Sistemas de Controle III N 8 SC 3

Sistemas de Controle III N 8 SC 3 Prof. Dr. Cesar da Costa 3. a Aula: Aplicação Equações de Estado e Saída

Exercicío sobre equacoes de estado: 1) No circuito abaixo, as variáveis de entrada são a corrente do gerador (u 1= j(t) ) e a tensão no gerador de tensão (u 2 = e(t) ). As variáveis de saída são as tensões y 1 na Resistência R 1 e y 2 no capacitor C. Determine as matrizes A, B, C e D.

Solução: 1) Equações do circuito: (1) 2) Eliminando i 1 e i 2 nas equações: (2) (3) (4)

Solução: 3) Equação de saída:

4) Equação de estado : 5) Matrizes A e B

4) Equação de saída: 5) Matrizes C e D

Exercícío sôbre equações de estado: 2) Dado o circuito RLC. Determine a equação de estado e as matrizes A, B. Dados: (1) (2)

Solução: . Substituindo na equação 2 os valores dados : (1) (2) (3) (4)

Solução: . Escolhendo as variáveis de estado : (5) (6) Entao: (7) (8) (9)

Solução: Substituindo a eq. 7 na eq. 4 tem-se: . 1. a. equação de estado:

Solução: 2. a. A equação de estado: . Matrizes A e B: Equacao escalar de estado:

Exercício da Lista: Determine a equação de saída do circuito e as matrizes C e D. .

Variáveis de Estado de Sistemas Dinâmicos v A representação de sistemas de controle no domínio do tempo constitui uma das bases da teoria de controle moderno e da otimização de sistemas. v Um sistema de equações diferenciais descreve o comportamento do sistema em termos da taxa de variação de cada uma das variáveis de estado.

Equação Diferencial de Estado v O Estado de um sistema é descrito por meio de um sistema de equações diferenciais de primeira ordem em termos das variáveis de estados.

Equação Diferencial de Estado q Equação de Estado e de Saída Linearizados:

Circuito RLC

Circuito RLC Variáveis de Estado

Circuito RLC Substituindo-se as variáveis de estado nas equações do circuito, tem-se:

Equação Diferencial de Estado

Equação Diferencial de Estado § Transformada de Laplace da equação de estado A Transformada de Laplace Inversa resulta na solução da equação de estado:

Forma Padrão de Representação do Modelo de Variáveis de estado de um Sistema

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB v Um sistema dinâmico que consiste num número finito de elementos concentrados pode ser escrito por equações diferenciais ordinárias em que o tempo é a variável independente. v Fazendo uso de notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representada por uma equação matricial-vetorial de primeira ordem. v Se n elementos do vector são um conjunto de variáveis de estado, então a equação diferencial matricial vetorial é denominada de equação de estado.

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB v Deste modo, um sistema representado na forma de equações de estado será dado por:

Modelo de Estado de um Sistema no MATLAB v Considerando o sistema representado no espaço de estado, a sua introdução no MATLAB efetua-se pelo método comum de introdução de matrizes na Janela de Comando:

Conversão da representação de sistemas para função de transferência no MATLAB v É possível converter a representação de sistemas em equações de estados ou a partir dos polos, zeros e ganho, através do uso das seguintes funções: Ø ss 2 tf - Conversão de representação em espaço de estados para função de transferência. Ø zp 2 tf - Representação em função de transferência a partir dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema.

§ Considere o seguinte sistema dado na forma de equações de estado: Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

§ No caso do sistema estar descrito pelos seus Pólos, Zeros e Ganho, a conversão para a representação em função de transferência será dada por: Prompt do MATLAB: A função de transferência será:

Conversão da representação de sistemas para espaço de estados no MATLAB v Tal como no item anterior, é possível converter a representação de sistemas em função de transferência ou a partir dos polos, zeros e ganho para a representação em espaço de estados, através do uso das seguintes funções: Ø tf 2 ss - Conversão da função de transferência para a representação em modelo de espaço de estados. . Ø Zp 2 ss - Representação do modelo de espaço de estados a partir dos Polos, Zeros e Ganho do sistema. .

Ø Considere a função de transferência do seguinte sistema : A sua representacao em espaco de estado será:

Ø Se fossem dados os Pólos, Zeros e Ganho do sistema, a conversão para a representação em espaço de estados seguiria a mesma metodologia apresentada para o caso da função de transferência, tendo em consideração que se pretende obter as matrizes A, B, C, D e não o numerador e denominador.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB v Dado qualquer sistema representado no espaço de estados ou descrito por uma função de transferência, é possível extrair os seus os Polos, Zeros e o Ganho através do uso das seguintes funções: tf 2 zp - Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do sistema a partir da função de transferência. ss 2 zp - Obtenção dos Pólos, Zeros e Ganho do sistema a partir da sua representação em espaço de estados.

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB v Os Pólos, Zeros e o Ganho dos sistemas anteriores representados no espaço de estados e em forma de função de transferência são dados por :

Obtenção dos Polos, Zeros e Ganho do Sistema no MATLAB v NOTA : Em todos os tipos de conversões apenas é necessário ter em consideração que a função de transferência é dada por um numerador e denominador, enquanto a representação em espaço de estado pelas matrizes A, B, C, D. A representação do sistema pode ainda ser expressa pelos seus Pólos (p), Zeros (z) e Ganho (k).