HOME STANDAR KOMPETENSI PETA KONSEP MATERI CONTOH SOAL

HOME STANDAR KOMPETENSI PETA KONSEP MATERI CONTOH SOAL LATIHAN SOAL PROFIL

STANDAR KOMPETENSI • Menentukan persamaan lingkaran • Menentukan persamaan garis singgung lingkaran

Peta konsep lingkaran persamaan garis singgung lingkaran persamaan lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran persamaan garis singgung yang melalui suatu titik pada lingkaran gradiennya diketahui

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran Sumber: www. psb-sma. org

PERSAMAAN LINGKARAN Persamaan Lingkaran yang berpusat di o(0, 0) dan berjari-jari r Y P(x, y) r y O Persamaan lingkaran dengan pusat O dan jari r adalah Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007. x P’ X

Persamaan lingkaran yang berpusat di A(a, b)dan berjari-jari di r Y P (x, y) y-b r A (a, b) g P’ Persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r adalah x a X Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

Menentukan Pusat dan Jari Lingkaran yang Persamaannya Diketahui Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

Posisi suatu titik terhadap lingkaran a. Posisi kedudukan titik P(a, b) terhadap lingkaran L ≡ dapat dirumuskan sebagai berikut: 1. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran L ↔ a 2 + b 2 < r 2 Y r O P(a, b) ● X Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

2. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L ↔ a 2 + b 2 = r 2 Y P(a, b) ● r O X Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

3. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran L ↔ a 2 + b 2 > r 2 Y P(a, b) ● r O X Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

b. Posisi suatu kedudukan titik P(h, k) terhadap lingkaran L ≡ sebagai berikut: 1. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran L ↔ (xa)2 + (k-b)2 < r 2 Y A(a, b) ● r ● P(h, k) O 2. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran L ↔ (x a)2 + (k-b)2 = r 2 Y X P(h, k) ● A(a, b) ● r O Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007. X

3. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran L ↔ (x a)2 + (k-b)2 > r 2 Y P(h, k) ● A(a, b) ● r O Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007. X

Posisi garis y=mx + n terhadap suatu lingkaran Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

(a, b) k y= mx + n k (a, b) y= mx + n Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

(a, b) k y= mx + n Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN • Garis Singgung Melalui Titik pada Lingkaran Misalkan titik P(x 1, y 1) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2. Gradien garis OP adalah m. OP =. Jika P merupakan titik singgung, dan l merupakan garis singgungnya, maka gradien garis singgung lingkaran tersebut adalah karena m. OP. ml = 1. Dengan demikian, garis yang melalui titik P dan bergradien adalah y – y 1 = m l (x – x 1) y – y 1 = (x – x 1) y 1 (y – y 1) = x 1 (x – x 1) y 1 y – y 12 = x 1 x + x 12 x 1 x + y 1 y = x 12 + y 12 x 1 x + y 1 y = r 2 Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x 1 , y 1) pada Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 Gradien garis AP adalah m. AP = Garis singgung l tegak lurus garis AP, sehingga gradien f=garis singgung g adalah ml = =- Persamaan garis singgung g adalah: Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

Untuk P(x 1, y 1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r 2, maka: Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

● P(x 1 , y 1) A(a, b) Berikut gambar lingkarannya ● Q (x 1 - a) Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008. (y 1 - b)

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q(x 1 , y 1) pada Lingkaran Sumber: Soedyarto, Nugroho. Matematika jilid 2 untuk SMA dan MA kelas XI program IPA. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL. Jakarta: 2008.

• Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m Sebuah garis yang mempunyai gradien m dan melalui titik (0, c) dinyatakan dengan rumus y = mx + c. Jika garis tersebut menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = r 2, maka nilai c dapat diperoleh dengan langkah sebagai berikut. Substitusikan y = mx + c x 2 + y 2 = r x 2 + (mx-c)2 =r x 2+m 2 x 2+ 2 mcx + c 2 = r 2 2 2 x 2+m 2 x 2+ 2 mcx + c 2 r 2 = 0 (1+m 2)x 2+ 2 mcx + c 2 r 2 = 0 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

Persamaan kuadrat dalam x akan mempunyai satu akar real jika diskriminannya sama dengan nol (D=0) a = (1+m 2) ; b = 2 mc ; c = c 2 r 2 D = b 2 – 4 ac = 0 (2 mc)2 – 4 (1+m 2)( c 2 r 2) = 0 4 m 2 c 2 – 4 (c 2 + m 2 c 2 – r 2 – m 2 r 2) = 0 4 m 2 c 2 – 4 c 2 +4 m 2 c 2 + 4 r 2 + 4 m 2 r 2 = 0 – 4 c 2 + 4 r 2 + 4 m 2 r 2= 0 – c 2 + r 2 + m 2 r 2 = 0 c 2 = r 2 + m 2 r 2 c= ±r√m 2+1 Substitusikan c= ±r√m 2+1 ke persamaan garis y=mx+c, sehingga diperoleh y=mx ±r√m 2+1 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

• Persamaan Garis Singgung Melalui Titik di Luar Lingkaran Untuk menentukan garis singgung lingkaran melalui titik (x 1, y 1) di luar lingkaran, tidak terdapat rumus yang baku. Untuk menentukannya dapat digunakan rumus garis polar: L ≡ x 2 + y 2 = r 2 titik P(x 1, y 1) di luar L Garis garis singgung di: A(x. A, y. A) x. Ax + y. Ay = r 2 . . . . (1) B(x. B, y. B) x. Bx + y. By = r 2 . . . . (2) Sehingga persamaan garis; (1): AP ≡ x. Ax 1 + y. Ay 1 = r 2 . . . . (3) (2): BP ≡ x. Bx 1 + y. By 1 = r 2 . . . . (4) (x. A x. B)x 1 + (y. A y. B)y 1 = 0 = = . . . . (5) Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

