DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS Adinda Nurul Huda M

DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS Adinda Nurul Huda M, MSi

Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier yang akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba ataupun biaya memproduksi barang. Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal yang akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Solusi pada model dual memberikan informasi tentang sumber-sumber yang digunakan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber daya, serta berapa biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.

Hubungan Primal-Dual 1. 2. 3. 4. 5. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi sisi kanan masalah dual, sebaliknya, konstan sisi kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual. Tanda pertidaksamaan batasan dibalik. Tujuan diubah dari minimalisasi (maksimalisasi) dalam primal menjadi maksimalisasi (minimalisasi) dalam dual. Setiap kolom pada primal berhubungan dengan suatu baris (batasan) dalam dual, sehingga banyaknya batasan dalam dual sama dengan banyaknya variable primal. Setiap baris (batasan) pada primal berhubungan dengan suatu kolom dalam dual, sehingga ada satu variable dual untuk setiap batasan primal.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Primal dengan Big M

A 1 A 2

Tabel optimum Primal A 1 A 2

Dual dengan Simpleks

Hasil Primal vs Dual A 1 A 2

Analisis Sensitivitas Dalam membicarakan analisis sensitivitas, perubahan-perubahan parameter dikelompokan menjadi: 1. Perubahan koefisien fungsi tujuan 2. Perubahan konstan sisi kanan 3. Perubahan batasan atau kendala 4. Penambahan variable baru 5. Penambahan batasan atau kendala baru.

Analisis Dari Dampak Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan Dipunyai formulasi model program linier : Fungsi tujuan : Maks Z = 160 X 1 + 200 X 2 Fungsi batasan : 2 X 1 + 4 X 2 < 40 (jam tenaga kerja) 18 X 1 + 18 X 2 < 216 (pon kayu) 24 X 1 + 12 X 2 < 240 (m 2 tempat penyimpanan) X 1 , X 2 > 0 Dimana X 1 = jumlah meja yang diproduksi, X 2 = jumlah kursi yang diproduksi

Simpleks Optimalnya VB X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 NK Z 160 20 20/3 0 2240 X 2 0 1 1/2 -1/18 0 8 X 1 1 0 -1/2 1/9 0 4 S 3 0 0 6 -2 1 48

Bila koefisien fungsi tujuan diberi notasi cj, maka untuk masalah ini diketahui bahwa c 1 = laba yang diperoleh dari meja = $160 c 2 = laba yang diperoleh dari kursi = $ 200 Seandainya, nilai c 1 dari 160 dirubah, maka dapat dituliskan bahwa c 1 = 160 + ∆. Analisis sensitivitas berusaha menentukan seberapa jauh (range) perubahan pada cj dapat dilakukan tanpa harus mengubah solusi optimal

Dampak perubahan ini pada solusi model c 1 = 160 + ∆, sbb. : VB X 1 X 2 Z 160+Δ 200 X 2 0 1 ½ X 1 1 0 S 3 0 0 VB S 1 S 2 S 3 NK 0 2240+4Δ -1/18 0 8 -1/2 1/9 0 4 6 -2 1 48 20 - Δ/2 20/3+ Δ/9 S 1 S 2 S 3 0 0 0 Zbaru 20 - Δ/2 20/3+ Δ/9 0 Z-Zbaru -20+Δ/2 20/3 -Δ/9 Z

Solusi pada tabel diatas akan tetap optimal bila nilai Z – Zbaru tetap negatif, sehingga supaya solusi tetap optimal berlaku : -20 + ∆/2 < 0 ∆/2 < 20 ∆ < 40 -20/3 - ∆/9 < 0 - ∆/9 < 20/3 -∆ < 60 ∆ > -60

Diketahui bahwa c 1 = 160 + ∆, sehingga ∆ = c 1 – 160. Dengan mensubstitusikan nilai c 1 – 160 pada ∆, diperoleh : ∆ < 40 ∆ > -60 c 1 – 160 < 40 c 1 – 160 > -60 c 1 < 200 c 1 > 100 Kesimpulan yang dapat diambil untuk nilai range c 1 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan (meskipun nilai fungsi tujuan berubah) adalah : 100 < c 1 < 200

Dengan cara yang sama, maka diperoleh nilai range untuk c 2 agar solusi optimal tetap dapat dipertahankan adalah : 160 < c 2 < 320 Jadi, range untuk fungsi tujuan untuk masalah ini adalah : 100 < c 1 < 200 160 < c 2 < 320 Catatan : Range ini hanya menunjukkan perubahan yang memungkinkan pada nilai c 1 saja, atau c 2 saja, dan bukan perubahan pada keduanya secara bersama (sifat Additivity)

TERIMA KASIH