Sistemas de Controle III N 8 SC 3

Sistemas de Controle III N 8 SC 3 Prof. Dr. Cesar da Costa 7. a Aula: Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo

Computação da Matriz de Transição de Estado q Lembre-se que: v Matriz de Transição de Estado no Domínio da Frequência v Matriz de Transição de Estado no Domínio do Tempo Aprender a calcular a Matriz Exponencial

Computação da Matriz de Transição de Estado § Considere a Matriz A (n x n) e a Matriz identidade I (n x n). Por definição , os autovalores de A são as raízes de um Polinômio de ordem n.

Computação da Matriz de Transição de Estado § Recorde-se que a expansão de um determinante produz um polinômio. § As raízes do polinômio da Equação podem ser números reais ou complexos. § A evolução da Matriz de Transição de Estado é baseada no Teorema de Cayley-Hamilton. Este teorema diz que uma Matriz pode ser expressa como um polinômio de (n-1) graus em termos da Matriz A: (1)

Computação da Matriz de Transição de Estado §Na equação (1) os coeficientes ai autovalores (lambda) (i = 0, 1, 2, . . . n-1) são funções dos § Se os autovalores lambda da matriz A satisfazem a seguinte condição, ou seja, são distintos: § Os coeficientes ai podem ser calculados pelas seguintes Equações:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exemplo 4: § Determine a matriz de transição de estado § Solução: § Resolvendo-se os autovalores da matriz A: . . Dada a matriz A.

Autovalores da Matriz A

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) § Como a matriz A é de ordem 2 x 2, computamos apenas os dois primeiros termos da equação (6): (3) § Os coeficientes a 0 e a 1 podem ser determinados pelas Equações :

Cálculo dos Coeficientes ai, conforme Equação (6) § Substituindo-se nas equações os autovalores da matriz A calculados: § Resolvendo-se o sistema de equações, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado § Substituindo-se os coeficientes calculados na Equação (7), tem-se: § Substituindo-se a matriz identidade e a matriz A, tem-se:

Cálculo da Matriz de Transição de Estado § Fazendo as operações com as matrizes, tem-se a matriz de transição de estado:

Computação da Matriz de Transição de Estado Exercício : § Determine a matriz de transição de estado . . Dada a matriz A.

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução : § Determinação dos autovalores da matriz A

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução : Resolvendo o sistema de 3 incógnitas, tem-se:

Computação da Matriz de Transição de Estado Solução : Exercicio da Lista: Achar o valor da matriz de transição.

Função de Transferência § A função de transferência pode ser calculada a partir dos coeficientes da Equação de estado. § Considere a equação de estado de Saída (1): (1) § Aplicando-se Laplace em ambos os lados da equação de estado (2): (2) § Multiplicando-se ambos os lados da equação por : (3)

§ Se aplicarmos a condição inicial na equação (4), tem-se: (4) § Na equação (4), é a transformada de Laplace da entrada u(t). Então, dividindo-se ambos os lados por , encontra-se a transferência: (5) função de

§ A matriz G(s) denomina-se matriz de transferência (ou matriz das funções de transferência ) do sistema. § No caso dos sistemas escalares , isto é, como uma só variável escalar de entrada e outra de saída, a matriz de transferência se reduz á função de transferência do sistema.

Estabilidade do Sistema § Um sistema é estável quando todos os polos da sua função de transferência estão situados no semi plano esquerdo (SPE). § Ou seja, não pode haver polos nem no semi plano direito (SPD), nem no eixo imaginário do plano.

§ Dada a função de transferencia: § Os polos do sistema são: -1 , -2 e -3. § Estão todos no SPE, logo o sistema é ESTAVEL.

Exercício 1: Dados: Condicoes initials: a) Determine a Equacao de Estado do circuito RLC série e a represente na forma de uma Matriz. b) Determine a Funcao de Transferencia do circuito. c) Determine a Funcao de Transferencia do circuito usando o MATLAB.

Solucao (a): • A equacao diferencial que descreve o circuito: • Substituindo –se pelos valores dados: • Escolhendo-se as variáveis de estado:

Solucao (a): • A equacao de estado será: • Na forma de Matriz:

Solucao (b): • O circuito no domínio s :

Solucao (c): 1. Funcao ss 2 tf (Equacao de estado para Funcao de transferencia) :

Solucao (c): 1. Funcao tf 2 ss (Funcao de transferencia para Equacao de estado) :

Exercício 2 (Lista): § Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear: § Determine: a) A funcao de transferencia do sistema. b) Os polos do sistema e faca sua representacao no plano s. c) A matriz de transicao de estado.

Exercício 3 (Lista): § Considere as equacoes de estado e de saída de um sistema linear: § Sendo as condicoes iniciais: § Determine: a) Os autovalores da matriz A. O sistema é estável? b) A matriz de transicao de estado. c) A funcao de transferencia G(s). d) A resposta as condicoes iniciais.