PENDAHULUAN REGRESI LINIER REGRESI KUADRATIK INTERPOLASI 12242021 Gunawan

PENDAHULUAN REGRESI LINIER REGRESI KUADRATIK INTERPOLASI 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

PENDAHULUAN 16 14 Data Pertumbuhan Makhluk hidup Umur (minggu) 1 2 3 4 5 Panjang (cm) 2 6 8 11 16 12 10 8 6 4 2 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 1 2 3 4 5

Bagaimana mendapatkan fungsi/ menggambar kurva 16 dengan baik? a. Regresi Tidak semua titik harus dilalui/ dipenuhi. Memperoleh sebuah fungsi linier, kuadratik, atau kubik. 14 12 10 b. Lagrange Interpolasi 8 Semua titik harus dilalui. Memperoleh sebuah fungsi order ke (n-1), n 6 adalah jumlah data. c. Spline Interpolasi 4 Semua titik harus dilalui. Pada setiap 2 dua titik yang berurutan didapatkan satu fungsi (linier, kuadratik, atau 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN kubik). Untuk n data didapat 1 sebanyak (n-1) fungsi. 2 3 4 5

1. Regresi Linier: Mendapatkan sebuah garis lurus (fungsi linier) yang dianggap menggambarkan kondisi data. 16 Garis lurus mana yang dipilih: 14 12 atau 10 8 Dasar/kriteria pemilihannya: Adalah total kesalahan minimum 6 4 2 12/24/2021 1 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5

y = a 0 + a 1 x 16 ε 1 = y 1 - a 0 - a 1 x 1 ε 5 14 ε 5 = y 5 - a 0 - a 1 x 5 12 10 a 0 + a 1 x 5 8 6 4 2 Definisi Kesalahan: y 5 Bentuk Umum: ε 1 ε i = y i - a 0 - a 1 x i a 0 + a 1 x 1 y 1 x 1 12/24/2021 2 3 4 x 5 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Regresi Linier Menggunakan Kriteria Kesalahan Kuadrat Terkecil Total Kesalahan sebagai fungsi dari a 1 dan a 0: 2 Nilai ekstrim: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Diperoleh SPL dalam a 0 dan a 1: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Contoh Buatlah regresi linier untuk data dibawah ini: xi 0 1 3 4 6 yi -2 0 4 7 12 Penyelesaian: Dibuat tabel berikut: xi xi 2 yi Σ 0 1 3 4 6 14 -2 0 4 7 12 21 12/24/2021 xi yi 0 0 1 0 9 12 16 28 36 72 62 Gunawan. ST. , MT 112 - STMIK-BPN

Diperoleh SPL dalam a 0 dan a 1: 21 14 12 112 Solusi SPL ini adalah: a 0 = -2. 3333 a 1 = 2. 3333 Regresi liniernya adalah: 12/24/2021 10 8 6 4 2 0 1 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN y = -2. 3333 + 2. 3333 x 2 3 4 5

2. Regresi kuadratik Mendapatkan sebuah kurva (fungsi order kedua) yang dianggap menggambarkan kondisi data. y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 Total Kesalahan sebagai fungsi dari a 0, a 1 dan a 2 : 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Nilai ekstrim: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Diperoleh SPL dalam a 0 , a 1 dan a 2: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Contoh Buatlah regresi kuadratik untuk data dibawah ini: xi 1 2 3 4 5 yi 2 6 8 11 16 Penyelesaian: Dibuat tabel berikut: x 1 2 3 4 5 12/24/2021 15 y 2 6 8 11 16 43 x 2 x 3 x 4 1 1 1 4 8 16 9 27 81 16 64 256 25 125 625 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 55 225 979 yx 2 12 24 44 80 162 yx 2 2 24 72 176 400 674

Diperoleh SPL dalam a 0 , a 1 dan a 2: 5 a 0 + 15 a 1 + 55 a 2 = 43 15 a 0 + 55 a 1 + 225 a 2 = 162 55 a 0 + 225 a 1 + 979 a 2 = 674 Solusi SPL ini adalah: a 0 = 0, 2 a 1 = 2, 01428 a 2 = 0, 21428 Regresi kuadratiknya adalah: y = 0, 2 + 2, 01428 x- STMIK-BPN + 0, 21428 x 2 Gunawan. ST. , MT 12/24/2021

INTERPOLASI Tujuan: Mencari nilai antara dua titik data. Metode: Mendapatkan sebuah fungsi eksak (semua titik data dipenuhi) yang memiliki order (n-1), dengan n adalah jumlah data. 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

1. Dua titik data f 1(x) Persamaan garis lurus f 1(x) adalah: f(x 1) f(x 0) x 0 x 1 Atau: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

2. Tiga titik data f 2(x) Ø x = x 0 : Ø x = x 1 : f(x 2) f(x 1) f(x 0) x 0 12/24/2021 x 2 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

Didefinisikan fungsi siku: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

i xi f(xi) I II 0 x 0 f(x 0) f[x 1, x 0] f[x 2, x 1, x 0] 1 x 1 f(x 1) f[x 2, x 1] f[x 3, x 2, x 1] 2 x 2 f(x 2) f[x 3, x 2] 3 x 3 f(x 3) III f[x 3, x 2, x 1, x 0] Contoh: Dapatkan nilai fungsi ketika x = 2, 5 jika diketahui titik-titik data dibawah ini 12/24/2021 xi 0 yi 1 1 2 3 4 5 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

i xi f(xi) I II III 0 1 2 4 -1 0. 5 1 2 6 2 0. 5 0. 25 2 3 8 3 1 3 4 11 5 4 5 16 dan f 4(2, 5) =. . 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN IV -0. 0625

