RELASI Sebuah relasi R antara himpunan A dan

RELASI

• Sebuah relasi R antara himpunan A dan B adalah sebuah himpunan dari pasangan terurut anggota-anggota himpunan A dan B. R adalah himpunan bagian dari Ax. B • Jika A dan B adalah dua himpunan yang sama, maka cukup dikatakan bahwa R adalah relasi pada A

Contoh 1. Misalkan, A = {1, 2, 3, } dan B = {a, b}. Definisikanlah beberapa relasi antara A dan B. Penyelesaian: Berikut ini beberapa relasi yang dapat dibentuk antara A dan B R 1 = {(1, a), (2, b), (3, a), (1, b)} R 2 = {(3, b)} R 3 = Ø

2. Misalkan, A = {1, 2, 3, } dan R adalah relasi pada A yang berisi pasangan berurut (a, b) sehingga a ≥ b. Daftarkanlah semua anggota dari R. Penyelesaian R = {(3, 3), (3, 2), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (1, 1)} 3. Jika |A| = 4 dan |B| = 3 , berapa banyak relasi yang dapat dibentuk antara A dan B? Penyelesaian Karena A x B memiliki jumlah anggota 12, maka terdapat 212 himpunan bagian dari A x B yang juga jumlah relasi antara A dan B

Representasi Grafis dari Relasi 1. Menggunakan kalimat, seperti "lebih besar dari", "lebih kecil dari", dsb. 2. Mendaftarkan himpunan dari pasangan berurutnya. 3. Menggambarkannya ke dalam bentuk graph (grafik), dengan menggunakan panah untuk menunjukkan hubungan pada pasangan berurutnya.

Contoh 1. Diberikan himpunan A = {1, 2, 3, } dan R adalah relasi pada A yang didefinisikan sebagai berikut: R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 1· 2· 3· · 1 · 2 · 3

2. Daftarkanlah semua pasangan berurut yang merupakan anggota dari relasi yang ditunjukkan pada gambar berikut. a· b· c· · 1 · 2 · 3 Penyelesaian Relasi yang didefinisikan pada gambar di atas adalah himpunan dari relasi R berikut: R = {(a, 2), (b, 2), (c, 3)}

• Jika R adalah relasi pada himpunan A, representasi grafis dari R dapat berupa bentuk lain, yakni dengan mendaftarkan anggota-anggota A sekali saja. • Gambar di bawah menunjukkan representasi grafis untuk relasi yang ditunjukkan pada Gambar sebelumnya. R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} Representasi seperti ini disebut dengan directed graph (graph berarah). · 1 · 2 3·

Contoh • Gambarkan bentuk directed graph dari relasi "lebih kecil atau sama dengan" pada himpunan S 3 Penyelesaian dari masalah ini dijelaskan pada Gambar di bawah ini. Karena 1 ≤ 1 maka terdapat panah yang mulai dan akhirnya pada 1, yang seperti ini disebut dengan loop. · 1 · 2 3·

Representasi Matriks dari Relasi • Diberikan himpunan A dengan jumlah anggotanya n, dan himpunan B dengan jumlah anggotanya m. A = {a 1, a 2, …, an} B = {b 1, b 2, …, bm} • Diketahui R adalah relasi antara A dan B. Didefinisikan matriks M dengan ukuran nxm sebagai berikut: M = (i, jb) = false if (ai, bj) Є R true if (ai, bj) Є R

• Untuk i = 1, 2, …, n dan j = 1, 2, …, m. Matriks M disebut logical matrix (matriks logika) untuk R. • Anggota matriks yang bernilai false dapat digantikan dengan angka 0 dan angka 1 untuk nilai true. • Matriks berikut menunjukkan relasi R = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}, dengan catatan digunakan T untuk true dan F untuk false 1 2 3 1 F T T 2 T F F 3 F T T F T F T

Contoh • Diketahui A adalah himpunan S 3 dan B adalah himpunan S 2. Diberikan R sebagai relasi antara A dan B. R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (3, 2)} Tuliskan representasi matriks dari relasi tersebut. Penyelesaian Karena |A|=3 dan |B|= 2 representasi matriks dari R harus memiliki tiga baris dan dua kolom. Pada baris 2, kolom 2, akan diisi dengan false, karena (2, 2) adalah bukan anggota dari R. Representasi matriks M selengkapnya adalah sebagai berikut:

• Diberikan representasi matriks M 1 dan M 2 dari dua buah relasi R 1 dan R 2 berikut ini. T F T T M 1 = T F T F F T dan M 2 = F T F T T • Gambarkanlah bentuk directed graphnya. Penyelesaian Matriks M 1 memiliki tiga baris dan empat kolom, sehingga M 1 dapat direpresentasikan sebagai relasi R 1 antara S 3 dan S 4 , gambar grafik dari R 1 ditunjukkan pada Gambar (a) berikut

(a) 1 2 3 (b) 1 2 3 4 · 1 · 2 3·

Sifat-sifat relasi • Relasi pada sebuah himpunan dapat di klasifikasikan menurut sifatnya. • Diketahui R adalah relasi pada himpunan A. – Dikatakan R bersifat refleksif (reflexive) jika untuk semua x Є A, x. Rx. – Dikatakan R bersifat simetrik (symmetric) jika untuk semua x, y Є A , x. Ry => y. Rx – Dikatakan R bersifat transitif (transitive) jika untuk semua x, y, z Є A , x. Ry dan y. Rz => x. Rz

1. Relasi Refleksif Relasi R pada himpunan X disebut refleksif jika (x, x) R untuk setiap x X Sebuah directed graph (graph berarah) dari setiap relasi refleksif merupakan sebuah panah dari setiap titik ke titik itu sendiri. Contoh dari relasi refleksif digambarkan sebagai berikut. a· ·b c· ·d

Refleksif • Digraf dari refleksif mempunyai sebuah loop pada setiap ujungnya. • Contoh : X = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} 17

Tidak Refleksif • Salah satu atau lebih vertex tidak mempunyai loop • Contoh : X = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4)} 18

2. Relasi Simetrik Relasi R pada himpunan X disebut simetris jika untuk semua x, y X, jika (x, y) R maka (y, x) R Digraf dari relasi simetris mempunyai sifat bahwa terdapat rusuk berarah dari v ke w, maka juga terdapat rusuk berarah dari w ke v

• Contoh : X = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 4)} (2, 3) di R dan (3, 2) di R 20

Antisimetris (Tidak Simetris) • Relasi R pada himpunan X disebut antisimetris jika untuk semua x, y X, jika (x, y) R dan x y, maka (y, x) R • Digraf dari relasi antisimetris mempunyai sifat bahwa diantara sembarang 2 ujung terdapat rusuk 2 arah 21

Antisimetris (lanjutan) • Contoh : X = {1, 2, 3, 4} R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} (2, 3) R tetapi (3, 2) R 22

3. Relasi Transitif Relasi R pada himpunan X disebut transitif jika untuk semua x, y, z X, jika (x, y) dan (y, z) R, maka (x, z) R Digraf dari relasi transitif mempunyai sifat bahwa apabila terdapat rusuk berarah dari x ke y dan dari y ke z, maka terdapat rusuk berarah dari x ke z. 23

Transitif Pasangan berbentuk (x, y) (y, z) (x, z) (1, 1) (2, 2) (1, 1) (1, 2) (2, 3) (1, 1) (1, 3) (2, 2) (2, 4) (1, 1) (1, 4) (2, 3) (3, 3) (2, 3) (1, 2) (2, 2) (1, 2) (2, 3) (3, 4) (2, 4) (1, 2) (2, 3) (1, 3) (2, 4) (4, 4) (2, 4) (1, 2) (2, 4) (1, 4) (3, 3) (1, 3) (3, 4) (1, 3) (3, 4) (1, 4) (3, 4) (4, 4) (3, 4) (1, 4) (4, 4) 24

Berikut ini contoh relasi transitif: Subset pada sebuah power set (jika A merupakan subset dari B , dan B merupakan subset dari C, maka A merupakan subset dari C) a· ·b c· ·d (a) (b) (c)

Komposisi Relasi • Membuat relasi baru dari beberapa relasi yang sudah ada. • Diketahui R adalah relasi antara dua buah himpunan A dan B, dan S adalah relasi antara himpunan B dan C. komposisi relasi antara R dan S adalah relasi antara A dan C, yang dinotasikan dengan S ο R , didefinisikan sebagai berikut: S ο R = { x, z: x Є A, z Є C, dan terdapat y Є B sehingga x. Ry dan y. Sz}

• Gambar berikut menunjukkan komposisi dari relasi R dan S ( S ο R ). R 1· A S · y · z · x · w B C

Contoh • Diketahui R adalah relasi antara S 3 dan S 4, dan S adalah relasi antara S 4 dan S 2 yang ditunjukkan pada Gambar di bawah ini. Buatlah komposisi relasi S ο R antara S 3 dan S 2 1 2 3 4 1 2 3 R 1 2 3 4 1 2 S

