioni del tipo –––– y(x) = z(x) + y(x)

forniscono tutte le soluzioni dell’ equazione completa Dimostriamo che una soluzione particolare dell’eq. completa è data da x e( x y(x) = 0 A(x) - A(t)) b(t) dt

Dimostremo ciò utilizzando il metodo detto di “variazione delle costanti arbitrarie” Si cerca la soluzione y(x) nella forma y(x) = c(x) exp(A(x)). . . Allora si può concludere che la soluzione generale del problema di Cauchy per la (4)

y’(x) = a(x) y(x) + b(x) y(x 0) = y 0 è data da x y(x) = c e A(x) + x e( 0 A(x) - A(t)) b(t) dt

Esempio 1: y’ = y + x a(x) = 1, A(x) = x, b(x) = x. Soluzione: y(x) = c ex - x -1 + ex Esempio 2: y’ = (1/x) y + (1/x 2) a(x) = (1/x), A(x) = log x, b(x) = (1/x 2). Soluzione: y(x) = c x + x/2 -(1/2 x)

x y + ex y’ = 2 e Esempio 3: a(x) = - 2 ex, A(x) = - 2 ex, b(x) = ex. Soluzione: y(x) = c exp(-2 ex)+ (1/2) [1 - exp(2 -2 ex)]

Equazioni di Bernoulli. Sono le equazioni del tipo (6) y’ = a(x) y(x) + b(x) y(x)k con k≠ 0, 1 e a(x), b(x) funzioni continue definite su un intervallo I a valori in R.

Osserviamo che se è 0 < k < 1, non è garantita l’unicità della soluzione. Infatti fy può non essere definita. Se k > 0, y 0 è una soluzione. Supposto y(x) ≠ 0, dividendo per y(x)k e prendendo come nuova incognita u(x) = y(x)1 -k , si trova l’equazione lineare

u’(x) = (1 -k) a(x) u(x) + (1 -k) b(x) che è un’equazione lineare che sappiamo risolvere Esempio 4: Si voglia risolvere il seguente p. d. C. y’ = 2 y(x) tg(x) + y(x)1/2 y(0) = 1, con |x|< /2

Dopo qualche calcolo si trova y(x) = [1/(cos x) + (1/2) tg x]2

ALCUNI TIPI D’EQUAZIONI DEL SECOND’ORDINE

Sono equazioni del tipo (7) y’’(x) = f(x, y(x), y’(x)) con f : A R 3 R, A aperto. una funzione y(x) è soluzione dell’ equazione data se è di classe C 2(I) su un intervallo I, se (x, y(x), y’(x))T sta in A, per ogni x I, e se soddisfa identicamente la (7).

Se f , fy e fz sono continue in A, allora si può dimostrare che esiste una soluzione locale unica del pd. C: y’’(x) = f(x, y(x), y’(x)) 0) = y 0 y (x y’(x 0) = z 0

Un tipo d’equazioni che possiamo affrontare è il seguente: (8) y’’(x) = f(y(x)) nel quale f dipende solo da y ed è di classe C 1(J) con J intervallo aperto in R. Moltiplicando i due membri di (8) per y’(x), si trova,

se indichiamo con F(u) una primitiva di f(u), (y’(x))2 = 2 [F(y(x)) - F(y 0)] + (z 0)2 Quest’equazione, trattata con prudenza, si può ridurre a un’equazione del prim’ordine, a variabili separabili.

Esempio 5: Si voglia risolvere il seguente p. d. C. y’’(x) = 3 y 2; y(0) =2 -(1/3); y’(0) = 1. Si trova, procedendo come sopra, (y’(x))2 - 1 = 2 y 3(x) - 1 Poiché y’(0) > 0

Ci si riduce al pd. C y’(x) = [2 y 3(x)](1/2) ; y(0) =2 -(1/3). Si trova la soluzione y(x) = (2(1/6) - x 2 -(1/2) )-2