MATEMATIKAI PARADOXONOK KPSZTI 2011 NOV 11 A PARADOXON

MATEMATIKAI PARADOXONOK KPSZTI 2011. NOV. 11.

A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE • Önellentmondás: – hétköznapi: „Most hazudok. ” (még jobb: „Most őszinte voltál? ” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen) – halmazelméleti: katona borbély – Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van. ” • Meghökkentő eredmény – Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai. – Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla – Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó

10 paradoxon 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Születésnap Simpson Szerencsejátékok Monty Hall Választási Jákob és Lábán Bertrand Titkárnő-házasodási Kockázási

9 paradoxon – 9 matekóra • Egyszerűek: alap matek • Meglepőek • Célközönség: mérnökpalánták

TITKÁRNŐPARADOXON (1966)

A feladat titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?

Konkrét feladat 10 jelentkező 5 jelöltet már elutasítottunk megállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?

DOLLY Ő a legjobb Baj lehet: korán döntünk (ál Dolly) pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz A korai döntést ki kell zárni

Hányadik Dolly?

összesen 37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.

A feladat módosítása és általánosítása Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk: Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:

Hány jelöltet utasítsunk el? n 10 10 k 1 2 3 4 5 7 9 p 28, 3 % 36, 6 % 39, 9 % 39, 8 % 37, 3 % 26, 5 % 10 %

A p(k, 10) grafikon

Van-e maximuma a p(k, n) függvénynek? Van (emelt szintű matek):

A megoldás 100 jelentkező közül az első 37 -et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37 -nél VAGY ha nincs ilyen, akkor a 100. -at

Gyakorlati alkalmazhatóság • Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb. ) • Matterhorn esete

Házasodási probléma (1984) A feladat átfogalmazása: az első valahány kérő után igent mondunk (magyar szakirodalom: Szindbád-probléma) Baj: nem tudjuk előre a kérők számát

Udvarló-idő függvény Feltételezett görbe esetén: görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni

SIMPSONPARADOXON (1951)

1. Diszkriminációs probléma Egy nagyvállalatot diszkriminációval vádolnak feminista szervezetek, miszerint kisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit. Védekezésképpen a cég nyilvánosságra hozza két áruházuk kimutatását, melyben az áll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.

Győr-soproni nők és férfiak nők jelentkezők felvettek % Győr 500 200 40% 100 50 50% Sopron 120 10 8% 100 10 10% Összes 620 210 34% 200 60 30%

Mitől paradoxon? Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”) Együtt: férfiak > nők (feminista érv) Mikor léphet föl? Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre Leírás: Simpson (1951) Valóság: Berkeley-egyetem (70 -es évek) női egyenjogúsági kérdés

Mi az oka? Most: egyenetlen volt a jelentkezés Győr: 250 hely, 600 jelentkező 2, 4 -szeres túljelentkezés A jelentkezők 17%-a nő Sopron: 20 hely, 220 jelentkező 11 -szeres túljelentkezés A jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak a soproni nők

2. H 1 N 1 -probléma Nem oltatta be magát Beoltatta magát összesen nem fertőződött % férfiak 500 200 40% 100 50 50% nők 120 10 8% 100 10 10% Összes 620 210 34% 200 60 30%

Mitől paradoxon? Nyilván nem reprezentatív a minta: férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magát beoltott (620) > nem beoltott (200) Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de „embernek” nem! (Orosz Gyula)

Példagyár A nem A összes rész % X n 200 * 100 50 50% Y 120 10 8% 100 10 10% 210 ** 200 60 30% Összes n+120

Mekkora lehet n? Ahonnan 400 < n < 580 adódik.

Koordináta-rendszer Meredekség: felvételi arány

SZÜLETÉSNAPPARADOXON

Alapfeladat: Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? Tippelj!

1. segédfeladat: Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!) Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén

2. segédfeladat: Egyszerűsítsük le a feladatot egy hétre: Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb. ) esik két ember születésnapja? Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén

3. segédfeladat Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2 -nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja? Értelmezés: legalább 2 -nek

Megoldás kedvező eset: összes – rossz

Táblázat a p(n) függvényhez n 8 7 6 5 4 3 2 1 0, 99 0, 96 0, 85 0, 65 0, 39 0, 14

A p(n) grafikon

4. segédfeladat Vissza az eredeti éves feladathoz: Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

Összes – rossz

Ábrázolás helyett táblázat

Próbálgatás n 100 0, 9999997 65 0, 998 57 0, 99 48 0, 96 40 0, 89 37 0, 85 25 0, 57 23 0, 51

Megoldás éves feladat: 48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek hetes feladat: 6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség

A p(n) grafikon

Mitől paradoxon? Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans • p = 100%: n = 366 esetén • p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!) Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek • Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)

VÁLASZTÁSI PARADOXONOK

1. Családi kirándulás Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van. Hogyan döntsenek „demokratikusan”?

Kiértékelés kedv idő kirándulás anya igen apa igen nem gyerek nem igen vagy nem? együtt igen

Bíró-paradoxon • kollektív döntések meghozatala esetén • probléma: mi szerint összegezzünk? – premisszák (kedv, idő) – konklúziók (voks)

2. Elnökválasztás 3 jelölt (A, B, C) közül választunk 7 szavazó 4 ABC, 3 BCA szavazat Kérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál • A nyer, • B nyer, • C nyer, • A és B holtversenyben nyer?

Megoldás 1. hely 2. hely 3. hely A B C A nyer 10 pont 3 pont 2 pont 46 42 17 B nyer 10 pont 5 pont 2 pont 46 50 23 46 20 C nyer nem lehetséges A és B 10 pont 4 pont 2 pont 46

Mitől paradoxon? • majdnem tetszőleges sorrend előállítható • utólag befolyásolhatjuk a választás eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást • megnyugtató: C nem nyerhet

3. Osztálytitkár 3 jelölt (A, B, C) közül választanak 30 szavazó 10 ABC, 10 BCA, 10 CAB szavazat Kérdés: hogyan összegezzünk?

Többségi szavazás A>B B>C C>A 10 ABC igen nem 10 BCA nem igen 10 CAB igen nem igen Többségi szavazat igen

Condorcet-paradoxon • Körbeverési jelenség: kő-papír-olló • Nem tranzitív: A > B, B > C, de C > A! • Pontrendszer: mindenkinek ugyanannyi pontja lenne

MONTY HALLPARADOXON (1975)

Mit rejt a három ajtó?

A tévés játék megfogalmazása 1. Van három ajtó, kettő mögött kecske van, egy mögött a főnyeremény: egy autó 2. A játékos választ egyet a három ajtó közül 3. A műsorvezető még mielőtt azt kinyitná, kinyit egy másik ajtót, amely mögött kecske van 4. Megkérdezi a játékost: akar-e változtatni első választásán, és egy másik ajtót választani?

Kérdés Érdemes-e változtatni az eredeti választáson? Paradoxonnak tűnik: 1. Nem befolyásolhatja az eredményt, ha változtatok (előtte is, utána is 1/3 a valószínűség) 2. Most 1/2, előtte 1/3 volt a valószínűség

Az 1. ajtót választjuk 1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó váltunk nem váltunk K K A nyerünk vesztünk K A K nyerünk vesztünk A K K vesztünk nyerünk 2/3 1/3 nyerési valószínűség

Megoldás • Érdemes tehát változtatni: – 2/3 valószínűséggel nyerünk • Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk? – Ha nem váltunk: el kell találni az autót (1/3) – Ha váltunk: valamelyik kecskét kell eltalálni (2/3)

A feladat módosítása … 100 ajtó van, Monty kinyit 98 -at Nyilván most is érdemes váltani (99/100)

2 játékos, 3 ajtó • • Mindkettő választ egy-egy (különböző) ajtót (mondjuk egymás után) Az, amelyik kecskét választott, kiesik (ha mindkettő kecskét választott, a játékvezető tetszőlegesen dönt, ki esik ki) A kecskés ajtót Monty kinyitja Érdemes-e váltania a bennmaradt játékosnak?

Az első 2 ajtóra tippelünk A B Ha a bennmaradó 1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó vált nem vált K K A A nyer veszít K A K veszít nyer A K K veszít nyer 1/3 2/3 nyerési valószínűség

Megoldás • Nem érdemes váltani – Így nyerünk 2/3 valószínűséggel • Egyszerűbben: 1. Most mindkét játékosnak kecskére kell tippelnie, hogy a váltás megérje: 1/3 2. A vegyes tipp esélye 2/3

Forrás • Drösser, Christoph: Csábító számok (Athenaeum, 2009) • Ferguson, Thomas S. : Who Solved the Secretary Problem? (Statistical Science, 1989. Vol. 4. No. 3. ) • Orosz Gyula: Valószínűség-számítási érdekességek (Fazekas Mihály Gimnázium honlapja, Matematika portál) • Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Typotex, 2004) • Wikipedia-szócikkek (Monty Hall, Simpson)

Dolgozat és prezentáció www. phbences. hu oktatás oldal, matematika Használják egészséggel, közkincs!

További jó konferenciát és szép napot!