Controle de Sistemas Dinmicos CSD 8 Lugar Geomtrico

Controle de Sistemas Dinâmicos CSD 8 -Lugar Geométrico das Raízes Prof. Adolfo Bauchspiess ENE/Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 1/45

Lugar Geométrico das Raízes - LGR As raízes da equação característica em função de um parâmetro (K) K R(s) K E(s) C(s) K Controlador Processo K Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 2/45

LGR • A resposta é função dos pólos dominantes (mais lentos) y≈r → ou aproximação de 2ª ordem! x x o ll Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 3/45

Especificações de Projeto domínio-t ↔ domínio s Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 4/45

Especificações: t ↔ s Aproximação para uma dinâmica dominante de 2ª ordem (σ = ζωn): -Tempo de acomodação (2%) ts = 4/σ, -Tempo de subida tr (10 -90%) = 1, 8/ωn, - Sobrepasso percentual Mp Mp ts tr Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 5/45

Representação vetorial de números complexos: a. s = + j ; b. (s + a); c. representação alternativa de (s + a); d. (s + 7)|s 5 + j 2 Plano s Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 6/45

Representação Vetorial de Números Complexos Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 7/45

Função complexa de um vetor Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 8/45

LGR – Sistema em Malha Fechada Entrada Função de Transferência Sinal do canal direto atuante Saída Função de Transferência da retroação Sistema em Malha Fechada Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess Função de Transferência Equivalente 9/45

Quais pontos no plano s podem ser LGR? Eq. Característica Condição de Módulo Condição de Fase Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 10/45

Controle de Sistemas Dinâmicos CSD 8 -Lugar Geométrico das Raízes Regras para traçar o LGR Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 11/45

Regras para traçar o LGR 1. Desenhar no plano s os pólos x e zeros o - Os segmentos do LGR começam nos pólos e terminam nos zeros de MA Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 12/45

Regras para traçar o LGR 2. Parte real do LGR: à esquerda de um número impar de pólos mais zeros reais - ângulos de pólos ou zeros complexos conjugados se cancelam (condição de fase) Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 13/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) 3. Assíntotas para K → ∞ (1 + KG(s)=0) - De uma posição bem longe da origem: m zeros cancelam m pólos e restam n-m pólos (assíntotas) Complementos - Controle Dinâmico – ENE/Un. B Prof. Adolfo Bauchspiess Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 14/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) 3. Assíntotas para K → ∞ (1 + KG(s)=0) G(s) = b(s)/a(s) = -1/K → 0 Dois casos a) G(s) = 0 se b(s) = 0 (ramos terminam nos zeros) b) Sistema físico n > m G(s) → 0 se s → ∞ (n - m) pólos em s = α - De uma posição bem longe da origem m zeros cancelam m pólos e restam n-m pólos Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 15/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) Para do LGR com R bem grande Há (n - m) assíntotas radiais com ângulos l = 0, ± 1, ± 2, . . . (ou l = 0, 1, 2, . . . n-m-1) por exemplo n-m = 3 → Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 16/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) - Centróide: se m < n – 1 → Σpj independe de K → é a soma dos pólos (tanto em MA como em MF!) rj – raízes da eq. Característica: pólos→ ∞ + pólos→zeros Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 17/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) rj – raízes da eq. Característica alguns pólos → ∞; os demais pólos → zeros Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 18/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) 4 - ngulos de chegada (o) e partida (x) Ponto bem próximo ao pólo: ngulo de partida, de q pólos: ngulo de chegada, em q zeros: Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 19/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) Utilizar pontos de teste “bem” próximo aos zeros (o) e aos pólos (x) Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 20/45

Regras para traçar o LGR (cont. ) Ex: ngulos de partida (x) Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 21/45

Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 22/45

Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 23/45

Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 24/45

10/5/20 Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 25/45

Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 26/45

10/5/20 Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 27/45

10/5/20 Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 28/45

Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 29/45

Exercício Extra 4 Apresentando os cálculos relativos à aplicação dass regras 1) a 7), esboce o LGR do seguinte sistema em malha fechada, em função do ganho –∞ < K < ∞. Para os ganhos que permitem a operação estável, sugira, justificando, um valor adequado de K. Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 30/45

Controle de Sistemas Dinâmicos CSD 8 -Lugar Geométrico das Raízes LGR- K<0 ou Fase Não Mínima Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 31/45

LGR p/ K<0: LGR- LGR+ K=0 Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess LGR- K=0 32/45

LGR p/ K<0: LGRLGR+ K=0 LGR- Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess K=0 33/45

LGR p/ K<0: LGR- Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 34/45

LGR p/ K<0: LGR- LGR+ Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess LGR- 35/45

LGR p/ ganho negativo >> g=zpk([1 1], [-1 -1 -2 -5], 1); >> rlocus(-g) Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 36/45

LGR p/ Sistemas de Fase não-mínima • Pólo ou zero no SPD Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 37/45

Ex. Sistema de Fase não-mínima x Fase mínima g=tf([-1 1], [1 1 1]); f=tf([1 1], [1 1 1]); step(g, f) Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 38/45

Condições de Fase: 180 o x 0 o Ponto de teste s 0 G 2 LGR- G 1(s), K<0 G 1 LGR+ G 2(s), K>0 Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 39/45

+ LGR (K>0) R(s) Condição de Fase: Zero-Grau Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess E(s) C(s) K Controlador Processo 40/45

LGR (K<0) R(s) E(s) K Controlador Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess C(s) Processo 41/45

Seleção do ganho a partir do LGR Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 42/45

LGR de Sistemas com Saturação r↑ → Kef↓ → Mp ↑ Kef - Ganho efetivo Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 43/45

LGR de Sistemas com Saturação Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 44/45

LGR de Sistemas com Saturação “Ciclo Limite” Kef Un. B/ENE 0077 Controle de Sistemas Dinâmicos: CSD 8 -LGR – Prof. Adolfo Bauchspiess 45/45