LE EQUAZIONI LINEARI Lezione multimediale a cura della

LE EQUAZIONI LINEARI Lezione multimediale a cura della prof. ssa Maria Sinagra

LE IDENTITA’ Cosa hanno in comune le seguenti uguaglianze? Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

Uguaglianza (1) È sempre vera qualunque siano i valori attribuiti alle lettere a e b Proviamo ad attribuire alcuni valori: a 3 -2. . . b 2 0 … Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra 3

Lo stesso vale per le uguaglianze (2) 2 a = a + a (3) Prova a verificarlo! A queste particolari uguaglianze diamo il nome di identità IDENTITA’ Si dice identità un’uguaglianza tra due espressioni letterali verificata per qualsiasi valore attribuito alle lettere in esse contenute. Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra 4

LE EQUAZIONI Che cos’è un’equazione? Non tutte le uguaglianze sono identità. Consideriamo l’uguaglianza 2 x + 1 = x + 3 esiste un solo valore che attribuito a x rende vera l’uguaglianza è x= 2 infatti 2 *2 + 1 = 2 + 3 Questa uguaglianza viene detta equazione. Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra 4+1=5 5=5

EQUAZIONE Un’equazione è un’uguaglianza tra due espressioni letterali, verificata per particolari valori attribuiti alle lettere che in essa compaiono. 2 x + 1 = x + 3 x x=2 I membro II membro incognita soluzione dell’equazione 2 y + 5 = y – 1 è un’equazione nell’incognita y x+ 2 y = 1 è un’equazione in due incognite, x e y Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra 6

LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE SOLUZIONE Si dice soluzione di un’equazione, ogni numero che sostituito al posto dell’incognita, rende il I membro uguale al II membro, cioè verifica l’uguaglianza. Esempio 1: l’equazione Infatti 3*3 – 1 = 8 Esempio 2: l’equazione 3 a – 1 = 8 ha come soluzione a = 3 9– 1=8 8=8 ha due soluzioni: x = -3 e x = 3 Infatti Risolvere un’equazione significa determinare le sue soluzioni Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

Non sempre un’equazione ammette soluzioni. Esempio: non esiste nessun numero reale che verifica l’uguaglianza. L’equazione si dice impossibile in R. Risolvi, in R le seguenti equazioni: x– 5 = 3 ; Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

CLASSIFICAZIONE DELLE EQUAZIONI Le equazioni possono essere classificate: 1) In base alla posizione dell’incognita Ø L’equazione è intera quando l’incognita figura solo al numeratore Ø L’equazione è fratta quando l’incognita figura al denominatore di almeno uno dei due membri ESEMPI intera fratta Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

2) In base alla presenza o meno di altre lettere oltre l’incognita: Ø l’equazione è numerica quando oltre l’incognita non figurano altre lettere Ø l’equazione è letterale quando oltre l’incognita figurano anche altre lettere ESEMPI numerica letterale Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

2) In base alle soluzioni che ammette: Ø l’equazione è determinata se ammette un numero finito di soluzioni Ø l’equazione è indeterminata se ammette infinite soluzioni Ø l’equazione è impossibile se non ammette alcuna soluzione ESEMPI determinata, perché ammette come unica soluzione x=2 indeterminata, perché tutti i numeri reali, tranne lo 0, rendono vera l’uguaglianza impossibile, perché non ammette alcuna soluzione Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

EQUAZIONI EQUIVALENTI Date le equazioni: e hanno entrambe la stessa soluzione, cioè x=3 Equazioni equivalenti Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono le stesse soluzioni Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

Dire se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti: ü ü ü Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra

PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Addizionando o sottraendo ad entrambi i membri di un’equazione uno stesso numero o una stessa espressione letterale che si possa calcolare per ogni valore delle lettere che vi compaiono, si ottiene un’equazione equivalente a quella data. Esempio 2 x = 8 ha come soluzione x = 4 Addizionando ad entrambi i membri il numero 2 2 x + 2 = 8 + 2 ha come soluzione x = 4 Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra Le due equazioni sono equivalenti

Applicazioni del I principio Dal I principio derivano due regole utili nella risoluzione delle equazioni Esempio 1 2 x + 1 = 3 x sottraiamo ad entrambi i membri 1 2 x + 1 – 1 = 3 x – 1 ma +1 – 1=0 quindi 2 x = 3 x – 1 otteniamo un’equazione equivalente a quella iniziale Notiamo che il termine +1 che figurava al I membro è ricomparso al II membro con il segno cambiato Regola del trasporto Se in una data equazione si trasporta un termine da un membro all’altro, purché lo siprof. ssa cambi di segno, si ottiene Realizzazione Maria Sinagra un’equazione equivalente a quella data.

PRINCIPI DI EQUIVALENZA DELLE EQUAZIONI SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione letterale ( che si possa calcolare per ogni valore delle lettere che vi compaiono e che non si annulli mai), si ottiene un’equazione equivalente a quella data. Esempio ha come soluzione x = 10 Moltiplicando entrambi i membri per il numero 5 2 x = 20 ha come soluzione x = 10 Realizzazione prof. ssa Maria Sinagra Le due equazioni sono equivalenti