Operasi Graf Cut Block Bipartite Graf Planar Teori

Operasi Graf Cut, Block, Bipartite Graf Planar Teori Graf Teknik Informatika Stt Wastukancana Purwakarta

Complement • Komplemen dari simple graf G =(V, E) adalah simple graf Ḡ = (V, Ē), dimana egde yang ada di Ē tidak ada sama sekali di E

• • Berdasarkan definisi graf (yang terdiri dari 2 himpunan) dan operasi pada himpunan, maka pada graf juga dapat dilakukan operasi Gabungan (Union) Irisan (Intersection) Selisih Penjumlahan Ring (Ring Sum)

Gabungan (Union) • Bila diketahui 2 buah graf G 1(V 1, E 1) dan G 2(V 2, E 2), maka : • Gabungan G 1 G 2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 V 2 dan himpunan E nya = E 1 E 2

Irisan (Intersection) • Irisan G 1 G 2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 V 2 dan himpunan E nya = E 1 E 2

Selisih • Selisih G 1 - G 2 adalah graf dengan himpunan V nya = V 1 dan himpunan E nya = E 1 - E 2 • Selisih G 2 – G 1 adalah graf dengan himpunan V nya = V 2 dan himpunan E nya = E 2 – E 1 F

Penjumlahan Ring (Ring Sum) • Penjumlahan Ring G 1 G 2 adalah graf yang dihasilkan dari (G 1 G 2) – (G 1 G 2) atau (G 1 - G 2) (G 2 - G 1)

Cuts • Vertex v dari graf G adalah sebuah cut vertex atau articulation vertex apabila graf G−v memiliki banyak komponen daripada graf G • Graf yang memiliki cut vertex adalah graf yang separable

Block • Block dari suatu graf adalah subgraf G 1 dari G dimana : • G 1 nonseparable • Jika G 2 adalah subgraf dari graf G yang lain, G 1 ∪ G 2 = G 1 or G 1 ∪ G 2 separable

Bipartite • Sebuah graf yang himpunan vertex-nya dapat dibagi menjadi dua sub-himpunan X dan Y yang mana setiap edge memiliki satu end vertex di X, dan satu end vertex di Y

Graf Planar (Planar Graph) • Graf yang dapat digambarkan pada bidang datar dengan sisi-sisi tidak saling memotong (bersilangan) disebut graf planar, • jika tidak, maka ia disebut graf tak-planar. • Contoh graf planar:

Aplikasi Graf Planar

Aplikasi Graf Planar • Perancangan IC (Integrated Circuit) • Tidak boleh ada kawat-kawat di dalam IC-board yang saling bersilangan dapat menimbulkan interferensi arus listrik malfunction • Perancangan kawat memenuhi prinsip graf planar

Latihan • Gambarkan graf (kiri) di bawah ini sehingga tidak ada sisi-sisi yang berpotongan (menjadi graf bidang). •

. 17

Graf Bidang (Plane Graph) • Sisi-sisi pada graf bidang membagi bidang datar menjadi beberapa wilayah (region) atau muka (face). • Graf bidang pada gambar di bawah ini terdiri atas 6 wilayah (termasuk wilayah terluar): 18

• Hubungan antara jumlah vertex (n), jumlah edge (e), dan jumlah wilayah (f) pada graf bidang: n – e + f = 2 (Rumus Euler) • Pada Gambar di atas, e = 11 dan n = 7, f = 6, maka 7 – 11 + 6 = 2. 19

Latihan • Misalkan graf sederhana planar memiliki 24 buah simpul, masing-masing simpul berderajat 4. Representasi planar dari graf tersebut membagi bidang datar menjadi sejumlah wilayah atau muka. Berapa banyak wilayah yang terbentuk? 20

Jawaban • Diketahui n = jumlah simpul = 24, maka jumlah derajat seluruh simpul = 24 4 = 96. • Menurut lemma jabat tangan, jumlah derajat = 2 jumlah sisi, sehingga jumlah sisi = e = jumlah derajat/2 = 96/2 = 48 • Dari rumus Euler, n – e + f = 2, sehingga f = 2 – n + e = 2 – 24 + 48 = 26 buah.

• Pada graf planar sederhana terhubung dengan f buah wilayah, n buah vertex, dan e buah edge (e > 2) selalu berlaku: e 3 n – 6 • Ketidaksamaan yang terakhir dinamakan ketidaksamaan Euler, • yang dapat digunakan untuk menunjukkan keplanaran suatu graf sederhana • kalau graf planar, maka ia memenuhi ketidaksamaan Euler, sebaliknya jika tidak planar maka ketidaksamaan tersebut tidak dipenuhi 22

• Contoh: Pada K 4, n = 4, e = 6, memenuhi ketidaksamaan Euler, sebab 6 3(4) – 6. Jadi, K 4 adalah graf planar. Pada graf K 5, n = 5 dan e = 10, tidak memenuhi ketidaksamaan Euler sebab 10 3(5) – 6. Jadi, K 5 tidak planar K 4 K 5 K 3, 3

24

25