PENGENALAN PROGRAM TERSTRUKTUR PENDAHULUAN PADA MASA AWAL PEMROGRAMAN

PENGENALAN PROGRAM TERSTRUKTUR PENDAHULUAN PADA MASA AWAL PEMROGRAMAN (1950 S – 1960 S), KEMAMPUAN KOMPUTER MASIH SANGAT TERBATAS, BAIK KECEPATAN ATAU KAPASITAS, DAN HARGA RELATIF MAHAL PEMROGRAM MEMBUAT PROGRAM YANG MEMBUTUH KAN MEMORI DAN WAKTU EKSEKUSI SESINGKATNYA. PROGRAMMER HARUS MENGHASILKAN SEBUAH TEKNIK DAN ALGORITMA YANG DAPAT MENGHEMAT PENGGUNAAN MEMORI MAUPUN WAKTU EKSEKUSI SEPENDEK MUNGKIN. ERA INI MENGHASILKAN PROGRAMMER BERBAKAT DAN HANDAL. PROGRAM YANG DIHASILKAN SEBAGAI SUATU KARYA SENI. MESKI DEMIKIAN, KARENA BAKAT LUAR BIASA, DAN MINIMNYA DOKUMENTASI, ATAU MINIMNYA 2 HAL, MAKA PROGRAM YANG DIHASILKAN OLEH PROGRAMER SEPERTI INI SANGAT SUKAR UNTUK DIMENGERTI. SAAT INI HARGA PERANGKAT KERAS SEMAKIN MENURUN DAN GAJI YANG DITERIMA OLEH PROGRAMMER SEMAKIN BESAR, MAKA PENULISAN PROGRAM MERUPAKAN SUATU BAGIAN YANG SEMAKIN BESAR PORSINYA DALAM DANA PENGOLAHAN DATA. 80% DARI TUGAS PEMROGRAMAN ADALAH MEMELIHARA PROGRAM, TERMASUK MEMODIFIKASI PROGRAM YANG ADA AGAR SESUAI DENGAN YANG DIBUTUHKAN. JIKA LOGIKA DARI PROGRAM SANGAT SUKAR UNTUK DIMENGERTI, MAKA MEMELIHARA PROGRAM TERMASUK BAGIAN YANG SANGAT SUKAR UNTUK DILAKSANAKAN. 1 JIKA PROGRAM ASLI TIDAK DAPAT DIGUNAKAN, SESEORANG HARUS BENAR-BENAR MENGUASAI LOGIKA PROGRAM TERSEBUT SEBELUM PERUBAHAN DAPAT

JIKA LOGIKA PROGRAM TIDAK JELAS, MUNGKIN LEBIH MURAH UNTUK MENULIS ULANG PROGRAM TERSEBUT, DARIPADA MEMODIFIKASINYA. SUATU PROGRAM YANG SUKAR DIPERBAIKI DAPAT MENAIKKAN BIAYA PENGOLAHAN DATA, OLEH KARENA ITU TIDAKLAH MENGEJUTKAN JIKA SEORANG MANAJER PENGOLAHAN DATA LEBIH TERTARIK PADA PROGRAM YANG TERORGANISASI DENGAN BAIK DAN DENGAN PENDEKATAN PEMROGRAMAN YANG SISTIMATIK, DIBANDING DENGAN PROGRAM YANG HANYA BERDASARKAN KEPIAWAIAN DALAM PENYUSUNAN KODE. SAAT INI BANYAK SEKALI PROGRAM-PROGRAM YANG DITULIS LANGSUNG DENGAN PENDEKATAN LOGIKA YANG MUDAH DIMENGERTI DAN SEDERHANA, PROGRAM YANG DAPAT DIPERBAIKI DAN DIMODIFIKASI DENGAN MUDAH. TERMINOLOGI PEMROGRAMAN TERSTRUKTUR MENGACU KEPADA SUATU TEKNIK YANG DIKEMUKAKAN PERTAMA KALI OLEH EDSGER DIJKSTRA TEKNIK INI MEMBERI PENEKANAN DALAM HAL PENINGKATAN PRODUKTIVITAS PROGRAMMER DENGAN MENGURANGI WAKTU DALAM PENULISAN, PENGUJIAN, DEBUG, DAN PERBAIKAN PROGRAM. PEMROGRAMAN TERSTRUKTUR MENEKANKAN KREATIFI TAS DALAM PROSES PEMBUATAN PROGRAM, SEPERTI DI PENYUSUNAN RENCANA PROGRAM YANG SISTIMATIK DAN TELITI. KITA AKAN MEMPELAJARI STRUKTUR DASAR YANG DIGUNAKAN DALAM PEMROGRAMAN TERSTRUKTUR, MULAI MENGGUNAKAN FLOWCHART TERSTRUKTUR CHART, DAN PSEUDOCODE SEBAGAI ALAT PERENCANAAN 2

MODULAR PROGRAMMING (MP) SALAH SATU CARA UNTUK MENINGKATKAN PRODUKTIVI TAS PROGRAMMER MELALUI PERENCANAAN YANG BAIK, YAITU DENGAN MENGGUNAKAN MP. DALAM MP, PROGRAM DIPECAH DALAM UNIT-UNIT DISEBUT MODUL MEMILIKI FUNGSI SENDIRI DAN TERBATAS, DAN MODUL DAPAT DIBUAT DAN DI UJI SECARA TERPISAH. PROGRAM ALPHA KARENA UKURAN DAN KEGUNAAN YANG TERBATAS, READ MAKA KESALAHAN YANG DATA READ DATA MUNGKIN TERJADI SEMAKIN KECIL. PROGRAM TERDIRI DARI MODUL UTAMA ATAU PROGRAM UTAMA DAPAT MEMINDAHKAN KENDALI KE SUBMODUL AGAR MODUL PERFORM CALC DAPAT MELAKSANAKAN FUNGSINYA, TETAPI SETIAP SUBMODUL HARUS KEMBALI MENYERAHKAN KENDALI KEPADA PROGRAM UTAMA PERFORM CALC JIKA FUNGSI SUBMODUL INI DEMIKIAN KOMPLEK, MAKA SUBMODUL INI DAPAT MODUL 3 PULA DIPECAH KEDALAM BEBERAPA MODUL. WRITE RESULT SETIAP MODUL HANYA MELAKSANAKAN FUNGSI YANG TERBATAS. MISALNYA STOP PEMBACAAN RECORD, PENCETAK AN OUTPUT, MANIPULASI DATA, WRITE RESULT END MENGENDALIKAN MODUL LAIN, ATAU KOMBINASI DARI HAL DIATAS. SEBUAH MODUL DAPAT MEMINDAHKAN KENDALI KE MODUL LAIN, TETAPI SETIAP MODUL HARUS ME-NGEMBALIKAN KENDALINYA KE MODUL ASAL. HASIL YANG DIBUAT OLEH SEBUAH MODUL DAPAT DIGUNAKAN OLEH MODUL LAINNYA. KARENA MODUL BERDIRI SENDIRI, PROGRAMMER BERBEDA DAPAT BEKERJA SECARA SIMULTAN DALAM BAGIAN BERBEDA DALAM SEBUAH PROGRAM. SEBUAH MODUL DAPAT DIUBAH TANPA MENGGANGGU MODUL LAIN, ASAL 3 FUNGSINYA TIDAK BERUBAH.

IMPLEMENTASI PENDEKATAN MODULAR MP DIIMPLEMENTASIKAN MENGGUNAKAN SUBROUTINE DAPAT DITINJAU DARI BERBAGAI PERSPEKTIF, TETAPI KITA MEMBATASI HANYA PADA INTERNAL DAN EKSTERNAL SUBROUTINE INTERNAL LEBIH SERING DIGUNAKAN DALAM PROSES 000 PENGOLAHAN DATA, MAKA KITA AKAN MEMBAHASNYA LEBIH DULU KEMUDIAN DILANJUTKAN DENGAN PEMBAHASAN SUBROUTINE EKSTERNAL. CALL SUBROUTINE INTERNAL --------SUBROUTINE --------SUB_IN ADALAH BAGIAN DARI PROGRAM YANG MENGGUNAKANNYA. FUNGSI SUB_IN MUNGKIN DIPERLUKAN OLEH LEBIH DARI SATU BAGIAN DALAM PROGRAM, TETAPI PENGKODEAN YANG MUNCUL DALAM PROGRAM HANYA SATU KALI. PROGRAM AKAN MENGALIHKAN KENDALINYA KE SUB_IN BILA FUNGSI RETURN PEKERJAAN SUBROUTINE DIBUTUHKAN. CALL SUBROUTINE JIKA PEKERJAAN TELAH DILAKUKAN OLEH SUB_IN, KENDALI ---------DIKEMBALIKAN KE PEMBERI KENDALI. -----------INSTRUKSI YANG DIGUNAKAN ADALAH CALL DAN RETURN SUBROUTINE MENGEMBALIKAN KENDALI KEPEMBERI INSTRUKSI CALL SETELAH FUNGSI PEKERJAAN SELESAI DILAKSANAKAN. PEMANGGILAN SUB_IN DALAM SEBUAH PROGRAM FLOWCHART DIREPRESENTASI KAN DENGAN SIMBOL PROSES YANG DIBERI STRIP 4 NAMA SUB_IN HARUS DITULISKAN DALAM SIMBOL

FLOWCHART DARI SUB_IN AKAN MERUPAKAN BAGIAN DARI PROGRAM FLOWCHART YANG MEMANGGILNYA. START SUBROUTINE EKSTERNAL SUBROUTINE ALPHA SUB_EKS DIGUNAKAN UNTUK PEKERJAAN YANG DIBUTUHKAN LEBIH DARI SATU PROSES PROGRAM SUB_EKS DIPERLAKUKAN SEBAGAI SEBUAH PROGRAM TERPISAH. INSTRUKSI DALAM SUB_EKS DITRANSLASI SEPERTI HALNYA PROGRAM LAIN. OBJECT PROGRAM YANG DIHASILKAN DISIMPAN DALAM SEBUAH LIBRARI, PROSES SEHINGGA SETIAP PROGRAM DAPAT MENGGUNAKAN, DENGAN DEMIKIAN PROSES DESAIN, PENULISAN, DEBUGGING HANYA DILAKUKAN SEKALI. MENGGUNAKAN SUB_EKS, PROGRAMMER HARUS TAHU LETAK SUBROUTINE, NAMA SUBROUTINE, BAGAIMANA MENGALIHKAN DATA, DAN BAGAIMANA RETURN MENERIMA JAWABAN YANG DATANG. PENGGUNAAN SUB_EKS DALAM PROGRAM FLOWCHART DIDEFINISIKAN MENGGUNAKAN SIMBOL PROSES YANG DIWAKILI OLEH SIMBOL TIDAK DIJELASKAN PADA FLOWCHART, PENJELASAN DARI PROSES DAPAT DILIHAT PADA DOKUMEN LAIN. SUB_EKS DIGUNAKAN UNTUK PROSES YANG SANGAT RUMIT DAN BANYAK DIGUNAKAN, SEPERTI ROUTINE MATEMATIK, STATISTIK, ATAU FILE SORTING. PROGRAMMER DAPAT MENGAKSES DAN MENGGUNAKAN SUB_EKS TANPA PERLU MENGERTI TEKNIK YANG DIGUNAKAN. 5

