Departamento de Eletrotcnica Controle de Sistemas Dinmicos Sistemas

Departamento de Eletrotécnica Controle de Sistemas Dinâmicos Sistemas de Controle - Implementação analógica MA 10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. Fonte: Prof. Roger Gules Maio – 2012

Sistemas de Controle: Implementação analógica MA 1 - Apresentação do curso e introdução na área de sistemas de controle. MA 2 - Revisão sobre função de transferência, transformada de Laplace direta/inversa, plano S e conceitos básicos. MA 3 - Caracterização da resposta transitória de sistemas de primeira e segunda ordem. MA 4 - Representação por diagrama de blocos e simplificação de sistemas. MA 5 - Análise da estabilidade de sistemas dinâmicos. MA 6 - Análise do erro em regime permanente. MA 7 - Análise de sistemas dinâmicos pelo método do Lugar das Raízes. MA 8 - Projeto de controladores pelo método do Lugar das Raízes. MA 9 - Análise pelo método da resposta em freqüência. MA 10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. MA 11 – Controladores PID 2

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ø Serão estudados pelo método da resposta em frequência os mesmos controladores utilizados na análise pelo Lugar das Raízes. Ø Atuam na resposta transitória: o Proporcional-derivativo (PD); o Avanço de fase. Ø Atuam no regime permanente: proporcional integrador diferenciador Filtro PB o Proporcional-integral (PI); o Atraso de fase. Ø Atuam no regime permanente e transitório: o Proporcional-integral-derivativo (PID); o Atraso-Avanço de fase. 3

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensação Pela Variação do Ganho k Com a variação do ganho, há um deslocamento do módulo sem alterar a fase. O aumento de ganho que ocorre na região de baixa freqüência ocasiona uma redução no erro em regime permanente, porém com uma diminuição nas margens de ganho e de fase diminuindo a estabilidade do sistema. Portanto, a utilização deste tipo de controle é limitado a sistemas com especificações de desempenho pouco exigentes. 4

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Atraso de Fase Ø O compensador atraso-de-fase insere no sistema um pólo e um zero, posicionados de modo que a contribuição de ângulo seja negativa. Ø Este compensador atua como um filtro passa baixa, podendo reduzir o erro em regime permanente. A redução do ganho em alta freqüência faz com que as margens de ganho e fase possam ser mantidas dentro das especificações. - Ø Porém deve haver o cuidado de manter este compensador na região de baixa freqüência para que a contribuição negativa de fase não diminua a MF. 5

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Atraso de Fase Ø Uma metodologia adotada é aumentar o ganho até atender as especificações de regime permanente. Com isto haveria um redução da margem de fase, aumentando o sobresinal. Ø Escolhe-se a frequência na qual deseja-se que ocorra o cruzamento por 0 d. B na qual se obtém a margem de fase desejada. O compensador irá reduzir o ganho do sistema para haver o cruzamento por 0 d. B na frequência definida (frequência ω1). Ø O compensador deve estar localizado na região de baixa frequência para que a contribuição negativa de ângulo do compensador não prejudique a MF do sistema. 6

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de Projeto - Compensador Atraso de Fase Pelo método da resposta em frequência utiliza-se a função de transferência do controlador atraso de fase no seguinte formato: Procedimento: Ø Ajustar o ganho k para atender as especificações de erro em regime permanente. Para isto utiliza-se o teorema do valor final na expressão do erro; Ø Construção do gráfico da resposta em freqüência com o ganho previamente ajustado; Ø Identificação da freqüência ω1 (equação abaixo), que é a frequência na qual se obtêm a MF especificada. Esta freqüência é onde ocorrerá o cruzamento com 0 d. B quando o compensador for inserido no sistema. ØNesta frequência (ω1) também deve-se medir o valor do módulo do sistema. 7

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de Projeto - Compensador Atraso de Fase Ø Define-se a posição do zero do compensador uma década abaixo da freqüência ω1 para que a contribuição negativa do compensador tenha sido finalizada antes da frequência na qual ocorrerá o cruzamento em 0 d. B, onde será definida a MF do sistema compensado. Ø Define-se a posição do pólo pela redução de ganho necessária na freqüência ω1. É importante observar que o valor do módulo do sistema G(s) utilizado na determinação da frequência do pólo é em valor absoluto e não em d. B. 8

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de Projeto Compensador Atraso de Fase Exemplo: Projetar um compensador atraso-defase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0, 05 para uma entrada em rampa, e uma MF mínima de 45°. Ø Primeiro deve ser calculado o ganho para que o sistema possua erro de 0, 05 para a entrada em rampa. Este ganho ajustado será compensador. o ganho K do 9

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Atraso de Fase Definido o valor do ganho, é construída a resposta em freqüência Transformado o ganho para d. B: 10

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ou através do MATLAB obtemos o gráfico: Ø Agora deve ser identificada a freqüência ω1, onde o sistema possui a margem de fase requerida: A fase do sistema é igual a -135º na frequência 2 rad/sec. Portanto: Também deve-se obter o módulo do sistema na frequência ω1: Normalmente adiciona-se mais 5º na MF 11 desejada para compensar imprecisões do método, como será visto mais a frente.

