Matrik dan Relasi Oleh Devie Rosa Anamisa Matriks

Matrik dan Relasi Oleh Devie Rosa Anamisa

Matriks • Di dalam MD, matriks digunakan untuk merepresentasikan struktur diskrit • Struktur diskrit adalah struktur matematika abstrak yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut 2

• Struktur diskrit yang di representasikan dengan matrik antara lain relasi, graf dan pohon 3

definisi • Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. • Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom (m x n) adalah : 4

5

Macam-macam matriks 1. 2. 3. 4. 5. 6. Matriks diagonal Matriks identitas Matriks segitiga atas bawah Matriks Transpose Matriks Simetri Matriks 0/1 6

Matriks diagonal • Matriks bujur sangkar dengan aij = 0 untuk i ≠ j • Seluruh elemen tidak terdapat pada posisi i ≠ j bernilai 0 • Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar dimana semua elemen kecuali diagonal utama adalah nol. 7

2. Matriks Identitas • Matriks identitas dilambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal = 1 • Matrik identitas adalah matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utama adalah 1. 8

3. Matriks segitiga atas /bawah • Matrik yang elemen-elemen di atas/di bawah diagonal bernilai 0, yaitu aij = 0 , jika i<j(i>j) • Matriks segitiga atas adalah matriks dimana semua elemen dibawah diagonal utama adalah nol. • Matriks segitiga bawah adalah matriks dimana semua elemen diatas diagonal utama adalah nol. 9

4. Matriks tranpose • Matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom. • Misalkan A=[aij] berukuran m x n, maka transpose dari matriks A ditulis AT, adalah matriks n x m yang dalam hal ini jika AT=[bij] maka bij = aij untuk I = 1, 2, …n dan j = 1, 2, …m 10

5. Matriks Simetri • A adalah matriks simetri jika AT=A yaitu jika aij = aji untuk setiap I dan j • Pada matriks simetri elemen di bawah diagonal adalah hasil pencerminan dari elemen di atas diagonal terhdap sumbu diagonal matriks 11

6. Matriks 0/1 • Adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1 • Matriks ini banyak digunakan untuk merepresentasikan relasi keterhubungan 12

Operasi Pada Matriks • Penjumlahan dua buah matriks • Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. 13

Perkalian dua buah matriks • Definisi. Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris I dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. 14

15

Sifat sifat yang berlaku pada perkalian matriks 16

Perkalian matriks dengan skalar • Misal k adalah sebuah skalar • Perkalian matriks A dengan skalar k adlah mengalikan setiap elemen matriks dengan k 17

Definisi Relasi • Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain • Relasi (R) dari himpunan X ke himpunan Y adalah sebuah sub himpunan dari hasil kali X. Y. – Maka himpunan X atau x Є X | (x, y) Є R untuk beberapa y Є Y disebut daerah asal (domain). – Kemudian himpunan Y atau y Є Y | (x, y) Є R untuk beberapa x Є X disebut daerah kawan (kodomain) – Sedangkan daerah hasil (range) adalah himpunan relasi dari himpunan X dan himpunan Y adalah X. Y

• Contoh: – X ={Bill, Marry, Beta, Dave} – Y ={Ilmu komputer, Matematika, Seni, sejarah} maka relasi X. Y adalah R={(Bill, ilmu komputer), (Marry, Matematika), (Bill, Seni), (Beta, Sejarah), (Beta, ilmu komputer), (Dave, Matematika)}

Representasi Relasi • Ada 3 cara untuk penyajian: – Tabel – Matrik – Grafik berarah

Bentuk Tabel • Misal : X ={2, 3, 4}, Y={3, 4, 5, 6, 7} jika didefinisikan relasi R dari X ke Y dengan (x, y) Є R, jika X membagi Y (tanpa sisa) maka R adalah: {(2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}, untuk bentuk tabel:

Bentuk Matrik • Misalkan R adalah relasi dari A ={a, b, . . . z} dan B={1, 2, . . . , 100}. Relasi R dapat disajikan dengan matrik M=[mij]. • M= • Dengan kata lain, elemen matrik pada posisi (I, j) bernilai 1 jika A dihubungkan dengan B dan bernilai 0 jika A tidak dihubungkan dengan B.