1. 2. 3. MASALAH DALAM PENDEKATAN MODULAR KEPEMILIKAN PROGRAM MENENTUKAN MODUL YANG AKAN DIBUAT DALAM HAL PENEKANAN PADA FASE PERENCANAAN PROGRAM CONTOH MODUL PROGRAM CONTOH PADA BAB 1, YAITU PERHITUNGAN ANGKA DAN 000 PERHITUNGAN GAJI, MEMPUNYAI TIGA FUNGSI UTAMA: MAIN PROGRAM 1. PEMBACAAN DATA MODULE 2. PEMROSESAN DATA 3. MENCETAK HASIL 100 200 TOP-DOWN PROGRAMMING READ PRIMERING DATA RECORD PENDEKATAN TOP-DOWN SEBAGAI 300 PRINT SUATU COUNTER TEKNIK YANG BERGUNA DALAM PERENCANAAN PROGRAM MODULAR. CHART STRUCTURE SC ADALAH ALAT YANG UMUM DIPAKAI DALAM PERENCANAAN TOP-DOWN PROGRAMMING, SERING JUGA DISEBUT HIRARKI ATAU TINGKATAN, ATAU CHART ATAU VISUAL TABEL OF CONTENTS-VTOC. TIDAK ADA STANDAR YANG DIGUNAKAN DALAM SC 6

PEMECAHAN SEBUAH MODUL, PALING SEDIKIT HARUS DALAM 2 SUBMODUL PADA LEVEL DIBAWAHNYA. 000 MAIN MODUL; 000 UPDATE INVENTORY FILE IDENTIFIKASI MODUL 100 LOAD PRODUCT TABLE 200 PROCESS TRANSACTION 300 PRINT FINAL TOTAL NAMA MODUL MERUPAKAN DESKRIPSI DARI APA YANG DIKERJAKAN OLEH MODUL TERSEBUT. IDENTIFIKASI SEBUAH MODUL JUGA BERUPA ANGKA. DALAM HAL INI ADA BANYAK CARA PENOMORAN MODUL. 110 READ TRANS RECORD 120 READ MASTER RECORD 130 UPDATE INVENTORY LEVEL 140 WRITE MASTER RECORD 150 PRINT ERROR MESSAGE 160 WRITE LINE 210 READ TABLE RECORD 220 STORE TABLE DAT 160 WRITE LINE REVIEWING THE STRUCTURE CHART SETELAH CHART STRUKTUR DISIAPKAN, TINJAU ULANG STUKTUR TERSEBUT UNTUK MEYAKINKAN BAHWA STURKTUR TERSEBUT TELAH LENGKAP DAN SESUAI. CHART STRUKTURE DAN FLOWCHART PROSES PENGEMBANGAN SC DIMULAI DENGAN MENDEFINISIKAN MODUL PROGRAM UTAMA. JIKA MODUL BERISI BEBERAPA FUNGSI SUBORDINAT, MAKA MODUL DIPECAH DAN DILETAKKAN PADA LEVEL DIBAWAHNYA, DAN SUB-MODUL INI AKAN MENJADI BAGIAN DARI MODUL ASALNYA. MODUL MUNGKIN TIDAK MEMILIKI SUB-MODUL, ATAU MEMILIKI LEBIH DARI SATU SUB-MODUL BOLEH MEMILIKI HANYA SEBUAH SUB-MODUL APABILA SUB-MODUL TERSEBUT MEMILIKI FUNGSI PENGERJAAN YANG DIBUTUHKAN OLEH LEBIH DARI SATU MODUL ATAU SUB-MODUL DALAM PROGRAM TERSEBUT. PERENCANAAN TOP–DOWN MEMBERI PENEKANAN AWAL PADA KESELURUHAN 7 STRUKTUR PROGRAM DAN DETAIL DARI FUNGSI INDIVIDUAL AKAN DILIHAT KEMUDIAN APABILA SC TELAH SELESAI DIBUAT.

CHART STRUKTURE DAN FLOWCHART SC ADALAH ALAT DIGUNAKAN DALAM MERENCANAKAN STRUKTUR PROGRAM. SC MEMPERLIHATKAN FUNGSI YANG AKAN DILAKUKAN DAN HUBUNGAN ANTARA MODUL, TETAPI HANYA SEDIKIT BERISI INFORMASI SEBAGAI DASAR BAGI PROSES PENGKODEAN PROGRAM. 000 SC TIDAK MEMPERLIHATKAN SECARA JELAS SETIAP UPDATELANGKAH DAN BAGAIMANA KONDISI DAN DALAM URUTAN YANG BAGAIMANA MODUL AKAN DIGUNAKAN. INVENTORY SC LEBIH MUDAH DIMENGERTI OLEH USER DIBANDING DENGAN PROGRAM FILE FLOWCHART. SC DIGUNAKAN SEBAGAI ALAT KOMUNIKASI ANTARA PROGRAMMER DAN USER CONTOH SEBUAH SC DARI MASALAH PERHITUNGAN BILANGAN DIBERIKAN 100 DIBAWAH INI. 200 LOAD PRINT PRODUCT FINAL DILAKUKAN PADA PEMPROGRAMAN TOP–DOWN, MODUL LEVEL 0, PENGKODEAN TABLE TOTAL PERTAMA KALI. PENGKODEAN MODUL DIUJI DENGAN MENGGUNAKAN MODUL DUMMY SEBAGAI PENGGANTI MODUL LEVEL 1. PERHATIAN BERIKUTNYA DAPAT DILANJUTKAN UNTUK MELAKSANAKAN 110 LEVEL 1. 120 PENGKODEAN MODUL READ STORE BILA MODUL LEVEL 1 SELESAI PROSES PENGKODEANNYA. UNTUK MENGUJI LOGIKA TABLE MODUL INI, DIGUNAKAN MODUL DUMMY PULA DEMIKIAN SETERUSNYA RECORD DATA KARENA SC TIDAK MEMBERIKAN IDIKASI MENGENAI UKURAN MODUL, MAKA SAAT PENGKODEAN KITA BARU MENYADARI MUNGKIN ADA MODUL YANG BESAR, UNTUK INI SC HARUS DIREVISI KEMBALI AGAR DIPEROLEH SEBUAH PROGRAM MODULAR YANG TERORGANISASI DENGAN BAIK. 8

STRUKTUR PEMROGRAMAN DESAIN PEMROGRAMAN TERSTRUKTUR MULANYA ADALAH MENGURANGI KEBINGUNGAN AKIBAT PENGGUNAAN CABANG ATAU INSTRUKSI PENCABANGAN GROSS ← GOTO. HOUR * TIDAK ADA SEBUAH PERJANJIANPUN YANG MENYATAKAN BAHWA PROGRAM RATE HARUS BEBAS DARIINSTRUKSI 1 PENCABANGAN PEMROGRAMMAN TERSTRUKTUR YANG MENGANGGAP BAHWA INSTRUKSI PENCABANGAN TIDAK BOLEH DIGUNAKAN SAMAOUTEMPL SEKALI. ← PEMROGRAMMAN TANPA MENGGUNAKAN INSTRUKSI GOTO DISEBUT GOTOLESS INTEMPL PROGRAMMING. INSTRUKSI 1 TIGA POLA LOGIKA PEMROGRAMMAN TERSTRUKTUR TOTAL ← 1. STRUKTUR SEQUENCE 2. STRUKTUR LOOP INSTRUKSI 1 3. STRUKTUR SELECTION TOTAL * GROSS PRINT DETAIL PADA SS ATAU BERURUT, INSTRUKSI DIEKSEKUSI SESUAI DENGAN URUTAN DARI LINE INSTRUKSI SBB: STRUKTUR SEQUENCE SIMBOL EMPAT PERSEGI PADA SS MENYATAKAN: 1. OPERASI INPUT / OUTPUT 2. OPERASI ARITMATIK 3. OPERASI YANG MENCAKUP PEMINDAHAN DATA PADA MEMORI KOMPUTER SIMBOL YANG TIDAK DAPAT DINYATAKAN DALAM STRUKTUR BERURUT ADALAH 9 SIMBOL KEPUTUSAN.

STRUKTUR LOOP SL ATAU ITERASI MEMBERIKAN PENGULANGAN SATU ATAU BEBERAPA INSTRUKSI SELAMA DIBUTUHKAN, PROBLEM YANG MENGACU PADA SEBUAH KONDISI YANG ADA. MUNCUL SIMAK FLOWCHART BERIKUT MASALAH MUNCUL BILA MENCAPAI EOF, KARENA TIDAK ADA JALAN KELUAR DARI LOOP SEBELUM KITA MEMBACA RECORD LAINNYA INSTRUKSI 1 INSTRUKSI 2 ……………. x? INSTRUKSI DIDALAM LOOP HANYA AKAN DILAKSANAKAN ……………. APABILA KONDISI EOF BENAR ATAU TRUE (T). KARENA TIDAK ADA INSTRUKSI CABANG YANG n DIIZINKAN, TIDAK ADA CARA LAIN UNTUK DAPATINSTRUKSI MEMASUKI LOOP TANPA MEMENUHI KONDISI. 10

STRUCTURE PILIHAN SP DIGAMBARKAN PADA GAMBAR BERIKUT SEPERTI HALNYA SL DAN SS, PADA SP HANYA TERDAPAT SATU TITIK MASUK DAN KELUAR KARENA HANYA ADA SATU TITIK KELUAR, APAPUN YANG ADA PADA STRUCTURE AKAN DIEKSEKUSI, TANPA MEMANDANG KEADAAN KONDISI. SEPERTI AKTIVITAS YANG DINYATAKAN DALAM SL, SP DAPAT PULA DIKOMBINASIKAN DINYATAKAN DALAM SEBUAH SIMBOL TUNGGAL, SEPERTI PADA SEBUAH STRUCTURE BERURUT. CHART STRUKTUR DAN STRUKTUR PROGRAM KITA DAPAT MENGGUNAKAN SS, SL ATAU SP UNTUK MENGGAMBARKAN PROGRAM FLOWCHART YANG DINYATAKAN DENGAN SEBUAH CHART STRUKTUR. SETIAP PENGOLAHAN YANG DILAKUKAN OLEH SALAH SATU MODUL DAPAT MEWAKILI SEBAGAI SEBUAH SEKUEN DARI KETIGA STRUKTUR PENGKODEAN BAGAIMANA SEBUAH SS, SL DAN SP PENGKODEANNYA SANGAT TERGANTUNG DARI BAHASA PEMROGRAMAN YANG AKAN DIGUNAKAN. TIDAK SEMUA BAHASA PEMROGRAMAN DAPAT MENGGUNAKAN STRUKTUR TERSEBUT. COBOL, FORTRAN 77, PASCAL DAN BEBERAPA VERSI BASIC DAPAT MENGGUNAKAN STRUKTUR TERSEBUT TANPA MEMERLUKAN INSTRUKSI PENCABANGAN. BEBERAPA VERSI BASIC LAINNYA, ASSEMBLER DAN RPG TIDAK DAPAT DIPAKAI TANPA MELAKUKAN IMPROVISASI STRUKTUR, DAN PEMAKAIAN INSTRUKSI PENCABANGAN 11

