Departamento de Eletrotcnica Controle de Sistemas Dinmicos Sistemas

Departamento de Eletrotécnica Controle de Sistemas Dinâmicos Sistemas de Controle - Implementação analógica MA 9 - Análise pelo método da resposta em freqüência. Fevereiro - 2010

Sistemas de Controle: Implementação analógica MA 1 - Apresentação do curso e introdução na área de sistemas de controle. MA 2 - Revisão sobre função de transferência, transformada de Laplace direta/inversa, plano S e conceitos básicos. MA 3 - Caracterização da resposta transitória de sistemas de primeira e segunda ordem. MA 4 - Representação por diagrama de blocos e simplificação de sistemas. MA 5 - Análise da estabilidade de sistemas dinâmicos. MA 6 - Análise do erro em regime permanente. MA 7 - Análise de sistemas dinâmicos pelo método do Lugar das Raízes. MA 8 - Projeto de controladores pelo método do Lugar das Raízes. MA 9 - Análise pelo método da resposta em freqüência. MA 10 - Projeto de compensadores pelo método da resposta em freqüência. MA 11 – Controladores PID 2

Resposta em Frequência Ø Quando um sinal senoidal é aplicado na entrada de um sistema linear, será obtido na saída também um sinal com mesma forma e freqüência do sinal de entrada, porém haverá uma alteração na amplitude e na fase do sinal. Ø A resposta em frequência apresenta um gráfico da variação do módulo e da fase do sistema a medida que a frequência do sinal é variada. 3

Resposta em Frequência Ø É um método de análise e projeto do sistema de controle muito utilizado. Ø Pode-se obter a resposta em frequência experimentalmente aplicando um sinal com frequência variável na entrada do sistema e medindo a variação do módulo e fase do sinal de saída. Desta forma, mesmo sem dispor da função de transferência do sistema pode-se fazer a análise e projeto a partir do ensaio experimental. Ø Se a função de transferência do sistema é conhecida, pode-se obter a resposta em frequência de forma analítica, através de softwares ou manualmente por aproximações assintóticas. A seguir é apresentado um procedimento simplificado para a obtenção da resposta em frequência através de assíntotas e posteriormente serão abordadas as informações pertinentes ao projeto de controladores utilizando a resposta em frequência. 4

Resposta em Frequência – Expressão analítica Para determinar uma expressão analítica para a resposta em freqüência, considere a função de transferência composta por um pólo: Sendo: Assim temos: A parte real da variável S não é considerada pois avalia-se a resposta do sistema para uma entrada senoidal apenas em regime permanente. Multiplicando Pelo conjugado 5

Resposta em Frequência – Expressão analítica O módulo do sistema é dado por: A fase do sistema é: o Para obter a resposta em frequência deve-se atribuir valores de frequência ω nas expressões acima, obtendo-se uma tabela de módulo e fase em função da variação de frequencia. Com estes dados pode-se construir os gráficos. o Este processo pode ser bastante trabalhoso, principalmente para funções de transferência com maior complexidade. o Uma alternativa mais rápida é a obtenção da resposta em frequência através de assíntotas ou através de softwares específicos. 6

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Para construir a resposta em frequência será definido qual é a contribuição de cada elemento que compõem a função de transferência, sendo a contribuição final o somatória das contribuições individuais. o Este processo também auxilia no entendimento da influência de cada elemento na resposta em frequência do sistema. o Como o gráfico do módulo é representado em d. B (20. log x) a contribuição final que é dada pelo produto dos elementos que compõem a FT, graficamente transforma-se em somatório pois o módulo é representado em d. B. Portanto basta representar graficamente a contribuição individual de cada elemento (pólo, zeros, etc) e posteriormente realizar o somatório das contribuições para obter o resultado final. o A fase é obtida da mesma forma. Representa-se graficamente as contribuições individuais em graus e posteriormente faz-se o somatório para obter a resultante. 7

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Ganho k O ganho k desloca o módulo do sistema em 20. log K. Nota-se que se k>1 o modulo será positivo e se k<1 o modulo será negativo. Se o ganho for unitário o módulo será 0 d. B. O ganho não causa alteração na fase do sistema. 8

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Integrador • A alteração do módulo devido ao integrador resulta em uma reta com inclinação negativa, a qual decai 20 d. B por década, e tem módulo igual a 0 d. B quando a freqüência é 1 rad/s. • A fase é deslocada em -90°. • Se houver dois integradores considera-se uma redução de 40 d. B por década e uma contribuição de -180º e assim sucessivamente. 9

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólo Real • A contribuição de módulo ser(á de 0 d. B até a freqüência do pólo (A) e decai 20 d. B por década a partir desse ponto. • A fase segue em 0º até uma década antes da freqüência do pólo (A), onde decai 45° por década até uma década após a freqüência A, onde se mantêm constante em -90°. 10

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólo Real Pólo Ganho Exemplo: ou: Resposta Final 11

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real • A contribuição de módulo ser(á de 0 d. B até a freqüência do pólo (A) e aumenta 20 d. B por década a partir desse ponto. • A fase segue em 0º até uma década antes da freqüência do pólo (A), onde aumenta 45° por década até uma década após a freqüência A, onde se mantêm constante em -90°. 12

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real 13

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real Resposta Final Exemplo: Ganho Zero ou 14