Contoh Matrik • A = {Amir, Budi, Cecep} • B={IF 221, IF 251, IF 342, IF 323} R={(Amir, IF 251), (Amir, IF 323), (Budi, IF 221), (Budi, 251), (Ce cep, IF 323)}, maka matriknya: R=

Bentuk Graf Berarah • Merupakan representasi relasi secara grafis • Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul) dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah. • Contoh : – R = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, c), (b, d), (c, a), (c, d), (d, b)}, maka representasinya:

Mengkombinasikan Relasi • Jika R 1 dan R 2 merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka R 1 ∩ R 2, R 1 U R 2, dan sebagainya. • Contoh : A ={a, b, c} dan B={a, b, c, d}, Relasi R 1={(a, a), (b, b), (c, c)} dan relasi R 2={(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)} adalah relasi dari A ke B. Kombinasi relasi : R 1 ∩ R 2 ={(a, a)} R 1 U R 2 ={(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)} R 1 – R 2= {(b, b), (c, c)} R 2 – R 1={(a, b), (a, c), (a, d)} R 1 + R 2 = (R 1 U R 2)-(R 1 ∩ R 2) ={(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

Komposisi Relasi • Komposisi R dari S, dinotasikan dengan Ro. S adalah relasi A ke C yang didefinisikan oleh: Ro. S ={(a, c)| a Є A, c Є C}, dimana b Є B, (a, b) Є R dan (b, c) Є S. • Contoh: R={(1, 2), (1, 6), (2, 4), (3, 6), (3, 8)} adalah relasi dari himpunan {1, 2, 3} ke himpunan {2, 4, 6, 8} dan S={(2, u), (u, s), (4, t), (6, t), (8, 4)} dan relasi dari himpunan {2, 4, 6, 8} ke himpunan {s, t, u} maka komposisi relasi R dan S adalah Ro. S ={(1, u), (1, t), (2, s), (2, t), (3, s), (3, t), (3, u)}

Soal 1. P={2, 4, 8, 9, 15} dan Q={2, 3, 4}. Definisikan bahwa R jika P habis dibagi Q. Jawab: R={(2, 2), (4, 4), (8, 4), (9, 3), (15, 3)}

2. Berapa relasi (R) pada x={1, 2, 3, 4} dengan didefinisikan oleh (x, y) Є R jika x ≤ y, x, y Є x ! 3. Gambarkan graf pada relasi (R) pada soal 2! 4. R adalah relasi pada A={2, 3, 4, 8, 9} yang didefinisikan oleh (x, y) Є R, jika x adalah faktor prima dari Y. a. Berapa R! b. Gambarkan matriks 5. Tuliskan relasi sebagai himpunan pasangan terurut:

6. R adalah relasi pada A ={1, 2, 3, 4} jika didefinisikan oleh “ X lebih kecil dari Y”! 7. Tentukan Invers dari R (R^-1) dari relasi pada soal 6! 8. R adalah relasi dari A={1, 2, 3, 4} ke B={x, y, z} didefinisikan oleh: R={(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)} a. Tentukan domain dan range dari R! b. Tentukan relasi invers dari R (R^-1) !

9. Buatlah diagram panah untuk sebuah relasi dari himpunan berhingga A ke himpunan berhingga B. R={(1, y), (1, z), (3, y), (4, x), (4, z)}! 10. S adalah relasi dari A ={Ellen, Stephania, Audrey, Jane} ke b={ya, tidak} didefinisikan dengan R={(ellen, tidak), (stephania, ya), (audrey, ya), (jane, tidak)}. Tentukan matrik M yang mewakili relasi R. 11. R adalah relasi dari X={1, 2, 3, 4} ke Y={a, b, c, d} seperti ditunjukkan pada berikut: a. 1 R b b. 2 R c c. 3 R a d. 4 R c

12. A ={1, 2, 3}, B={a, b, c}, C={x, y, z}, relasi R dari A ke B adalah {(1, b), (2, a), (2, c)} dan relasi B ke C adalah {(a, y), (b, x), (c, y), (c, z)}, tentukan komposisi Ro. S! 13. A={1, 2, 3, 4}, B={a, b, c, d} dan C={x, y, z}. Relasi R dari A ke B adalah {(1, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)}, relasi S dari B ke C adalah {(b, x), (b, z), (c, y), (d, z)}. Tentukan relasi Ro. S?