PSEUDOCODE STRUKTUR BERURUT GAJI ← JAM KERJA X GAJI PER JAM TOTAL← TOTAL + GAJI MOVE INPUT NOMOR PEKERJA KE OUTPUT RECORD PRINT DETAIL LINE EKSEKUSI AKAN PSEUDOCODE STRUKTUR LOOP TERHENTI BILA SL DIILUSTRASIKAN DENGAN INSTRUKSI DOKONDISI WHILE TIDAK DO WHILE (CONDITION – A) TERPENUHI INSTRUCTION – 1 INSTRUCTION – 2 ……. END DO PSEUDOCODE STRUKTUR PILIHAN SP DIGAMBARKAN DENGAN INSTRUKSI IF–THEN–ELSE IF CONDITION – B THEN INSTRUCTION – T ELSE INSTRUCTION – F END IF ATAU IF CONDITION – B THEN INSTRUCTION – T ELSE (NULL) END IF 12

PSEUDOCODE DALAM PROGRAM TERSTRUKTUR 000– COUNTER–TYPES OF NUMBERS SET POSITIVE, NEGATIVE, AND ZERO COUNTER TO ZERO CALL 100–PRIMING–READ CALL 200–PROCESS–NUMBER–RECORD CALL 300–WRITE–COUNT 100–PRIMING–READ CALL 210–READ–NUMBER RETURN 200–PROCESS–NUMBER–RECORD DO WHILE NOT EOF CALL 220–ACCUMULATE–COUNTS END DO RETURN 210–READ–NUMBER READ NUMBER RECORD RETURN 220–ACCUMULATE–COUNTS IF NUMBER 0 THEN ADD 1 TO POSITIVE COUNTER ELSE IF NUMBER 0 THEN ADD 1 TO NEGATIVE COUNTER ELSE ADD 1 TO ZERO COUNTER END IF RETURN 300 -PRINT COUNTER RETURN 13

FOR LOOP BASIC, FORTRAN 77, PASCAL, DAN COBOL MEMILIKI STRUKTUR FOR LOOP YANG DIKENDALIKAN OLEH COUNTER FOR I = J TO K BY L INSTRUKSI REPEAT UNTIL INSTRUCTION – 1 PASCAL MEMILIKI INSTRUKSI INSTRUCTION – 2 REPEAT UNTIL END FOR REPEAT INSTRUCTION – 1 ………. INSTRUKSI INI EKIVALEN DENGAN UNTIL (CONDITION – P) INSTRUKSI DO WHILE BERIKUT INI : SET I TO J DO WHILE I K INSTRUCTION – 1 ADD 1 TO I END DO PADA INSTRUKSI INI, INSTRUKSI DIDALAM LOOP DIEKSEKUSI LEBIH DAHULU SEBELUM DIPERIKSA. INSTRUKSI PERFORM UNTIL COBOL MEMILIKI INSTRUKSI PERFORM UNTIL YANG SAMA DENGAN INSTRUKSI DO WHILE 14

1. 1 PENDAHULUAN ALJABAR MATRIKS PENGGUNAAN ALJABAR MATRIKS DALAM FORMULASI DAN SOLUSI MASALAH REKAYASA ENJINERING YANG KOMPLEK MENJADI SANGAT PENTING SEJALAN DENGAN PERKEMBANGAN PENGGUNAAN TEKNOLOGI KOMPUTER DIJITAL PENGGUNAAN MATRIKS MEMBERIKAN PERUBAHAN YANG SIGNIFIKAN DALAM KSPRESIKAN BANYAK MASALAH. PENGGUNAAN OPERASI MATRIKS MEMBERIKAN TINGKATAN LOGIKA PROSES YANG DAPAT BERADAPTASI DENGAN BAIK DALAM SOLUSI PERSAMAAN SIMULTAN BAGI SISTEM-SISTEM BESAR MENGGUNAKAN KOMPUTER. 1. 2 KONSEP DASAR DAN DEFINISI 1. 2. 1 NOTASI MATRIKS NOTASI SUATU CARA UNTUK MEMUDAHKAN PENULISAN PERSAMAAN SIMULTAN. MATRIKS JAJARAN BILANGAN YANG DISEBUT ELEMEN DENGAN NOTASI aij 6/7/2021 15

ATAU Amn xnl = bml (I. 2 -3) A 1 n MATRIK BARIS ATAU VEKTOR BARIS An 1 MATRIKS KOLOM ATAU VEKTOR KOLOM 1. 2. 2 TIPE MATRIKS A. MATRIKS BUJUR SANGKAR C. MATRIKS SEGITIGA BAWAH B. MATRIKS SEGITIGA ATAS 6/7/2021 D. MATRIKS DIAGONAL 16

E. MATRIKS KESATUAN atau MATRIKS IDENTITAS dan MATRIKS NOL H. MATRIKS SKEW MATRIKS BUJUR SANGKAR aij = -aij , UNTUK SEMUA ij, TETAPI TIDAK SEMUA ELEMEN aij = 0, SEPERTI: F. TRANSPOSE MATRIKS I. MATRIKS SKEW SIMETRI G. MATRIKS SIMETRIS BILA aij = aji MATRIKS SIMETRIS, 6/7/2021 MATRIKS BS A = -AT, DIMANA (aij = -aij), DAN (aii = 0) 17

J. MATRIKS ORTHOGONAL AT A = U = A AT UNTUK SUATU MATRIKS BUJUR SANGKAR DENGAN ELEMEN RILL, MATRIKS A DISEBUT MATRIKS ORTHOGONAL Tabel I. 1: Ringkasan N. karakteristik matriks MATRIKStipe-tipe UNITARY (UNITER) K. MATRIKS KONJUGATE MATRIKS BS A DISEBUT JUGA MATRIKS UNITER Kondisi A=-A BILA (A*)TTipe A =Matriks U = A (A*)T O. MATRIKS SINGULAR Nol SINGULAR DAN NON Simetris MATRIKS SINGULAR ADALAH MATRIKS YANG NILAI DETERMINANNYA = 0, L. MATRIKS HERMITIAN Skew Simetris A = - AT MATRIKS NON SINGULAR ADALAH MATRIKS YANG matriks bs kompleks berlaku A = (A*)T NILAI DETERMINANNYA 0. Real A = A* A= AT A = - A* Imajiner murni A = (A*)T Hermitian A = (A*)T Skew Hermitian ATA = U Orthogonal M. MATRIKS SKEW-HERMITIAN BILA A = -(A*)TA = U 6/7/2021 Uniter 18

1. 3. DETERMINAN PENYELESAIAN PERSAMAAN (I. 3 -1) DENGAN CARA DETERMINAN DIDAPAT : 1. 3. 1 DEFINISI DAN SIFAT-SIFAT DETERMINAN PENYELESAIAN DUA PERSAMAAN SIMULTAN diselesaikan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel SUBSTITUSI HARGA x 1 KEDALAM PERSAMAAN (I. 3 -1) AKAN DIPEROLEH EKSPRESI ADALAH HARGA DETERMINAN DARI KOEFISIEN MATRIKS A, DIMANA 6/7/2021 19

1. 3. 2 MINOR DAN KOFAKTOR DETERMINAN DIPEROLEH DENGAN MENGELUARKAN ELEMEN-ELEMEN BARIS i, KOLOM j DISEBUT MINOR DARI ELEMEN aij , JADI : 1. 3. 3 ADJOINT JIKA ELEMEN DARI MATRIKS BS DIPERTUKARKAN DENGAN KOFAKTORNYA, LALU DITRANPOSE, HASILNYA DISEBUT MATRIKSASAL. ADJOINT YANG ORDE MATRIKS MINOR LEBIH KECIL SATU DARI ORDE DETERMINAN DINYATAKAN DENGAN A+: DUA BARIS DENGAN MENGELUARKAN DAN KOLOM SUATU MINOR DENGAN MINOR ORDE 2 LEBIH KECIL DARI ASALNYA. DETERMINAN DAPAT DICARI DENGAN CARA BERIKUT: o. KOFAKTOR DARI SUATU ELEMEN ADALAH (-1)i+j (MINOR DARI aij) DIMANA ORDE DARI MINOR aij ADALAH n-1. KOFAKTOR DARI a 21 DINYATAKAN DENGAN K 21, YAITU : SECARA RINGKAS DETERMINAN ADALAH : SEDANGKAN KOFAKTOR Kij DAPAT DICARI DARI MINOR Mij 6/7/2021 20

1. 4 OPERASI MATRIKS 1. 4. 1 MATRIKS SAMA Amn = Bmn DIMANA aij = bkl I. 4. 2 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS Amn Bmn = Cmn DIMANA cij = aij bij. ATURAN YANG BERLAKU A +B= B+A A +B +C = A+(B+C) = (A+B)+C Komutativ Assosiatif 1. 4. 3 PERKALIAN MATRIKS A. PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR k. A = B bij = k x aij Utk semua i dan j k. A = B k (A +B) = k. A+k. B = (A+B) k komutativ distributiv B. PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS 6/7/2021 Am x n B n x k = C m x k 21

AB bentuk BA, KECUALI Dalam umum dapat UNTUK dituliskan MATRIKS BUJUR SANGKAR A (B + C) = AB + BC aturan distributiv A (BC) = (AB) C = ABC aturan asosiatif dimana NAMUN DEMIKIAN, i = 1, 2, …. . , m (JML. BARIS MATRIK A) j = 1, 2, …. . . , k (JML. KOLOM MATRIKS B) AB = 0, TIDAK BERARTI A = 0 ATAU B = 0 contoh CA = CB, TIDAK BERARTI A = B JIKA C = AB, DAN TRANSPOSE C SAMA DENGAN HASIL PERKALIAN TRANSPOSE MATRIKS A DAN B, INI MERUPAKAN ATURAN REVERSAL, DIMANA C T = B T AT. DO 30 I = 1, M DO 20 J = 1, L C(I, J) = 0 DO 10 K = 1, N C(I, J) = C(I, J) + A(I, K)*B(K, J) 10 CONTINUE 20 CONTINUE 30 CONTINUE Gambar I-1. Program perkalian matrik berdimensi (m x n) dan (n x l) 6/7/2021 22

C. INVERSE MATRIKS Pembagian tidak dikenal dalam aljabar matriks, kecuali dengan skalar. Operasi dilakukan dengan membagi semua elemen matriks dengan skalar. Namun demikian Atau dalam bentuk matriks Ax = b DIMANA x = Cb (II. 4 -2) BILA DIPEROLEH PENYELESAIAN YANG UNIK BAGI PERSAMAAN (II. 4 -1) ARTINYA MATRIKS C ADA DAN MERUPAKAN INVERSE A YANG DITULIS DENGAN NOTASI A-1, DAN BERLAKU: AA-1 = A-1 A = U UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN (II. 4 -2), Ax = b A-1 Ax = A-1 b Ux = A-1 b ORDE SEMUA MATRIKS HARUS DIJAGA SAMA. BILA DETERMINAN MATRIKS BERHARGA NOL, MAKA TIDAK ADA INVERSE DARI MATRIKS 6/7/2021 23

