MATEMATIKA DISKRIT MATRIKS RELASI DAN FUNGSI Defni Hubungan

MATEMATIKA DISKRIT MATRIKS, RELASI DAN FUNGSI Defni

Hubungan antara elemen himpunan dengan himpunan yang lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Contohnya : hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah, dll Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut : relasi Dan jenis khusus dari relasi disebut dengan : fungsi Sebelumnya dimulai dengan matriks. Di dalam matematika diskrit matriks digunakan untuk merepresentasikan struktur diskrit. Struktur kritis adalah struktur matematika abstrak yang digunakan untuk merepresentasikan objek 2 diskrit dan hubungan antar objek tersebut.

MATRIKS n DEFINISI DAN NOTASI ê Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen-elemen) disusun dalam bentuk empat persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. ê Notasi yang digunakan adalah dengan kurung besar atau kurung siku [ ]. ê Notasi matriks 3 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

MATRIKS (Lanjt. ) ê Elemen aij matriks A dapat berupa bilangan-bilangan sejati, kompleks, dan dapat pula suatu fungsi beberapa variabel. ê Matriks A di atas, mempunyai banyak baris = i dan kolom = j , jadi elemen aij dari matriks Aij terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j ê Cara penulisan matriks yang lain ê Matriks di atas mempunyai m baris dan n kolom dan disebut berorde (m, n). 4 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Macam-macam Matriks n MATRIKS BARIS Matriks baris mempunyai n elemen dalam baris tunggal, jadi ordenya (1, n). Juga sering disebut vektor baris, vektor macam pertama atau PRIME. Bentuk umumnya [A] = [a 1 a 2 a 3 … an] n MATRIKS KOLOM Matriks kolom mempunyai m elemen dalam kolom tunggal. Jadi ordenya (m, 1). Juga sering disebut vektor kolom, vektor macam kedua atau POINT. Bentuk umumnya n MATRIKS NOL Matriks yang semua elemen-elemennya adalah nol. 5 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Macam-macam Matriks (Lanjt. ) n MATRIKS BUJURSANGKAR Matriks yang cacah baris dan cacah kolomnya sama. Matriks bujursangkar berorde-n mempunyai n baris dan n kolom. Elemen-elemen aii merupakan elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya. Bentuk umumnya n MATRIKS DIAGONAL Matriks bujursangkar yang elemen-elemennya = 0 kecuali elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya. Bentuk umumnya n MATRIKS SATUAN Matriks diagonal yang elemen-elemennya = 1. Matriks satuan berorde n diberi symbol [In] atau bila ordenya sudah jelas ditulis [I] 6 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Macam-macam Matriks (Lanjt. ) n MATRIKS SKALAR Matriks diagonal yang elemen-elemennya sama besar, tetapi bukan nol atau satu. n MATRIKS SEGITIGA ATAS Matriks bujursangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya = 0 n MATRIKS SEGITIGA BAWAH Matriks bujursangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya = 0 n MATRIKS SIMETRIS Matriks bujursangkar yang elemen-elemennya simetris secara diagonal. Jadi aij=aji Misal : 7 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Macam-macam Matriks (Lanjt. ) n MATRIKS SIMETRIS SKEW Matriks bujursangkar yang elemen-elemen aij=-aji dan semua elemen diagonalnya aii=0 Misal : n MATRIKS TRIDIAGONAL Matriks bujursangkar yang semua elemen-elemennya = 0, kecuali elemen-elemen pada diagonal utamanya serta samping kiri dan kanannya. Misal : n MATRIKS TRANSPOSE Matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris dari suatu matriks. Misal : 8 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Macam-macam Matriks (Lanjt. ) maka matriks transposenya : n MATRIKS ORTOGONAL Suatu matriks bujursangkar yang memenuhi aturan : [A]T [A] = [A]T = [I] 9 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

ALJABAR MATRIKS n ALJABAR MATRIKS Operasi terhadap suatu matriks merupakan operasi terhadap elemennya. Umumnya elemen-elemen itu terdiri dari bilangan sejati, maupun kompleks yang tunduk terhadap aturan aljabar skalar. n KESAMAAN MATRIKS [A] = [B] bila dan hanya bila berorde sama dan aij =bij n PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN Operasi ini hanya dapat dilakukan pada matriks yang berorde sama. Apabila [A] dan [B] matriks yang berorde sama maka [A] + [B]=[C] berorde sama pula dan elemen-elemennya cij = aij + bij [A] - [B] =[D] juga berorde sama dan elemen-elemennya dij = aij - bij 10 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

ALJABAR MATRIKS (Lanjt. ) n PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR Mengalikan matriks dengan scalar dapat dituliskan di depan atau di belakang matriks, setara dengan mengalikan tiap unsur matriks itu dengan skalar. [C] = k [A] = [A] k dan cij = k aij n PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS Perlu diperhatikan ê Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak komutatif ê Apabila matriks dikalikan dengan matriks menurutan tertentu, maka harus dipenuhi beberapa syarat tertentu. Apabila cacah kolom [A] = cacah baris [B] maka [A] dapat dikalikan dengan urutan: [C] = [A] [B] Matriks [A] dan [B] disebut comformable Apabila matriks [A] berorde (m, q) dan [B] berorde (q, n) maka [C] akan berorde (m, n) 11 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

ALJABAR MATRIKS (Lanjt. ) n Contoh : n [C] = [A] [B] n Mungkin terjadi [A] [B] = [B][A]. Bila begini terjadi maka disebutlah [A] comute dengan [B] atau [A] dan [B] itu permutable. Salah satu contoh ialah matriks satuan permutable dengan matriks bujursangkar yang berorde sama. [A] [I] = [I] [A] 12 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

ALJABAR MATRIKS (Lanjt. ) n PERKALIAN MATRIKS YANG BERUNTUN Telah disebut di atas bahwa perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. Sebaliknya hukum aljabar biasa berlaku bagi perkalian matriks. Misal Hukum Asosiatif dalam perkalian matriks yang beruntun [d] = ([a] [b] [c]) = ([a] [b]) [c] = [a] ([b] [c]) sehingga dapat dituliskan [d] = [a] [b] [c] atau Apabila semua matriksnya sama, maka dapat dituliskan [a]n = [a] [a] … [a] 13 ©Silberschatz, Korth and Sudarshan

Relasi Cara yang paling mudah untuk menyatakan hubungan antar elemen dari dua himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Notasi : A x B = { (a, b) | a є A dan B Relasi antara A dan B disebut relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x. B Notasi : R ( A x B ) Misalkan : {amir, budi, cecep} adalah himpunan nama mahasiswa, B = {matdis, alpro, matematik} adalah himpunan mata kuliah yang ada di teknik komputer

Maka perkalian kartesian antara A dan B menghasilkan himpunan pasangan terurut sebanyak : | A|. |B | = 3. 3 = 9 buah, yaitu : {Amir, matdis}, {amir, alpro}, {amir, matematika}, {budi, matdis}, {b udi, alpro}, {budi, matematika}, {cecep, alpro}, {cecep, matdis, }, {cecep, matematika}.