Penyelesaian: Komposisi relasi dapat diperoleh dengan mencari semua panah dari titik di S 3 yang berakhir pada titik di S 4 , dan kemudian panah tersebut meninggalkan S 4 menuju ke S 2. Contoh: (1, 1) dan (1, 2) Є S ο R karena terdapat sebuah panah dari 1 ke 3 pada R (yakni, (1, 3) Є R ), dan terdapat panah dari 3 ke 1 dan dari 3 ke 2 pada S (yakni, (3, 1) dan (3, 2) Є S) 1 2 3 1 2 Anggota-anggota dari komposisi relasi S ο R adalah: {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

Perkalian Logical Matrix • Operasi matriks yang menggabungkan representasi matriks dari dua relasi untuk memperoleh representasi matriks dari gabungan relasi tersebut. • Diketahui A = {a 1, a 2, …, am} dan B = {b 1, b 2, …, bm} dan C {c 1, c 2, …, cm}. Diketahui R adalah relasi antara A dan B, dan S adalah relasi antara B dan C. Maka M 1 merupakan representasi matriks berukuran mxn dari relasi R , dan S mempunyai representasi matriks M 2 yang berukuran nxp. Maka komposisi relasi S ο R mempunyai representasi matriks M 3 yang berukuran mxp. M 3 = M 1 g. M 2

• Setiap anggota dari matriks dapat diisi dengan memenuhi aturan berikut: untuk setiap i Є {1, … , m} dan j Є{1, . . . , p}, M 3(i, j) = true (benar) jika dan hanya jika ai. S ο Raj, yang mana ini akan dipenuhi jika dan hanya jika terdapat k={1, …, n} sedemikian hingga ai. Rbk dan bk. Sci . Menggunakan definisi operasi logika "and“ dan "or", diperoleh formula sebagai berikut: M 3(i, j) = [M 1(i, 1) and M 2(1, j)]or [M 1(i, 2) and M 2(2, j)]or. . . [M 1(i, n) and M 2(n, j)] • Logical matrix M 3 disebut juga dengan perkalian matriks logika (logical matrix product) dari matriks M 1 dan M 2

Contoh 1. Hitunglah M 3= M 1 g. M 2 dari matriks hasil relasi M 1 dan M 2 berikut ini: T T F F T T M 1 = M 2 = F F T F T Penyelesaian M 1 adalah matriks 2 x 3 dan M 2 adalah matriks 3 x 4, matriks hasil perkalian M 1 dan M 2 adalah matriks M 3 yang berukuran 2 x 4. Berdasarkan definisi, nilai matriks M 3 (2, 3) dicari dengan cara:

M 3(2, 3) = [M 1(2, 1) and M 2(1, 3)]or [M 1(2, 2) and M 2(2, 3)]or. . . [M 1(2, n) and M 2(3, 3)] Hasil operasi dari perkalian antara baris ke dua dari matriks M 1 (F T F) dengan kolom ketiga dari matriks M 2 (T F F). Diperoleh: M 3 (2, 3) = [F and T] or [T and F] or [F and F]=F Hasil selengkapnya untuk matriks M 3 adalah sebagai berikut: T F T F F F

Latihan 1. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan R adalah relasi pada A yang diberikan sebagai berikut: R ={(1, 2), (1, 3), (2, 4)}. Tunjukkan representasi dari R dalam bentuk berikut: (a) representasi grafis (b) representasi directed graph (graph berarah) (c) representasi matriks 2. Misalkan A = {1, 2, 3, 45, 6} dan R adalah relasi pada A yang didefinisikan dengan: R = {(x, y) : x < y atau x adalah bilangan prima}. Tunjukkan representasi matriks dari R.

3. Tuliskan relasi yang ditunjukkan pada Gambar berikut ini sebagai himpunan dari pasangan berurut. · 1 · 2 3·

4. Diketahui R adalah relasi antara S 3 dan S 5 : R = {(1, 1), (1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5)} Dan S adalah relasi antara S 5 dan S 2 : S = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)} (a) Buatlah komposisi relasi S ο R antara S 3 dan S 2 (b) Buatlah representasi matriks dari komposisi relasi S ο R menggunakan perkalian logical matrix.

5. Jika diketahui X = {1, 2, 3, 4} Tentukan relasi berikut memiliki sifat transitif atau tidak: a. R 1 = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} b. R 2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 4)} c. R 3 = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 2)} d. R 4 = {(1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} e. R 5 = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 2), (4, 1)}

6. Diketahui matriks : F T T F F M 1 = T F M 2 = F T T (a) Hitunglah M 1 g. M 2 (b) Hitunglah M 2 g. M 1