METODA MENGHITUNG INVERSE MATRIKS, AL jadi C. 1 METODA GAUSS-JORDAN DENGAN TRANSFORMASI ELEMENTER DAPAT DIUSAHAKAN MENJADI : CARA PENYELESAIAN DARI PERSAMAAN (II. 4 -3) MENJADIAI (II. 4 -4) DAPAT DIPERGUNAKAN DENGAN PROGRAM SBB: BILA A SEBUAH METODA MATRIKS GAUSS-JORDAN BS NON SINGULAR BERDIMENSI n x n, MAKA AI AKAN DAPAT DITRANSFORMASIKAN MENJADI IA-1 AI MATRIKS EKSISTENSI ATAU AUGMENTED MATRIX, SEPERTI : DO 30 K = 1, N P = A(K, K) DO 10 J = 1, 2*N 10 A(K, J) = A(K, J)/P DO 30 I = 1, N IF(I. NE. K)THEN P = A(I, K) DO 20 J = 1, 2*N 20 A(I, J) = A(I, J) – P*A(K, J) ENDIF Maka 30 CONTINUE Gambar I-2. Program Inverse matriks dengan metoda Gauss-Jordan. CONTOH HITUNG INVERS MATRIKS BERIKUT 6/7/2021 24

MAKA UNTUK MATRIKS A YANG DIPERLUAS PROGRAM MENJADI SEBAGAI BERIKUT: 10 20 30 DO 30 K = 1, 2 P = A(K, K) DO 10 J = 1, 4 A(K, J) = A(K, J)/P DO 30 I = 1, 2 IF(I. NE. K)THEN P = A(I, K) DO 20 J = 1, 4 A(I, J) = A(I, J) – P*A(K, J) ENDIF CONTINUE HASIL AKHIR PROGRAM ADALAH SBB: 6/7/2021 25

C. 2 METODA DOOLITLE DEKOMPOSISI MATRIKS A MENJADI: A=LU KARENA A A-1 = I Maka (L U)-1 = I L U U-1 L-1 = I L L-1 = I Dengan demikian A-1 = U-1 L-1 DENGAN CARA INI, A-1 DAPAT DICARI C. 3 METODA CROUT METODA INI MIRIP METODA DOOLITLE, YAKNI MEMANFAATKAN INVERSE DARI MATRIKS U DAN L, YAITU : A-1 = U-1 L-1 , PERBEDAAN TERLETAK PADA PENDEFINISIAN MATRIKS L DAN U, SBB: 6/7/2021 26

C. 4 METODA CHOLESKY BERMANFAAT UNTUK MENCARI INVERSE MATRIKS SIMETRIS BERDIAGONAL KUAT, BERHARGA POSITIF YANG UMUM TERDAPAT PADA MATRIKS ADMITANSI BUS SUATU SISTEM TENAGA ELEKTRIK. METODA JUGA DAPAT DIGUNAKAN UNTUK SISTEM BESAR, KARENA MAMPU MENGHEMAT PENGGUNAAN INGATAN KOMPUTER, DENGAN MEMANFAATKAN TEKNIK DEKOMPOSISI A = LU. UNTUK MATRIKS SIMETRIS BERLAKU : A = AT Maka L U = (L U)T atau L U = UT LT Artinya L = UT dan U = LT Jadi dekomposisi menjadi A=LU A = L LT (II. 4 -9) Maka A-1 = (L LT)-1 A-1 = (LT)-1 L-1 (II. 4 -10) DEKOMPOSISI DARI A MENJADI LLT DILAKUKAN DENGAN LEBIH CEPAT DARIPADA DEKOMPOSISI LU, 6/7/2021 27

PERHATIKAN HAL BERIKUT: penyelesaian persamaan kalike A = L LT APABILA KITA PERKALIKAN KEDUA MATRIKS LLT, DIDAPAT: diperoleh hubungan berikut ini : 6/7/2021 28

RUMUS UNTUK MEMPEROLEH ELEMEN L ADALAH : dari didapat dan didapat 6/7/2021 29

DARI PERSAMAAN PROGRAM SEDERHANA PEMBENTUKAN MATRIK L DAN LT: DO 20 I = 1, N DO 10 J = I, N 10 READ(1, *)A(J, I) CONTINUE DAN URAIAN 20 SEBELUMNYA, HARGA-HARGA ELEMEN MATRIKS DAPAT DO 60 K = 1, NSBB: DIHITUNG LANGSUNG BERURUTAN DO 40 I = 1, K-1 JMLH = 0 DO 30 J = 1, I-1 30 JMLH = JMLH + A(I, J)*A(K, J) 40 A(K, I) = (A(K, I) – JMLH)/A(I, I) JMLH = 0 KEUNTUNGAN D 0 50 J = 1, K-1 1. KITA HANYA MEMERLUKAN ENTRY-ENTRY A SEBARIS DEMI SEBARIS, 50 JMLH = JMLH + A(K, J)*A(K, J) SEHINGGA JIKA DIPERLUKAN DATA A DISIMPAN DALAM FILE DAN 60 A(K, K) = SQRT((A(K, K) – JMLH)) DIBACA SAAT DIBUTUHKAN SAJA. 2. OPERASI MEMUNGKINKAN MEMAKAI SPACE FILE YANG SAMA UNTUK Gambar I-3. Program sederhana dekomposisi Cholesky MENYIMPAN DATA HASIL DEKOMPOSISI ATAU DATA MATRIKS L DAN KITA HANYA MEMERLUKAN ENTRY-ENTRY MATRIKS SEGITIGA, 6/7/2021 30

SETELAH DIPEROLEH DEKOMPOSISI MATRIKS A, BAIK LT ATAU L, LANGKAH BERIKUT ADALAH: Atau 1. MENCARI L-1 2. MENCARI (L-1)T 3. MEMPERKALIKAN (L-1)T L-1 ANDAI MATRIKS L YANG DIPEROLEH ADALAH: INVERSE DARI MATRIKS L ADALAH L-1 YANG MEMENUHI LL-1 = I. UNTUK MENCARI L-1, DAPAT DIMISALKAN MATRIKS LAIN B = L-1, MAKA: kalikan DALAM BENTUK UMUM, PERS UNTUK MEMPEROLEH ELEMEN-ELEMEN B JIKA KITA PERKALIKAN LB, DIPEROLEH: ADALAH: 6/7/2021 31

PROGRAM SEDERHANA INVERSE MATRIKS SEGITIGA BAWAH DIBERIKAN DALAM GAMBAR I-4. SETELAH L-1 DIPEROLEH, TAHAP BERIKUT MENGHITUNG (LT)-1 DO 10 I MATRIKS = 1, N L, SBB: KITA MEMILIKI 10 B(I, I) = 1. 0/L(I, I) D 0 40 I = 2, N INVERSE DARI MATRIKS LT ADALAH (LT)-1 MEMENUHI LT (LT)-1 = I. DO 30 J = 1, I-1 MISALKAN MATRIKS LAIN B = (LT)-1, MAKA : JMLH = 0 DO 20 K = 1, I-1 20 JMLH = JMLH – L(I, K)*B(K, J) 30 B(I, J) = B(I, I)*JMLH 40 CONTINUE T DAN DAPAT MEMILIKI MATRIKS SEGITIGA ATAS DARI L , SBB: Gambar I-4. Program sederhana inverse matriks segitiga bawah 6/7/2021 32

DO 10 I = 1, N PERKALIKAN MATRIKS DIPEROLEH HUBUNGAN BERIKUT : 10 B(I, I) = LB, 1. 0/L(I, I) D 0 20 I = 1, N-1 J=I+1 B(I, J) = -L(I, J)*B(J, J)/L(I, I) 20 CONTINUE DO 50 I = 1, N-2 DO 40 J = I+2, N JMLH = KALIKAN 0 DO 30 K = 2, J 30 PERKALIKAN MATRIKS JMLH = JMLH – L(I, K)*B(K, J) JIKA KITA LB DIATAS, DIPEROLEH HUBUNGAN B(I, J) =BERIKUT JMLH/L(I, I) DALAM BENTUK UMUM, : 40 CONTINUE 50 CONTINUE DO 80 I = 1, N-3 DO 70 J = I+3, N JMLH = 0 DO 60 K = 2, J 60 JMLH = JMLH –L(I, K)*B(K, J) B(I, J) =JMLH/L(I, I) 70 CONTINUE 80 CONTINUE GAMBAR I-5. PROGRAM SEDERHANA INVERSE MATRIKS SEGITIGA ATAS 6/7/2021 33

DENGAN DEMIKIAN PENYELESAIAN INVERSE MATRIKS A DENGAN METODA CHOLESKY DAPAT DIKERJAKAN DENGAN MENGGABUNGKAN PROGRAM PADA : ØGAMBAR I-3, ØGAMBAR I-4, DO 10 DAN I = 1, N ØGAMBAR I-5 10 I-1. B(I, I) = 1. 0/L(I, I) ØGAMBAR D 0 20 I = 1, N-1 DO 30 I = 1, M J = SEDERHANA I+1 PROGRAM PEMBENTUKAN MATRIK L DAN LT: DO 20 J = 1, L B(I, J) = -L(I, J)*B(J, J)/L(I, I) C(I, J) = 0 MATRIKS SEGITIGA BAWAH DIBERIKAN PROGRAM SEDERHANA 20 CONTINUE DO 20 INVERSE I = 1, N DO K = 1, N DO 50 I = 1, N-2 DALAM GAMBAR I-4. DO 1010 J = I, N = C(I, J) + A(I, K)*B(K, J) DO 40 J C(I, J) = I+2, N 10 JMLH = 0 READ(1, *)A(J, I) 10 10 I = 1, NCONTINUE DO 20 DO 30 CONTINUE K = 2, J 20 CONTINUE 10 B(I, I) == 1. 0/L(I, I) DO 60 JMLH K 1, JMLH N – L(I, K)*B(K, J) 3030 = D 0 40 I CONTINUE =B(I, J) 2, N = DO 40 I = 1, K-1 JMLH/L(I, I) I-1 40 DO 30 J = 1, CONTINUE JMLH = 0 Gambar I-1. Program perkalian matrik berdimensi (m x n) dan (n x l) JMLH = 0 50 CONTINUE DO 30 J = 1, I-1 DO 20 = 80 1, II-1 = 1, N-3 JMLH = JMLH + A(I, J)*A(K, J) 30 KDO DO 70 J = I+3, 20 40 = JMLH – L(I, K)*B(K, J) A(K, I) JMLH =N(A(K, I) – JMLH)/A(I, I) JMLH = 0= B(I, I)*JMLH 30 B(I, J) JMLH =2, 0 J DO 60 K = 40 CONTINUE D 0 50= JJMLH = 1, –L(I, K)*B(K, J) K-1 60 JMLH 50 JMLH = JMLH + A(K, J)*A(K, J) B(I, J) =JMLH/L(I, I) Gambar Program sederhana inverse matriks segitiga bawah 60 I-4. CONTINUE A(K, K) = SQRT((A(K, K) – JMLH)) 70 80 CONTINUE 6/7/2021 Gambar I-3. Program sederhana dekomposisi Cholesky GAMBAR I-5. PROGRAM SEDERHANA INVERSE MATRIKS SEGITIGA ATAS 34

