Materi 11 Teori Graf Contoh graf Peta jawa

Materi 11 Teori Graf

Contoh graf • Peta jawa tengah : sehingga – Kita tau apakah ada lintasan jalan antar 2 kota – Rute dari satu kota ke kota lainnya melalui kota apa saja – Rute tersingkat dari kota A ke kota Z

Definisi graf • Definisi pada Graf : – V = himpunan vertex atau node • V = {v 1, v 2, v 3, . . , Vn} • V dapat berupa huruf, angka atau kombinasi antar keduanya • V harus ada isinya – E = himpunan edge yang menghubungkan antar vertex • • E ={e 1, e 2, e 3, . . . , en} E = (vi, vj) E adalah edge yang menghubungkan vertex i dengan vertex j E boleh tidak ada isinya

Contoh Graf • G 1 : – V = {1, 2, 3, 4} – E = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 4)} • G 2 : – V = {1, 2, 3, 4} – E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4)} – E = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7} – Catt e 3 dan e 4 multiple edges/ paralel edges • G 3 : – V = {1, 2, 3, 4} – E = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 3)} – E = { e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6, e 7, e 8} – Catt e 8 loop

Jenis graf berdasarkan loop atau multiple edges • Simple graf – Tidak ada loop dan multiple edges – Tidak ada arah – Ex : saluran kable komputer dapat 2 arah • Unsimple graf – Multigraph ada multiple edges – Pseudograph ada loop, jika ditambah multiple edges, tetap Pseudograph

Introduction to Graphs • Example: A multigraph G with vertices V = {a, b, c, d}, edges {1, 2, 3, 4, 5} and function f with f(1) = {a, b}, f(2) = {a, b}, f(3) = {b, c}, f(4) = {c, d} and f(5) = {c, d}: 1 4 b a 2 3 c d 5

Jenis graf berdasarkan jumlah vertex • limited graf – Jumlah vertex berhingga – dipelajari • Unlimited graf – Jumlah vertex tidak berhingga – Tidak dipelajari

Jenis graf berdasarkan orientasi arah • Undirected graf – Tidak ada penunjukan arah pada edge – Sehingga (vi, vj) = (vj, vi) • Directed graf – Ada penunjukan arah pada edge – Sehingga ada : • Initial vertex • Terminal vertex

Introduction to Graphs • Example: A directed multigraph G with vertices V = {a, b, c, d}, edges {1, 2, 3, 4, 5} and function f with f(1) = (a, b), f(2) = (b, a), f(3) = (c, b), f(4) = (c, d) and f(5) = (c, d): 1 4 b a 2 3 c d 5

Type Edges Multiple edges ? Loops ? Simple graph undirected no no Multigraph undirected yes no Pseudograph undirected yes Directed graph directed no yes Directed multigraph directed yes Lihat Tabel 1 – halaman 540

Contoh Terapan Graf 1. 2. 3. 4. 5. Penggambaran Peta Penggambaran jembatan Rangkaian Listrik Pengujian program Teori bahasa dan Otomata

Graph Terminology Sub bab 8. 2

Terminologi/istilah Graf • Adjacent/ketetanggaan : – 2 vertex bertetangga bila keduanya terhubung langsung – Ex : 6. 12 (a) vertex 1 bertetangga dengan vertex 2 dan 3, tapi tidak dengan 4 • Incidency/bersisian : – Edge e = (a, b ) dikatakan e berinciden dengan vertex a atau vertex b – Ex : 6. 12(a) edge (1, 2) berinsiden dengan vertex 1 dan 2, tapi edge (1, 2) tidak berinsiden dengan vertex 4

Terminologi: a v e = {u, v} u {v, w} w (b, a) b (b, c) c u dan v adjacent b dan c adjacent v dan w adjacent b = initial vertex, adjacent to c edge e incident with c = terminal vertex, adjacent from b endpoints u dan v degree (v) = 4 in-degree (b) = deg – (b) = 1 out-degree(b) = deg +(b) = 3