INTERPOLASI SPLINE 16 16 14 14 12 12 10 10 8 8 6 6 4 4 2 2 12/24/2021 1 2 3 4 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 5 1 2 3 4 5

1. Spline Linier Setiap dua titik dihubungkan 16 oleh sebuah garis lurus. 14 12 Jam Suhu 1 2 3 4 5 2 6 4 12 9 10 8 6 4 2 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 1 2 3 4 5

2. Spline kuadratik 16 Ø Setiap dua titik dihubungkan oleh sebuah kurva order dua. 14 12 Ø Kurva-kurva itu dihubungkan satu sama lain sedemikian hingga membentuk sebuah kurva yang kontinyu (halus) 10 8 Ø Setiap kurva pada suatu interval merupakan gambar sebuah fungsi: 6 fi(x) = aix 2 + bi x + ci 4 2 dan hanya berlaku pada interval itu. 1 12/24/2021 2 3 4 5 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

f 1(x) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 f 2(x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 14 f 3(x) = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 12 f 4(x) = a 4 x 2 + b 4 x + c 4 10 Terdapat 12 (dua belas) variabel 8 a 1, b 1, . . . , b 4, c 4 yaitu 3(n-1) 6 n: jumlah data. 4 Jadi diperlukan 12 persamaan/kondisi. 2 12/24/2021 1 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5

12 kondisi tersebut adalah: a. f 1(x) = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 melalui titik pertama dan titik kedua, jadi 14 12 10 a 1 + b 1 + c 1 = 2 (1) 4 a 1 + 2 b 1 + c 1 = 6 (2) 8 6 4 b. f 2(x) = a 2 x 2 + b 2 x + c 2 melalui titik kedua dan titik ketiga f 2(x) f 1(x) 2 12/24/2021 1 4 a 2 + 2 b 2 + c 2 = 6 (3) 9 a 2 + 3 b 2 + c 2 = 4 (4) Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5

c. f 3(x) = a 3 x 2 + b 3 x + c 3 melalui titik ketiga dan titik keempat, jadi 14 12 f 4(x) 10 8 (5) 16 a 3 + 4 b 3 + c 3 = 12 (6) f 3(x) 6 4 9 a 3 + 3 b 3 + c 3 = 4 d. f 4(x) = a 4 x 2 + b 4 x + c 4 melalui titik keempat dan titik kelima f 2(x) f 1(x) 2 12/24/2021 1 16 a 4 + 4 b 4 + c 4 = 12 (7) 25 a 4 + 5 b 4 + c 4 = 9 (8) Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5

Gradien dua fungsi yang berdekatan adalah sama pada titik temu 14 12 4 a 1 + b 1 - 4 a 2 - b 2 = 0 (9) 10 f 4(x) (11) f 3(x) 8 6 4 8 a 3 + b 3 - 8 a 4 – b 4 = 0 f 2(x) f 1(x) 6 a 2 + b 2 - 6 a 3 - b 3 = 0 2 (10) 12/24/2021 1 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5

Beri nilai nol terhadap salah satu dari 12 variabel diatas: Misalnya c 4 = 0 Didapat SPL dibawah ini: 0 0 0 4 9 0 0 0 2 3 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 -4 6 0 0ù ú 0ú 0 0 0 0 0ú 9 3 1 0 0ú ú 16 4 1 0 0ú 0 0 0 16 4 ú ú 0 0 0 25 5 ú ú 0 0 0ú -6 -1 0 0 0ú ú STMIK-BPN 8 Gunawan. ST. , MT 1 0 - -8 -1û 0 0 0 0 ù ú ú ú ú û é 1 1 1 ê ê 4 2 1 ê 0 0 0 ê 0 0 0 ê ê 4 1 0 ê 0 0 0 ê 12/24/2021 ë 0 0 0 a 1 ù é 2 ù ú ê ú b 1 ú ê 6 ú c 1 ú ê 6 ú ú ê ú a 2 ú ê 4 ú b 2 ú ê 4 ú ú ê ú c 2 ú = ê 12 ú a 3 ú ê 12 ú ú ê ú b 3 ú ê 9 ú ú ê ú c 3 ú ê 0 ú a 4 ú ê 0 ú ú ê ú b 4 û ë 0 û

Solusi SPL tersebut adalah: a 1 = -25, 8 b 1 = 81, 4 c 1 = -53, 6 a 2 = 19, 8 b 2 = -101 c 2 = 128, 8 a 3 = -9, 8 b 3 = 76, 6 c 3 = -137, 6 a 4 = -1, 2 b 4 = 7, 8 Dan didapat empat fungsi kuadratik berikut: 12/24/2021 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN

14 12 f 4(x) = -1, 2 x 2 + 7, 8 x 10 f 3(x) = -9, 8 x 2 + 76, 6 x – 137, 6 8 6 f 2(x) = 19, 8 x 2 - 101 x + 128, 8 4 f 1(x) = -25, 8 x 2 + 81, 4 x - 53, 6 2 12/24/2021 1 Gunawan. ST. , MT - STMIK-BPN 2 3 4 5