I. 5 KETIDAK BEBASAN LINEAR DAN RANK MATRIKS I. 5. 1 KETIDAK BEBASAN LINEAR KOLOM-KOLOM DARI AM X N DAPAT DITULIS SEBAGAI VEKTOR-VEKTOR N KOLOM {C 1}{C 2}……. {CN}. BARIS-BARIS AMXN DAPAT DITULIS SEBAGAI VEKTOR-VEKTOR M BARIS {R 1}{R 2}…{RM}. VEKTOR KOLOM ADALAH BEBAS LINEAR JIKA PERSAMAAN : P 1 {C 1}+ P 2 {C 2}+ ……. . + PN {CN} = 0 MEMENUHI HANYA UNTUK SEMUA PK = 0 (K = 1, 2, ……, N). DEMIKIAN PULA HALNYA VEKTOR BARIS ADALAH BEBAS LINEAR JIKA HANYA HARGA NOL SKALAR QR (R =1, 2, …. , M) MEMENUHI PERSAMAAN Q 1 {R 1}+ Q 2 {R 2}+ ……. . + QM {RM} = 0 ADALAH TIDAK MUNGKIN UNTUK MENGEKSPRESIKAN SATU ATAU LEBIH VEKTOR KOLOM BEBAS (ATAU VEKTOR BARIS) SEBAGAI SUATU KOMBINASI LINEAR LAINNYA. JIKA BEBERAPA PK 0 MEMENUHI PERS (), VEKTOR KOLOM TIDAK BEBAS LINEAR. JIKA BEBERAPA QR 0, MEMENUHI PERS (), VEKTOR BARIS TIDAK BEBAS LINEAR. ADALAH MUNGKIN UNTUK MENGEKSPRESIKAN SATU ATAU LEBIH VEKTOR KOLOM (VEKTOR BARIS) SEBAGAI SUATU KOMBINASI LINEAR ATAU LAINNYA. BILAMANA VEKTOR KOLOM (VEKTOR BARIS) DARI A ADALAH TIDAK BEBAS LINEAR, MAKA DETERMINAN A ADALAH NOL. 6/7/2021 35

I. 5. 2 RANK MATRIKS A BERDIMENSI M X N ADALAH SAMA DENGAN JUMLAH MAKSIMUM DARI KOLOM-KOLOM BEBAS LINEAR DARI A ATAU JUMLAH MAKSIMUM BARIS-BARIS BEBAS LINEAR DARI A. MASING-MASING DISEBUT RANK KOLOM DAN RANK BARIS. RANK KOLOM SAMA DENGAN RANK BARIS. RANK MATRIKS SAMA DENGAN ORDE TERBESAAR NON VANISHING DETERMINAN A. SEBAGAI CONTOH, TINJAU MATRIKS A, BERIKUT INI : BARIS-BARIS ADALAH TIDAK BEBAS LINEAR, KARENA PERSAMAAN Q 1 {1 2 4} + Q 2 {2 4 8} + Q 3 {3 8 10} = 0 MEMENUHI UNTUK Q 1 = 0 ; Q 2 = 0; DAN Q 3 = 0 SAMA HALNYA DENGAN KOLOM-KOLOM TIDAK BEBAS LINEAR, KARENA PERSAMAAN MEMENUHI UNTUK P 1 = 6 ; P 2 = -1; DAN P 3 = -1 KARENA TIDAK 2 KOLOM BEBAS LINEAR, MAKA RANK MATRIKS ADALAH 6/7/2021 2 36

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR 2. 1 PENDAHULUAN SPL DISELESAIKAN DENGAN: METODA LANGSUNG DAN ITERASI. SPL DENGAN n 3, PENYELESAIAN DENGAN TEKNIK SEDERHANA TANPA MEMERLUKAN ALAT BANTU HITUNG, SPL n > 3 SOLUSI SEMAKIN RUMIT DAN BUTUH ALAT BANTU. METODA LANGSUNG MAUPUN ITERASI SEPERTI: METODA CRAMER’S, ELIMINASI GAUSSNAIF, GAUSS-JORDAN, CROUT, DAN ITERASI GAUSS-SEIDEL DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENYELESAIKAN SPL. UNTUK MEMAHAMI PENGGUNAAN METODA DIATAS DIBUTUHKAN PENGETAHUAN MENGENAI MATRIKS. METODA LANGSUNG MEMILIKI KELEBIHAN DIBANDINGKAN DENGAN METODA ITERASI: 1. JUMLAH LANGKAH PERHITUNGANNYA YANG PASTI. 2. JUMLAH OPERASI HITUNGAN SANGAT TERGANTUNG PADA TEKNIK KOMPUTASI YANG DIGUNAKAN DAN JUMLAH PERSAMAAN ITU SENDIRI. BILA KOEFISIEN PERSAMAAN MEMBENTUK MATRIKS SIMETRI, PENYELESAIANNYA MEMERLUKAN OPERASI ARITMATIK YANG LEBIH SEDIKIT DIBANDINGKAN DENGAN MATRIKS NON-SIMETRI. STRATEGI PRECONDITIONING DENGAN MELAKUKAN PIVOTING YANG DAPAT DIGUNAKAN DALAM METODA GAUSS DAN GAUSS-JORDAN, SERTA PENGGUNAAN TEKNIK VEKTOR JARANG MERUPAKAN KEMAJUAN YANG DICAPAI DALAM PENYELESAIAN SPL. METODA ITERASI, DARI SEGI INGATAN KOMPUTER TIDAK AKAN TER-SAINGI OLEH METODA LANGSUNG. KELEMAHAN TERLETAK PADA KONVERGENSI YANG SANGAT 6/7/2021 37 LAMBAT. PENGGUNAAN PRECONDITIONING AKAN MEMPERCEPAT KONVERGENSI.

METODA GRAFIS LANGSUNG SUKAR DILAKUKAN UNTUK n > 2, DAN TIDAK PRAKTIS. 2. 2 METODA GRAFIS MEMBANTU DALAM MEMVISUALISASIKAN SIFAT PENYELESAIAN BEBERAPA METODA YANG DIGUNAKAN UNTUK MENYELESAIKAN SPL ORDE KECIL (n. SPL. 3) BEBERAPA GAMBARKOMPUTER, II-2. YANG TIDAKCONTOH MEMBUTUHKAN AL. YANG DAPAT DIGAMBARKAN, SEPERTI CONTOH GAMBAR II-1: 2. 2. 1 METODA GRAFIS TINJAU PERSAMAAN BERIKUT INI : RUBAH PERSAMAAN MENJADI: TITIK SOLUSI YG DICARI PERSAMAAN MENJADI DUA PERS GARIS LURUS: 6/7/2021 38

2. 2. 2 METODA CRAMER’S BILANGAN ANU DARI SPL ORDE n ADALAH xi UNTUK i = 1, 2, ……n DENGAN MISAL Ax = b ATURAN CRAMER’S PENYELESAIAN SPL TERSEBUT ADALAH: MAKA PENYELESAIAN SPL DENGAN ATURAN CRAMER’S CUKUP SEDERHANA, NAMUN JUMLAH OPERASI AKAN MENINGKAT BILA PERSAMAAN BESAR SEHINGGA TIDAK EFISIEN. CARA INI SULIT PULA UNTUK n > 3. 6/7/2021 39

2. 2. 3 METODA ELIMINASI BILANGAN ANU SPL BERUKURAN n VARIABEL DAPAT DITULISKAN SEBAGAI BERIKUT : PENYELESAIAN PERS (II. 2 -1) DILAKUKAN MENGGUNAKAN OBE, SECARA DALAM BENTUK MATRIKS : BERTAHAP MENGELIMINASI VARIABEL-VARIABEL DARI SUATU PERSAMAAN KE PERSAMAAN. (II. 2 -2) UNTUK PENYELESAIAN YANG BENTUK ANTARA YANG PALING DISUKAI MEMENUHI KRITERIA TERTENTU ADALAH BENTUK SEGITIGA BERIKUT: PROGRAM PERHITUNGAN DIBERIKAN PADA GAMBAR II-3: Ax=b ATAU DALAM BENTUK X(N)MATRIKS = C(N)/U(N, N) U x = c. DO 20 I = N-1, 1 (II. 2 -4) JMLH = 0 BENTUK PERSAMAAN (II. 2 -3) DAPAT DISELESAIKAN SECARA BERTAHAP DARI DOPERSAMAAN 10 J = I+1, PERSAMAAN KE n, SAMPAI 1. N 10 JMLH = JMLH + U(I, J)*X(J) 20 X(I) = (C(I) – JMLH)/U(I, I) Gambar II-3. Program sederhana Penyulihan Surut (PS) 6/7/2021 40

2. 2. 4 METODA ELIMINASI GAUSS-NAIF UNTUK MENCAPAI BENTUK PERS (II. 2 -3) DARI BENTUK AWAL PERS (II. 2 -1), DILAKUKAN DENGAN ELIMINASI GAUSS, UNTUK LEBIH JELASNYA PERHATIKAN ILUSTRASI PADA GAMBAR II-4 BERIKUT INI: URUTAN OPERASI PERHITUNGAN DARI ILUSTRASI DIATAS ADALAH LANGKAH PERTAMA ØEliminasi x 1 atau menolkan koefisien : a 21, a 31, ……. . , an 1 ØBaris pivot : baris 1, elemen pivot elemen a 11 ØOperasi pada baris ke 2, dengan pivot (p) = a 21/a 11 ØOperasi pada baris ke 3, dengan pivot (p) = a 31/a 11 SECARA UMUM LANGKAH PERTAMA ADALAH SEBAGAI BERIKUT: 10 20 6/7/2021 do 20 i = 2, n p = a(i, 1)/a(1, 1) do 10 j = 2, n a(i, j) = a(i, j) – p * a(1, j) a(i, 1) = 0 b(i) = b(i) – p * b(1) 41

UNTUK MENYELESAIKAN SPL DENGAN METODA GAUSS-NAIF DIPERLUKAN 2. LANGKAH KEDUA Ø Eliminasi x 2 atau menolkan koefisien: a 32, a 42, ……. . , an 2 PM DAN Ø Baris pivot : baris 2, elemen pivot elemen a 22 Ø Operasi pada baris pivot (p) = a 32/a 22 DO ke 303, Kdengan = 1, N-1 PS. PROSES OPERASI SEPERTI GAMBAR II-4. Ø Operasi pada baris ke 3, MENJADI dengan (p)N = a 31 DALAM /a 11 DO 20 I = pivot K+1, PM P 1, =N-1 A(I, K)/A(K, K) SECARA 2 DALAM PROGRAM SEBAGAI BERIKUT: DOUMUM 30 K =LANGKAH do 20 i = 3, n DO 10 J = K+1, N DO 20 I = K+1, N p = a(i, 2)/a(2, 2) A(I, K)/A(K, K) 10 A(I, J) = A(I, J) – P * A(K, J) do 10 P j ==3, n DO 10 a(i, j) J = =K+1, A(I, K) =a(i, j) 0 N– p * a(2, j) 10 10 A(I, J) – P * A(K, J) a(i, 2)==A(I, J) 0 20 B(I) –= P * B(K) A(I, K) 20 b(i) =– 0 p * b(2) 30 20 PS CONTINUE B(I) = B(I) – P * B(K) X(N) = C(N)/U(N, N) SPL BERUKURAN n, DIBUTUHKAN n-1 LANGKAH ELIMINASI 30 UNTUK CONTINUE DO 50 I = N-1, 1 II-4. Program Penyulihan Maju JMLHGambar =0 DO 40 J = I+1, N 40 JMLH = JMLH + U(I, J)*X(J) LANGKAH-LANGKAH ELIMINASI DIATAS DISEBUT DENGAN PM. 50 X(I) = (C(I) – JMLH)/U(I, I) 6/7/2021 42