Terminologi (lanjutan): v r Vertex v disebut “isolated” Vertex p disebut “pendant” q p Graph di samping ini disebut “regular” (3 -regular) karena tiap vertex memiliki degree sama (3)

Terminologi (lanjutan): v q r p “Complementary graph” untuk graph di samping ini adalah v r q p

Terminologi/istilah Graf • Isolated vertex – Vertex yg tidak mempunyai edge • Graf kosong – Graf yang mempunyai vertex tapi tidak mempunyai edge • Degree – – – Jumlah edge yang menyentuh vertex Loop degree = 2 Lambang d(v) Ex : 6. 12 (a) d(1) = d(4) =2 D(2) = d(3) =3

Terminologi/istilah Graf – Pendant vertex yang berderajat 1 – Pada graf yang berarah : • , din(v) = jumlah edge yang masuk ke vertex • , dout(v) =jumlah edge yang keluar dari vertex • Sehingga d(v) = din(v) + dout(v)

Graph Terminology • Definition: In a graph with directed edges, the indegree of a vertex v, denoted by deg-(v), is the number of edges with v as their terminal vertex. • The out-degree of v, denoted by deg+(v), is the number of edges with v as their initial vertex. • Question: How does adding a loop to a vertex change the in-degree and out-degree of that vertex? • Answer: It increases both the in-degree and the outdegree by one.

Graph Terminology • Example: What are the in-degrees and outdegrees of the vertices a, b, c, d in this graph: • deg-(a) = 1 • deg+(a) = 2 • deg-(d) = 2 • deg+(d) = 1 a d b • deg-(b) = 4 • deg+(b) = 2 c • deg-(c) = 0 • deg+(c) = 2

Graph Terminology • Theorem: Let G = (V, E) be a graph with directed edges. Then: • v V deg-(v) = v V deg+(v) = |E| • This is easy to see, because every new edge increases both the sum of in-degrees and the sum of out-degrees by one.

Teorema: G = (V, E) = directed graph = = |E| contoh: 2 b a 1 3 4 c d 5

Graph Terminology • Example: Which vertices in the following graph are isolated, which are pendant, and what is the maximum degree? What type of graph is it? d a b i c h e f g j • Solution: Vertex f is isolated, and vertices a, d and j are pendant. The maximum degree is deg(g) = 5. This graph is a pseudograph (undirected, loops).

Graph Terminology • Let us look at the same graph again and determine the number of its edges and the sum of the degrees of all its vertices: d a b i c h e f g j • Result: There are 9 edges, and the sum of all degrees is 18. This is easy to explain: Each new edge increases the sum of degrees by exactly two.

Istilah graf • The Handshaking Theorem : – Jumlah degree semua vertex adalah genap, yaitu 2 x edge – Dikatakan handshaking karena seperti jabat tangan, tiap edge pasti dihitung 2 kali, karena mempunyai 2 vertex, sehingga seperti orang berjabat tangan – Ex : 6. 12 (a) : • Edge = 5 • Sehingga jumlah degree semua vertex adalah 2 x 5 = 10 • , d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 2 = 10

Istilah graf • Karena adanya teori handshaking, maka didapat teorema baru yaitu : – Untuk sembarang graf, banyaknya vertex yang berderajat ganjil adalah genap • Path / lintasan – Serangkaian vertex atau gabungan vertex dengan edge – Simple path dimana semua edge dilewati hanya 1 kali – Closed walk / cycle / circuit path yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama – Open walk path yang berawal dan berakhir pada simpul yang tidak sama – Ex : 6. 12 (a) • Path 1, 2, 4, 3 adalah simple path dan open walk, panjang path = 3 • Path 1, 2, 4, 3, 1 adalah simple path dan colse walk, panjang path = 4 – Panjang path jumlah edge pada path tersebut – Jika ada multiple edge, maka penulisannya adalah penggabungan antara vertex dan edge 1 e 1 3 e 4 5 e 8