Gradien garis AB adalah m. AB = y. A – y. B / x. A x. B. . . . (6) Dari (5) dan (6): m. AB = - x 1 /y 1 Persamaan garis AB (garis polar) adalah y – y. A = m. AB(x x. A) y y. A = x 1 /y 1 (x x. A) y 1 y. A = x 1 x + x 1 x. A x 1 x + y 1 y = x 1 x. A + y 1 y. A. . . . . (7) Dari (3) dan (7): x 1 x + y 1 y = r 2 Adalah persamaan garis polar lingkaran x 2 + y 2 = r 2 dan titik (x 1, y 1) di luar lingkaran. Persamaan garis polar dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik di luar lingkaran. Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

Perhatikan gambar dibawah ini: Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

Contoh 1 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui titik P(-3, 1) Jawab: Lingkaran berpusat di O(0, 0), maka jari-jari r adalah r= = sehingga r 2 = Persamaan lingkarannya: x 2 + y 2 = r 2 Maka x 2 + y 2 = 10 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = 10 Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007. = 10

Contoh 2 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 3) dengan jari-jari 6 Jawab: Pusat (2, 3) a=2, b=3 ; r = 6 (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (x – 2)2 + (y – 3)2 = 62 x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 = 36 x 2 +y 2 – 4 x – 6 y + 4 + 9 – 36 = 0 x 2 +y 2 – 4 x – 6 y – 23 = 0 Jadi persamaan lingkarannya adalah x 2 +y 2 – 4 x – 6 y – 23 = 0 Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

Contoh 3 Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran L ≡ x 2 +y 2 – 8 x – 2 y + 13 = 0 Jawab: L ≡ x 2 +y 2 – 8 x – 2 y + 13 = 0 A = -8, B = -2, C = 13 • Pusat = • Jari-jari r = = =2 Jadi pusat lingkarannya dan jari-jarinya adalah (-4, -1) dan 2 Sumber: Wirodikromo, Sartonno. Matematika SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2007.

Contoh 4 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 +y 2 = 12, yang melalui titik (2, 4) Jawab: Titik (2, 4) → x 1 = 2 dan y 1 = 4, terletak pada L ≡ x 2 +y 2 = 12 Persamaan garis singgungnya: x 1 x + y 1 y = r 2 (2)x + (4)y = 12 2 x + 4 y = 12 Jadi persamaan garis singgung lingkaran L ≡ x 2 +y 2 = 12 yang melalui titik (2, 4) adalah 2 x + 4 y = 12 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

Contoh 5 Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 = 12 yang melalui titik (3, 5) Jawab: Titik (3, 5) → x 1= 3 dan y 1 = 5, terletak pada L ≡ (x-2)2 +(y+1)2 = 12 Persamaan garis singgungnya: (x 1 – a)(x – a) + (y 1 – b)(y – b) = r 2 (3 -2)(x-2) + (5+1)(y+1) = 12 1(x-2) + 6(y+1) = 12 x – 2 + 6 y + 6 = 12 x + 6 y + 4 – 12 =0 x + 6 y – 8 =0 Jafi persamaan garis singgungnya adalah x + 6 y – 8 = 0 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

LATIHAN SOAL 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan melalui masing-masing titik nya sebagai berikut : a. A(2, 3) b. G(-3, 1) c. I(4, 4) d. S(7, 7) e. R(6, 9) 2. Tentukan persamaan tiap lingkaran berikut ini: a. Pusat P(3, 4), melalui titik O(2, 3) b. Pusat Z(-4, 2), melalui titik I(0, 2) 3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran pada masing-masing lingkaran dibawah ini: a. x 2 + y 2 – 6 x + 2 y – 24 = 0 b. x 2 + y 2 + 12 x - y + 17 = 0 c. x 2 + y 2 - 10 x + 4 y – 31= 0 4. Tanpa menggambar pada bidang Cartesius, tentukan posisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut ini: a. P(2, 3) dan L ≡ x² + y² = 8 b. P(-1, 6) dan L ≡ x² + y² = 40 c. P(√ 3, -1) dan L ≡ x² + y² = 4 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4 x + 8 y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1) 6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x ² + y ² = 9, jika mempunyai gradien 2 7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x + 2)² + (y – 1)² = 4 yang tegak lurus garis l ≡ -3 x + 4 y – 1 = 0 8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ (x – 1)² + (y – 4)² = 25 di titik singgung B(-3, 1) 9. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ≡ x² + y² + 4 x + 8 y – 21 = 0 melalui titik singgung A(2, 1) 10. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 3) dan berjari-jari 6 11. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(5, -1), melalui titik P(-1, 7) 12. Tentukan bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di titik A(3, 4) dan berjari-jari 3 Sumber: Sukino. Matematika untuk SMA kelas XI. Erlangga. Jakarta: 2006.

PROFIL APRIAN NURDIN Kelas : 2 i NPM : 112070086 TTL : Kuningan, 16 Juni 1992 Sebagai pemateri pertama IFA SHOLIHAH Kelas : 2 i NPM : 112070005 TTL : 16 April 1993 Sebagai pemateri kedua

PROFIL NURLAELA Kelas : 2 i NPM : 112070187 TTL : Cirebon, 13 Maret 1995 Sebagai pemateri Ke 3 GINA PUTRI LESTARI Kelas : 2 j NPM : 112070027 TTL : Cirebon, 24 April 1994 Sebagai pemateri Ke 4