2. 2. 4. 1 PERANGKAP-PERANGKAP 1. GALAT PEMBULATAN AKAN SANGAT BERPENGARUH BAGI SPL UKURAN BESAR, KARENA SETIAP HASIL PERHITUNGAN AKAN DIPENGARUHI OLEH HASIL PERHITUNGAN SEBELUMNYA. 2. PEMBAGIAN DENGAN NOL. APABILA KOEFISIEN PERSAMAAN TERLALU KECIL MENDEKATI NOL, ATAU SALAH SATU KOEFISIEN PERSAMAAN BERHARGA NOL, DAPAT MENGAKIBATKAN PEMBAGIAN DENGAN NOL. ILUSTRASI BERIKUT INI AKAN MENUNJUKKAN HAL TERSEBUT. NOL NORMALISASI KOLOM 1 AKAN MENYEBABKAN PEMBAGIAN DENGAN NOL, SEBAB a 11 = 0, DEMIKIAN PULA HALNYA BILAMANA a 11 0 3. SISTEM BERKONDISI BURUK MEMILIKI CIRI AL, Sbb : BILA TERJADI PERUBAHAN KECIL PADA KOEFISIENNYA AKAN MENG AKIBATKAN PERUBAHAN BESAR DALAM SOLUSINYA, DAN DETERMINAN MENDEKATI NOL 6/7/2021 43

PERHATIKAN SPL BERIKUT BILAMANA PERSAMAAN DIRUBAH MENJADI PENYELESAIAN MENJADI 2. 2. 4. 2 PERBAIKAN-PERBAIKAN A. 1 PIVOTING PARSIAL STRATEGI PEMILIHAN ELEMEN PIVOT PADA AWAL ELIMINASI BAIK DARI ELEMEN BARIS ATAU KOLOM (PIVOTING TOTAL), ATAU HANYA PADA ELEMEN BARIS ATAU ELEMEN KOLOM SAJA (PIVOTING PARSIAL) DENGAN MEMILIH ELEMEN YANG MEMILIKI NILAI MUTLAK PADA KOLOM YANG BERSANGKUTAN, DENGAN CARA SEBAGAIMANA ILUSTRASI BERIKUT : 6/7/2021 44

MISAL : Langkah 1: Memilih elemen pivot dari {a 11, a 21, ………an-11, an 1}. Misal terpilih a 11 tidak dibutuhkan pertukaran baris. Langkah berikut mengeliminasi x 1 dari pers baris ke 2 - n, o. Langkah 2: Memilih elemen pivot dari {a 22, a 32, …………, an-12, an 2}. Misal a 32 , diperlukan pertukaran antara baris 2 dan 3, sehingga matriks menjadi: 6/7/2021 45 BERIKUTNYA ADALAH MENGELIMINASI x 2 DARI PERSAMAAN BARIS KE 3 SAMPAI KE n, SEHINGGA MATRIKS MENJADI:

PROGRAM PIVOTING PARSIAL DISAJIKAN DALAM GAMBAR II-5 BERIKUT. 10 20 L=K DO 10 I = K+1, N IF(ABS(A(I, K)). GT. (ABS(A(L, K))) THEN L=I ENDIF CONTINUE IF(ABS(A(L, K)). LE. EPSILON)THEN WRITE(*, *)’PROSES GAGAL’ GOTO 30 ENDIF IF(L. NE. K)THEN DO 20 J = K, N DUMMY = A(L, J) = A(K, J) = DUMMY CONTINUE ENDIF DUMMY = C(L) = C(K) = DUMMY Gambar II-5. Program sederhana pivoting parsial 6/7/2021 46

10 20 30 40 50 60 70 6/7/2021 90 L=K DO 10 I = K+1, N IF(ABS(A(I, K)). GT. (ABS(A(L, K))) THEN L=I ENDIF CONTINUE IF(ABS(A(L, K)). LE. EPSILON)THEN WRITE(*, *)’PROSES GAGAL’ GOTO 90 ENDIF IF(L. NE. K)THEN DO 20 J = K, N DUMMY = A(L, J) = A(K, J) = DUMMY CONTINUE ENDIF DUMMY = C(L) = C(K) = DUMMY DO 50 K = 1, N-1 DO 40 I = K+1, N P = A(I, K)/A(K, K) DO 30 J = K+1, N A(I, J) = A(I, J) – P * A(K, J) A(I, K) = 0 C(I) = C(I) – P * C(K) CONTINUE X(N) = C(N)/U(N, N) DO 70 I = N-1, 1 JMLH = 0 DO 60 J = I+1, N JMLH = JMLH + U(I, J)*X(J) X(I) = (C(I) – JMLH)/U(I, I) END Gambar II-6. Penyelesaian SPL dengan Eliminasi Gauss menggunakan pivoting parsial 47

2. 2. 5 METODA GAUSS-JORDAN VARIASI DARI METODA DISAJIKAN ELIMINASI GAUSS. SEMUA ELEMEN PROGRAM DALAMPERBEDAAN: GAMBAR II-7, BERIKUT INI. DIELIMINASI DARI SELURUH PERSAMAAN, DKL, SEMUA KOLOM DINORMALISIR DENGAN MEMBAGI MASING-MASING ELEMEN DENGAN BILANGAN PIVOTNYA, SEHINGGA BENTUK AKHIR DO 30 IP = 1, N YANG DIDAPAT ADALAH MATRIKS SATUAN. KONSEKUENSInya PENYELESAIAN AKHIR 20 I = 1, N SURUT (PS). : TIDAK MEMBUTUHKANDO PENYULIHAN IF(I. EQ. IP) GOTO 20 OP = - A(I, IP)/A(IP, IP) DO 10 J = IP, N+1 A(I, J) = A(I, J) + OP*A(IP, J) 10 CONTINUE 20 CONTINUE 30 CONTINUE DO 40 I = 1, N OP = A(I, I) DO 40 J = 1, N+1 40 A(I, J) = A(I, J)/OP DO 50 I = 1, N X(I) =xi. A(I, N+1) DENGAN 50 DEMIKIAN, HARGA AKAN DIPEROLEH : Gambar II-7. Program penyelesaian SPL dengan metoda GJ 6/7/2021 48

2. 2. 6 METODA CROUT METODA ELIMINASI GAUSS TERDIRI DUA LANGKAH, SETIAP LANGKAH SELURUH ENTRY MATRIK TERLIBAT SEHINGGA SOLUSI MEMBUTUHKAN WAKTU DAN MEMORI YANG RELATIF BESAR. PERLU UPAYA MENGURANGNYA. M. CROUT ADALAH UPAYA TERSEBUT. SUATU SPL A x = b ATAU L U x = b DENGAN 1. Dari L Y = b, dimana SOLUSI Ax=b LUx=b Ux=Y LY=b didapat SPL DAPAT DISELESAIKAN SBB: 6/7/2021 49

2. Dari U x = Y PROGRAM DEKOMPOSISI CROUT DIPERLIHATKAN GAMBAR II-8: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 6/7/2021 DO 10 I = 1, N L(I, 1) = A(I, 1) DO 20 J = 2, N U(1, J) = A(1, J)/L(1, 1) DO 40 J = 2, N-1 DO 40 I = J, N JMLH = 0 DO 30 K = 1, J-1 JMLH = JMLH + L(I, K)*U(K, J) L(I, J) = A(I, J) - JMLH DO 60 J = 2, N-1 K = J+1, N SOLUSIDO 60 JMLH = 0 DO 50 I = 1, J-1 JMLH = JMLH + L(J, I)*U(I, K) U(J, K) = (A(J, K) – JMLH)/L(J, J) JMLH = 0 DO 70 K = 1, N-1 JMLH = JMLH + L(N, K)*U(K, N) L(N, N) = A(N, N) – JMLH Y(1) = C(1)/L(1, 1) SPLDO DAPAT SBB: 90 I = 2, DISELESAIKAN N JMLH = 0 DO 80 J = 1, I-1 JMLH = JMLH + L(I, J)*(Y(J) Y(I) = (C(I) – JMLH)/L(I, I) X(N) = C(N)/U(N, N) DO 110 I = N-1, 1 JMLH = 0 DO 100 J = I+1, N 100 JMLH = JMLH + U(I, J)*X(J) 110 X(I) = (C(I) – JMLH)/U(I, I) Ax=b LUx=b Ux=Y LY=b Gambar II-8 Program solusi SPL dengan Crout 50

2. 2. 7 METODA CHOLESKY didapat JIKA A SIMETRI DAN DEFINIT POSITIF, MAKA FAKTORISASI DENGAN METODA INI DAPAT PULA DIGUNAKAN. BILA SUATU SPL Secara umum persamaan x dirumuskan sebagai berikut: Ax=b PENYELESAIAN ADALAH Ax=b A = L LT SEHINGGA L LT x = b LT x = Y LY=b SPL DAPAT DISELESAIKAN DENGAN CARA SEBAGAI BERIKUT 1. Dari 6/7/2021 2. Dari LT x = Dimana Y DENGAN PS SEPERTI GAMBAR II-3, HARGA XI DAPAT DICARI, SEHINGGA SPL DAPAT DISELESAIKAN DENGAN LANGKAH: 1). FAKTORISASI MATRIKS A MENJADI MATRIKS L, MENGHITUNG ELEMEN MATRIKS ANTARA Y, DAN MENGHITUNG PENYELESAIAN BILANGAN ANU. PROGRAM LENGKAP SOLUSI SPL DENGAN METODA CHOLESKY DIBERIKAN DALAM GAMBAR II-9 51

10 20 30 40 50 60 70 80 90 6/7/2021 DO 10 I = 1, N DO 10 J = I+1, N READ(1, *)A(J, I) DO 50 K = 1, N DO 30 I = 1, K-1 JMLH = 0 DO 20 J = 1, I-1 JMLH = JMLJ + A(I, J)*A(K, J) A(K, I) = (A(K, I) – JMLH)/A(I, I) JMLH = 0 DO 40 J = 1, K-1 JMLH = JMLH + A(K, J)*A(K, J) A(K, K) = SQRT((A(K, K) – JMLH)) Y(1) = C(1)/L(1, 1) DO 70 I = 2, N JMLH = 0 DO 60 J = 1, I-1 JMLH = JMLH - A(I, J)*Y(J) Y(I) = (B(I) + JMLH)/A(I, I) X(N) = Y(N)/A(N, N) DO 90 I = N-1, 1 JMLH = 0 DO 80 J = I+1, N JMLH = JMLH + A(J, I)*X(J) X(I) = (Y(I) – JMLH)/A(I, I) Gambar II-9 Program SOLUSI SPL dengan metoda Cholesky 52