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Zero Real Exemplo: MATLAB Command Window M 9_exemp_1. m n=[10 10]; d=[1]; bode(n, d) 15

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Pólos complexos A resposta em frequência de pólos e zeros complexos sofrem muita influência do coeficiente de amortecimento, conforme mostra a figura ao lado. Portanto recomenda-se não utilizar a representação por assíntotas em sistemas com pólos complexos. Nestes casos pode-se partir para a utilização de softwares para a obtenção da resposta em frequência. 16

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Gráficos normalizados para: a. G(s) = s; b. G(s) = 1/s; c. G(s) = (s + a); d. G(s) = 1/(s + a) 17

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Exercício- Obter a resposta em frequência da função G(s) através de assíntotas Zero Resposta Final Ganho Pólo Zero Resposta Final Pólo 18

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Verificação com MATLAB Command Window M 9_exemp_2. m n=[100 100]; d=[1 10]; bode(n, d) 19

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Exercício- Obter a resposta em frequência da função G(s) através de assíntotas Zero Resposta Final ganho 2 x Pólo Zero Resposta Final 2 x Pólo 20

Resposta em Frequência – Aproximações Assintóticas o Verificação com MATLAB Command Window M 9_exemp_3. m n=[200 200]; d=conv([1 10], [1 10]); bode(n, d) 21

Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência A função de transferência desse sistema é: + • Na resposta em frequência da FTMA, o sistema será considerado estável se na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for menor que 1, ou seja, 0 d. B. O limite de estabilidade ocorre quando na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for igual a 0 d. B. O sistema será instável se na freqüência onde a fase é igual a -180°, o módulo for maior que a 0 d. B. • Fase igual a -180° na FTMA significa a inversão de polaridade na realimentação, caracterizando uma realimentação positiva, o que torna o sistema instável com o surgimento de pólos no semi-plano direito. • A partir disso são definidos os parâmetros, margem de ganho (MG) e margem de fase (MF) as quais devem ser ambas positivas para que o sistema seja estável. 22

Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Margem de Ganho (MG) – Para que o sistema seja estável, o ganho em d. B deve ser menor que 0 d. B na freqüência cuja fase é -180°. Assim a margem de ganho é o valor de ganho nesta freqüência, sendo positivo quando o módulo é negativo. Ela indica o quanto de ganho em d. B que pode ser acrescido ao sistema, sem que ele perca a estabilidade. Margem de Fase (MF) – Para que o sistema seja estável, a fase não pode ultrapassar -180° na freqüência onde o módulo é igual a 0 d. B. Assim a margem de fase é o valor que falta para que a fase esteja em -180°, sendo positiva se a fase ainda não tiver ultrapassado -180°. 23

Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Exemplo: Determinar o valor do ganho para que o sistema se torne instável. Considerando inicialmente k =1. 24

Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência A margem de ganho pode ser obtida a partir do gráfico, verificando o valor do modulo na freqüência onde a fase é -180°, que é igual a -100 d. B. Assim a margem de ganho é de 100 d. B. A margem de ganho indica o quanto de ganho pode ser acrescentado ao sistema, mantendo a estabilidade, assim o sistema será estável se receber um aumento maior que MG. Assim: 25

Resposta em Frequência Analise de Estabilidade Através da Resposta em Freqüência Verificação com o MATLAB-SISOTOOL MATLAB Command Window M 9_exemp_4. m n=[1]; d=conv([1 100], conv([1 1], [1 10])); sys=tf(n, d) sisotool(sys) 26

Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência Ø Velocidade de Resposta: A velocidade de resposta está relacionada com a banda passante da resposta em freqüência de malha fechada. ωB é a faixa de freqüência para que o módulo tenha uma redução de 3 d. B. Portanto a freqüência de cruzamento ωC (0 d. B) da FTMA determina indiferentemente a velocidade de resposta. Quanto maior for a frequência de cruzamento ωC da FTMA, mais rápida será a resposta transitória. Portanto, ao utilizar um compensador P. D. ou avanço de fase, a frequência de cruzamento e a velocidade de resposta irão aumentar. 27

Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência Ø Sobresinal: O sobresinal está relacionado com a elevação do módulo na freqüência de ressonância de um sistema equivalente de segunda ordem, este valor de pico da F. T. de malha fechada está relacionado principalmente com a margem de fase do sistema. Quanto maior for a margem de fase, menor será o sobresinal. Ø Amortecimento: O amortecimento também está relacionado com a margem de fase do sistema, e pode ser calculado de maneira aproximada pela equação: 28

Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência Ø Erro em Regime Permanente: Para reduzir o erro em regime permanente, deve-se aumentar o ganho da FT na região de em baixa freqüência (regime permanente S=0). Módulo F 29

Resposta em Frequência Parâmetros de Desempenho a Partir da Resposta em Freqüência Portanto, para melhorar a resposta de um sistema de controle através da análise pela resposta em frequência deve-se utilizar controladores para regime transitório que aumentem a margem de fase, aumentando a estabilidade e reduzindo as oscilações, além de aumentar a frequência de cruzamento para aumentar a velocidade de resposta. Pode-se também utilizar controladores para melhorar o regime permanente, aumentando o ganho em baixa frequência, reduzindo o erro em regime, sem prejudicar a margem de fase do sistema. Será apresentado no módulo seguinte as metodologias de projeto dos controladores utilizando a resposta em frequência, de forma a atender as especificações de desempenho de um sistema de controle. 30