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ø A freqüência do zero do compensador deve estar uma década antes de ω1, assim: Ø A freqüência do pólo do compensador é definida pela quantidade de ganho que deve ser reduzido no sistema na frequência ω1. Portanto o compensador projetado é: ou: 12

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Verificação com MATLAB-SISOTOOL Command Window M 10_exemp_1. m n=[1]; d=[1 2 0]; sys=tf(n, d) sisotool(sys) Para evitar este erro na MF, deve-se acrescentar sempre previamente 5º na equação utilizada na determinação da frequência ω1. 13

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Comparação do sistema com e sem compensador (MATLAB) Command Window M 10_exemp_2. m n 1=[40]; d 1=[1 2 0]; bode(n 1, d 1) grid hold n 2=[5. 656*0. 2]; d 2=conv([1 2 0], [1 0. 02828]); sys=tf(n 2, d 2) bode(n 2, d 2) hold 14

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Comparação do sistema com e sem compensador (MATLAB) – Resposta ao degrau Command Window M 10_exemp_3. m n 1=[40]; d 1=[1 2 0]; sys 1=tf(n 1, d 1); n 2=[5. 656*0. 2]; d 2=conv([1 2 0], [1 0. 02828]); sys 2=tf(n 2, d 2); sys_cl 1=feedback(sys 1, 1); sys_cl 2=feedback(sys 2, 1); step(sys_cl 1) hold step(sys_cl 2) hold 15

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Comparação do sistema com e sem compensador (SIMULINK) Resposta à rampa Entrada Sem compesnsador Com compesnsador M 10_exemp_1. mdl 16

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Avanço de Fase Ø O compensador avanço de fase visa melhorar a resposta transitória aumentando a margem de fase do sistema. Ø Este compensador atua como um filtro passa alta, aumentando a frequência de cruzamento com 0 d. B. Apresenta uma contribuição de ângulo positiva na fase, a qual pode ser utilizada para aumentar a Margem de Fase do sistema. + Ø Do mesmo modo que no lugar das raízes, o compensador irá inserir no sistema um pólo e um zero. 17

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Avanço de Fase Ø O procedimento de projeto do compensador avanço de fase é desenvolvido com base em dois parâmetros: constante de tempo “T” e o parâmetro “α” que é o ganho do compensador na região de alta frequência (s=∞) Ø Portanto, o compensador será apresentado no formato chamado de constante de tempo, podendo ser transformado no formato em função das frequências, como no compensador atraso de fase ou no formato pólos e zeros, como o utilizado no lugar das raízes. Formato constante de tempo Formato frequências Formato pólos e zeros 18 Definindo-se os parâmetros “T” e “α”, tem-se definido o pólo e zero do compensador

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Compensador Avanço de Fase Ø A contribuição positiva de fase deve ser dimensionada de modo que o seu pico ocorra exatamente sobre o ponto onde a margem de fase é definida, e o valor do pico da fase (θmax) seja grande o suficiente para que o aumento na MF atenda aos requisitos de resposta transitória. Ø Assim a figura ao lado mostra um exemplo a resposta em freqüência de um sistema após o uso do compensador avanço de fase. 19

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Ø Realizar o ajuste do ganho k em malha aberta que satisfaz as condições de erro em regime permanente. Caso não seja necessário alterar o ganho, ou seja, o sistema já atende os critérios de regime permanente, o compensador terá ganho unitário. Ø Obter a resposta em frequência do sistema com o ganho ajustado e determinar a margem de fase do sistema sem o compensador. Ø Determinar a contribuição de ângulo de avanço de fase (θmax) necessário a ser adicionado ao sistema através da equação abaixo: Normalmente acrescenta-se 10% ao valor calculado para compensar imprecisões do método. 20

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Ø Determinar o parâmetro “α” a partir da relação: Ø Determinar a frequência ωMax. • Para que o aumento da fase do compensador seja melhor aproveitado, a freqüência ωMax deve coincidir com a freqüência da margem de fase do sistema com o compensador, ou seja, deve estar na freqüência onde o sistema compensado possui ganho de 0 d. B. Como o ganho do compensador em ωMax é igual a : • Portanto, a freqüência ωMax será determinada na resposta em frequência do sistema no ponto onde o sistema sem compensador possui ganho em d. B de: • Assim, quando o compensador for inserido, ocorrerá o cruzamento em 0 d. B na frequência ωmax, onde o compensador apresenta a sua máxima contribuição de ângulo θmax. 21

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de projeto Compensador Avanço de Fase Ø Com a determinação dos parâmetros “α” e “ωmax” nas etapas anteriores, calcula-se o parâmetro “T” a partir da relação: Ø Com a definição dos parâmetros “α” e “T” tem-se determinado o pólo e zero do compensador: 22

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Procedimento de Projeto Compensador Avanço de Fase Exemplo: Será considerado o mesmo exemplo utilizado no projeto do compensador atraso-de-fase. Projete um compensador avanço de fase para que o sistema possua erro em regime permanente de 0, 05 para uma entrada em rampa, e uma MF mínima de 45°. Ø Primeiramente ajusta-se o ganho para atender a especificação de erro. 23

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ø Através do MATLAB obtemos a resposta em frequência e verificamos a margem de fase do sistema : MF(sistema)=18º Ø Calcula-se 24

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ø Calcula-se o parâmetro “α” através da equação: -4, 77 d. B Ø Agora deve ser encontrada no gráfico a freqüência ωMax, onde o sistema possui ganho em d. B igual a: Ø Portanto: ωmax=8, 3 rad/seg ωmax=8, 3 25

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Ø Calcula-se o parâmetro “T” através da equação: Observar que: Ø Assim, a função de transferência do controlador é: Ou: 26

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Verificação com MATLAB-SISOTOOL Command Window M 10_exemp_1. m n=[1]; d=[1 2 0]; sys=tf(n, d) sisotool(sys) 27

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Comparação com e sem compensador Command Window compensador M 10_exemp_4. m n 1=[40]; d 1=[1 2 0]; bode(n 1, d 1) grid hold n 2=[120 120*4. 792]; d 2=conv([1 2 0], [1 14. 376]); bode(n 2, d 2) hold Sem compensador Sem compensador 28

Projeto de Controladores - Resposta em Frequência Verificação com MATLAB-SIMULINK M 10_exemp_2. mdl 29