2. 3 METODA ITERASI GAUSS-SEIDEL DIPAKAI UNTUK n ≥ 100. JUMLAH DAPAT DIPERBESAR JIKA SISTEM BERKONDISI BAIK, DIGUNAKAN STRATEGI PIVOTING, PRESISI DIPERKETAT, DIGUNAKAN MATRIKS JARANG. AKAN TETAPI, KARENA ADANYA GALAT PEMBULATAN, METODA ELIMINASI TIDAK CUKUP UNTUK SISTEM-SISTEM BESAR. METODA ITERASI BERGUNA MENGURANGI MUNCULNYA GALAT PEMBULATAN, DENGAN METODA INI KITA MAMPU MENGENDALIKAN GALAT YANG ADA. METODA GAUSS-SEIDEL ADALAH SATU METODA ITERASI YANG UMUM DIGUNAKAN. UNTUK DAPAT LEBIH MUDAH MEMAHAMI METODA INI, MARILAH KITA LIHAT SPL BERIKUT INI : BILA ELEMEN DIAGONAL A, aii 0, UNTUK SEMUA HARGA i, LANGKAH PERTAMA MENYELESAIKAN SPL ADALAH MENYELESAIKAN HARGA x 1 UNTUK PERSAMAAN PERTAMA, x 2 UNTUK PERSAMAAN KEDUA, DAN SETERUSNYA xn UNTUK PERSAMAAN KE n, SEHINGGA DIPEROLEH BENTUK SEPERTI: 6/7/2021 53

PERSAMAAN-PERSAMAAN (II. 3 -2) DAPAT DISELESAIKAN DENGAN CARA MEMBERIKAN HARGA AWAL (TEBAKAN AWAL) UNTUK MASING-MASING HARGA xi. MISAL DIBERIKAN HARGA AWAL SEBAGAI BERIKUT : HARGA AWAL INI SELANJUTNYA DISUBSTITUSIKAN KEDALAM PERSAMAAN (II. 3 -2), SEHINGGA DIDAPAT HARGA xi baru, MISALKAN : KEMUDIAN DIGUNAKAN KEMBALI UNTUK MENGHITUNG xi. PROSEDUR INI DILAKUKAN SECARA BERULANG DAN DIHENTIKAN BILAMANA TERCAPAI KONVERGENSI YANG DIHARAPKAN. KONVERGENSI DAPAT DIPERIKSA DENGAN MENGGUNAKAN KRITERIA BERIKUT : PERHATIKAN ILUSTRASI BERIKUT : UNTUK MATRIKS A k DAN k-1 MENUNJUKKAN URUTAN ITERASI KE k DAN k-1 A. SYARAT KOVERGEN: KONVERGENSI TERCAPAI BILA MATRIKS KOEFISIEN DOMINAN SECARA DIAGONAL. 6/7/2021 54

KONVERGENSI AKAN TERCAPAI BILAMANA HARGA ELEMEN DIAGONAL MATRIKS aii PADA BARIS KE i, LEBIH BESAR DARI NILAI ABSOLUT aij PADA BARIS KE i, ATAU SECARA UMUM : B. ALGORITMA GAUSS-SEIDEL PERSAMAAN UMUM BERIKUT : SEHINGGA PROGRAM PENYELESAIAN SPL DENGAN METODA GS DAPAT DITULISKAN SEBAGAIMANA DALAM GAMBAR II. 10, BERIKUT INI: 6/7/2021 55

2. 4 PERBANDINGAN ANTAR METODA Tabel II-1. Perbandingan Karakteristiks Metoda Solus METODA PERS PRESISI APLIKASI PROG KET Grafis 2 poor limited. I - tc Cramer’s 3 Infact by roe limited. I - tc for n ≥ 3 Eliminasi 3 Infact by roe limited. I - - GJ 100 Influence by roe General Moderate Inverse A Cholesky 100 Influence by roe General Moderate - GS 100 Perfect All Easy Inverse A 6/7/2021 56

PENYELESAIAN DAN PENGATURAN ALIRAN BEBAN 6/7/2021 57

WHEN 6/7/2021 58

6/7/2021 59

PENYELESAIAN DAN PENGATURAN ALIRAN BEBAN PENDAHULUAN Persamaan jaringan Dalam setiap bus, paling sedikit ada dua besaran yang harus diketahui Dalam penyelesaian dan pengaturan aliran beban dikenal tiga tipe bus, yaitu : BUS PQ BUS PV , BUS AYUN 6/7/2021 60

DATA UNTUK STUDI ALIRAN BEBAN Diagram segaris sistem 6/7/2021 61

Data Jaringan: Impedansi dan admitansi tanah No cabang Bus P–q Impedansi Admitansi shunt 1 1– 2 0, 02 + j 0, 060 2 1– 3 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 3 2– 3 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 4 2– 4 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 5 2– 5 0, 04 + j 0, 12 j 0, 015 6 3– 4 0, 01 + j 0, 03 j 0, 010 7 4– 5 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 6/7/2021 62

Data Bus 6/7/2021 Pembangkitan Pembebanan Tegangan No Bus Tipe Bus P(MW) Q(MVAR) V 1 Slack - - 1, 06 + j 0, 00 2 PQ 40 30 20 10 1, 00 + j 0, 00 3 PQ - - 45 25 1, 00 + j 0, 00 4 PQ - - 40 5 1, 00 + j 0, 00 5 PQ - - 60 10 1, 00 + j 0, 00 63

PERSAMAAN PERFORMANCE JARINGAN Persamaan kinerja jaringan sistem tenaga elektrik dengan kerangka acuan bus Hubungan-hubungan daya aktif dan daya reaktif pada bus p Atau Persamaan arus dalam jaringan yang menghubungkan bus p dengan bus lain 6/7/2021 64

Aliran daya aktif dan reaktif antara kedua bus menjadi Atau 6/7/2021 65

METODA GAUSS-SEIDEL Penyelesaian hanya dapat dilakukan dengan metoda iterasi Arus injeksi masing-masing bus dihitung dengan persamaan (V. 3 -3) sebagai berikut : Atau dalam bentuk lain Apabila ground diambil sebagai bus acuan, dan bus 1 ditetapkan sebagai bus penadah, maka n-1 persamaan simultan dapat dituliskan 6/7/2021 66

Tegangan untuk bus k dapat dituliskan sebagai berikut: k = 1, 2, …. . , jumlah bus k bus penadah Misalkan : maka 6/7/2021 67

Misalkan : maka Untuk sistem tenaga elektrik yang terdiri dari 4 bus, dengan bus 1 sebagai bus penadah, persamaan yang akan diselesaikan adalah : 6/7/2021 68

CONTOH 5. 1 Sebuah sistem seperti disajikan dalam Gambar V. 4, dengan data impedansi jaringan dan admitansi charging dalam perunit pada base 100 k. VA diberikan dalam Tabel 1. Data pembangkitan dan pembebanan, serta estimasi tegangan bus diberikan dalam Tabel 2. Hitung Aliran daya: Menggunakan Metoda Gauss-Seidel Impedansi Admitansi ketanah Tabel 1. Data Impedansi dan admitansi tanah 6/7/2021 No cabang Bus P–q 1 1– 2 0, 02 + j 0, 060 2 1– 3 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 3 2– 3 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 4 2– 4 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 5 2– 5 0, 04 + j 0, 12 j 0, 015 6 3– 4 0, 01 + j 0, 03 j 0, 010 7 4– 5 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 69

Tabel 1. Data Impedansi dan admitansi tanah No cabang Bus P–q Impedansi 1 1– 2 0, 02 + j 0, 060 2 1– 3 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 3 2– 3 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 4 2– 4 0, 06 + j 0, 18 j 0, 020 5 2– 5 0, 04 + j 0, 12 j 0, 015 6 3– 4 0, 01 + j 0, 03 j 0, 010 7 4– 5 0, 08 + j 0, 24 j 0, 025 Admitansi ketanah Tabel 2. Data Bus 6/7/2021 No Bus Tipe Bus 1 Pembangkitan Tegangan Pembebanan P(MW) Q(MVAR) V Slack - - 1, 06 + j 0, 00 2 PQ 40 30 20 10 1, 00 + j 0, 00 3 PQ - - 45 25 1, 00 + j 0, 00 4 PQ - - 40 5 1, 00 + j 0, 00 5 PQ - - 60 10 1, 00 + j 0, 00 70

Penyelesaian A. Metoda Gauss – Seidel Langkah pertama: Memilih bus penadah dan membangun persamaan tegangan. Misalkan sebagai bus penadah dipilih bus 1: Langkah berikutnya menghitung matriks Admitansi bus Bilamana tidak terdapat kopling antara masing-masing elemen, pembentukan matriks admitansi bus dapat dilakukan dengan cepat seperti yang dikemukakan dalam subbab sebelumnya (IV. 2) 6/7/2021 71

Tabel 4. 3. Hasil perhitungan Admitansi jaring untuk setiap Cabang No cabang Bus P–q Impedansi Admitansi 1 1– 2 0, 02 + j 0, 06 5, 0000 – j 15, 0000 2 1– 3 0, 08 + j 0, 24 1, 25000 – j 3, 75000 3 2– 3 0, 06 + j 0, 18 1, 66667 – j 5, 0000 4 2– 4 0, 06 + j 0, 18 1, 66667 – j 5, 0000 5 2– 5 0, 04 + j 0, 12 2, 50000 – j 7, 50000 6 3– 4 0, 01 + j 0, 03 10, 0000 – j 30, 0000 7 4– 5 0, 08 + j 0, 24 1, 25000 – j 3, 75000 Admitansi shunt Sedangkan untuk admitansi ketanah pada masing-masing bus adalah: 6/7/2021 Bus Admitansi shunt 1 j 0, 055000 2 j 0, 085000 3 j 0, 055000 4 j 0, 055000 5 j 0, 040000 72

Elemen matrik Admitansi bus, selanjutnya dapat dihitung sebagai berikut: - Elemen Diagonal, berdasarkan persamaan - Elemen Off diagonal, berdasarkan persamaan 6, 2500 -j 18, 6950 -5, 0000 + j 15, 0000 -1, 2500 + j 3, 7500 -5, 0000 + j 15, 0000 10, 83334 -j 32, 4150 -1, 6667 +j 5, 0000 -1, 2500 + j 3, 7500 -1, 6667 +j 5, 0000 12, 91667 -j 38, 6950 -10, 0000 -j 30, 0000 -1, 6667 +j 5, 0000 -10, 0000 -j 30, 0000 12, 91667 -j 38, 6950 -1, 2500 +j 3, 7500 0, 57654 -j 4, 64179 -2, 5000 +j 7, 5000 6/7/2021 -2, 5000 +j 7, 5000 73

Langkah berikutnya adalah menghitung parameter bus (KLp) dan parameter jaringan (YLpq) Bus p 6/7/2021 KLp 1 0, 00000 + j 0, 00000 2 0, 00740 + j 0, 00370 3 -0, 00698 + j 0, 00930 4 -0, 00427 + j 0, 00891 5 -0, 02413 + j 0, 04545 Bus P–q YLpq 1– 2 -0, 80212 + j 0, 000710 1– 3 -0, 20053 + j 0, 000180 2– 1 -0, 46263 + j 0, 000360 1– 2 -0, 80212 + j 0, 000710 74

Langkah selanjutnya adalah menghitung tegangan masing-masing bus sesuai dengan persamaan berikut: Untuk bus 1 : tidak dihitung Untuk bus 2 dan lainnya: Berikutnya - Pengecekan konvergensi Setelah perhitungan semua bus didapat tentukan harga Jika perhitungan selesai namun sebaliknya maka perhitungan dilanjutkan mengikuti langkah ke 4 6/7/2021 75

Bila perhitungan SELESAI, kemudian lakukan Perhitungan Aliran Daya - Misal untuk cabang 1, yang menghubungkan bus 1 dan 2, didapat: Setelah, aliran daya pada setiap cabang dapat dihitung, berikutnya adalah menghitung daya pada bus penadah, dengan cara sebagai berikut: Daya pada bus penadah adalah: Daya nyata pada bus penadah adalah: 6/7/2021 76

Adapun urutan perhitungan aliran daya dengan metoda Gauss-Seidel disajikan dalam diagram alir pada Gambar V-1. 6/7/2021 77

6/7/2021 78

6/7/2021 79

PROGRAM LFS BY GS METHOD c 234567 DIMENSION NOCABANG(100), BUS_AWAL(100), BUS_AKHIR(100), TAHANAN(100), + REAKTANSI(100), LCHARGING(100), NOTRAFO(100), BAWLTRFO(100) + , BAHRTRFO(100), RATIOTRF(100), NOKPSITOR(100), SUSCEPTAN(10 + 0), Y_CABANG(100), Y_BUS(100, 100), P_GENERATE(50), P_LOAD(50 + ), V_SPECT(100), V_SUDUT(100), V_MAGNITUD(100), P(100), Q(100 + ), KLP(100), YLP(100, 100), Q_MIN(10), Q_MAKS(10), Q_LOAD(100) + , Q_GENERATE(100), NOMORBUS(100) COMPLEX Y_CABANG, Y_BUS, Y_CHARGING(100), KLP, YLP, E(100), EN(100), EII, + EI, SUM, DX, R, S INTEGER SWITCH, TIPEBUS(100), BUS_AWAL, BUS_AKHIR, BAWLTRFO, BAHRTRFO REAL ALPHA, TAHANAN, REAKTANSI, EPSILON, LCHARGING, MAGE, V_SPECT CHARACTER*15 NFILE_OUT, NFILE_IN 6/7/2021 80

c c 6/7/2021 PEMBACAAN DATA BUS DAN DATA JARINGAN DARI FILE YANG ADA WRITE(*, 10) 10 FORMAT(3 X, 'MASUKKAN NAMA FILE DATA : ', $) READ(*, 20)NFILE_IN 20 FORMAT(A 15) CALL GETTIM (IHR, IMIN, ISEC, I 100 TH, I 1000 TH) WRITE(*, *) 'WAKTU MULAI PEMBACAAN DATA : ‘ WRITE(*, 70)IHR, IMIN, ISEC, I 100 TH, I 1000 TH OPEN(UNIT = 1, FILE = NFILE_IN, STATUS = 'OLD') READ(1, *)MVADASAR, JMLHBUS, JMCABANG, JMLTRAFO, JMLPVBUS, JMLKSTOR, + ALPHA, EPSILON READ(1, *) DO 30 I = 1, JMCABANG 30 READ(1, *)NOCABANG(I), BUS_AWAL(I), BUS_AKHIR(I), TAHANAN(I), + REAKTANSI(I), LCHARGING(I) READ(1, *) DO 40 I = 1, JMLHBUS 40 READ(1, *)NOMORBUS(I), V_MAGNITUD(I), V_SUDUT(I), P_GENERATE(I), + Q_GENERATE(I), P_LOAD(I), Q_LOAD(I), V_SPECT(I), + Q_MIN(I), Q_MAKS(I), TIPEBUS(I) READ(1, *) DO 50 I = 1, JMLTRAFO 50 READ(1, *)NOTRAFO(I), BAWLTRFO(I), BAHRTRFO(I), RATIOTRF(I) READ(1, *) DO 60 I = 1, JMLKSTOR 60 READ(1, *)NOKPSITOR(I), SUSCEPTAN(I) CALL GETTIM (IHR, IMIN, ISEC, I 100 TH, I 1000 TH) WRITE(*, *) 'WAKTU SELESAI PEMBACAAN DATA : ' WRITE(*, 70)IHR, IMIN, ISEC, I 100 TH, I 1000 TH 70 FORMAT(2 X, I 2. 2, 1 H: I 2. 2) 81

c c 6/7/2021 PEMBENTUKAN MATRIKS ADMITANSI BUS DO 90 I = 1, JMCABANG Y_CABANG(I) = 1. 00/CMPLX(TAHANAN(I), REAKTANSI(I)) Y_CHARGING(I) = CMPLX(0. 00, LCHARGING(I)) NP = BUS_AWAL(I) NQ = BUS_AKHIR(I) SWITCH = 1 DO 80 J = 1, JMLTRAFO IF(I. EQ. NOTRAFO(J))THEN SWITCH = 0 NK = BAWLTRFO(J) NN = BAHRTRFO(J) Y_BUS(NK, NK) = Y_BUS(NK, NK)+Y_CABANG(I)/(RATIOTRF(J))**2+ + Y_CHARGING(I) Y_BUS(NN, NN) = Y_BUS(NN, NN)+Y_CABANG(I)+Y_CHARGING(I) Y_BUS(NK, NN) = Y_BUS(NK, NN)-Y_CABANG(I)/RATIOTRF(J) Y_BUS(NN, NK) = Y_BUS(NK, NN) ENDIF 80 CONTINUE IF(SWITCH. EQ. 0)GOTO 90 Y_BUS(NP, NP) = Y_BUS(NP, NP)+Y_CABANG(I)+Y_CHARGING(I) Y_BUS(NQ, NQ) = Y_BUS(NQ, NQ)+Y_CABANG(I)+Y_CHARGING(I) Y_BUS(NP, NQ) = Y_BUS(NP, NQ)-Y_CABANG(I) Y_BUS(NQ, NP) = Y_BUS(NP, NQ) 90 CONTINUE 82

6/7/2021 83

METODA NEWTON-RAPHSON Bila dalam metoda Gauss-Seidel penyelesaian aliran beban dilakukan dengan menggunakan himpunan persamaan tegangan. Dalam metoda Newton Raphson, dipergunakan himpunan persamaan non-linear untuk mengekspresikan daya aktif dan reaktif dalam bentuk tegangan. Dari persamaan dimana Atau Dalam bentuk lain, dapat pula dituliskan 6/7/2021 84

Mengingat bahwa dan maka persamaan dapat ditulis menjadi Bilamana bagian real dipisahkan dengan imajiner, didapat 6/7/2021 85

Formulasi ini akan menghasilkan 2(n-1) persamaan yang harus diselesaikan Metoda Newton Raphson membutuhkan himpunan persamaan linear yang menggambarkan hubungan antara perubahan daya aktif dan reaktif terhadap komponen-komponen tegangan bus, yang dapat dinyatakan sebagai berikut 6/7/2021 86

Dalam bentuk yang lebih sederhana Dimana koefisien matriks adalah Jacobian dan bus ke n adalah bus penadah Persamaan-persamaan untuk menentukan elemen Jacobian dapat diturunkan dari persamaan daya bus. Daya nyata dari persamaan p = 1, 2, ……, n-1 Diferensiasi persamaan diatas terhadap eq akan diperoleh elemen-elemen luar diagonal dari submatriks J 1, sebagai berikut 6/7/2021 87

Sedangkan untuk elemen diagonal didapat Persamaan arus untuk bus p, Ip adalah yang dapat dipisah dalam dua bagian, yaitu bagian real dan imajiner berikut ini 6/7/2021 88

Oleh karena itu ekspresi elemen diagonal submatriks J 1 dapat disederhanakan menjadi: Dari persamaan elemen-elemen luar diagonal submatriks J 2 adalah 6/7/2021 89

Dan elemen-elemen diagonal matriks J 2 adalah Komponen imajiner dari persamaan disubstitusikan kedalam persamaan didapat 6/7/2021 90

Daya reaktif Q, dari persamaan adalah p = 1, 2, …. , n-1 Difrensiasi persamaan diatas terhadap eq, akan diperoleh elemen-elemen luar diagonal dari submatriks J 3 adalah 6/7/2021 91

Dan elemen-elemen diagonal submatriks J 3 adalah: Komponen imajiner dari persamaan disubstitusikan ke didapat 6/7/2021 92

elemen-elemen luar diagonal submatriks J 4 adalah Dan elemen-elemen diagonal submatriks J 4 Atau dapat ditulis menjadi Bila diberikan harga inisialisasi himpunan tegangan bus, daya aktif dan daya reaktif dapat dihitung berdasarkan persamaan (V. 5 -4). Perubahan daya dan 6/7/2021 93

dihitung dari selisih antara daya terjadual dan daya hasil perhitungan, yaitu: Hasil estimasi tegangan bus dan perhitungan daya, kemudian digunakan untuk menghitung arus guna mengevaluasi/menghitung elemen-elemen matriks Jacobian Persamaan linear yang didapat dari persamaan (V. 5 -5) dapat diselesaikan secara langsung maupun iterasi selanjutnya dihitung harga estimasi tegangan bus yang baru, yaitu Proses perhitungan dilanjutkan hingga dan untuk semua bus mencapai batas ketelitian (toleransi) yang diizinkan Prosedur penyelesaian aliran beban dengan metoda Newton Raphson disajikan dalam diagram alir pada Gambar V-2. 6/7/2021 94

6/7/2021 95

6/7/2021 96

METODA FAST-DECOUPLED 6/7/2021 97

Dengan koordinat Polar, persamaan daya dalam persamaan (V. 5 -4) dapat ditulis menjadi: Sedangkan 6/7/2021 98

Atau Dengan elemen-elemen Jacobian Untuk p q Untuk p = q 6/7/2021 99

Memperhatikan bahwa, pada umumnya Gpq < Bpq dan pq sangat kecil, sehingga Maka submatriks M dan N dapat diabaikan sehingga persamaan menjadi 6/7/2021 100

Metoda Fast Decoupled, dapat disederhanakan lebih jauh tanpa mengurangi ketelitian Qp << Bpp Vp 2 Penyederhanaan berikutnya adalah pendekatan [V] = [I], maka diperoleh bentuk umum persamaan yang terkenal dengan nama FAST DECOUPLED LOAD FLOW (FDLF) 6/7/2021 101

Pembentukan matriks [B’] dan [B”] adalah sebagai berikut : Elemen-elemen Matriks B’ Elemen-elemen Matriks B” Luar diagonal Diagonal 6/7/2021 102

6/7/2021 103

Terimakasih atas perhatiannya Selamat belajar 104