GEOMETRIE NON EUCLIDEE 1 LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

GEOMETRIE NON EUCLIDEE 1

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE C’è qualche buon motivo per parlarne? 2

• la teoria eliocentrica di Copernico • la legge della gravitazione di Newton • la teoria dell’evoluzione di Darwin 3

LA RIVOLUZIONE NON EUCLIDEA • COME CAMBIA LA MATEMATICA • NUOVI RAPPORTI CON LA FISICA • CON LA FILOSOFIA E CON LA LOGICA MATEMATICA • VERITA’ E IPOTETICITA’ DELLA SCIENZA 4

ASSIOMI DI EUCLIDE 1. Si ammetta di poter tirare da ogni punto ad ogni altro punto , una linea retta 2. Si ammetta di poter prolungare continuamente per diritto una linea retta terminata 3. Si ammetta di poter descrivere un circolo con ogni centro e con ogni distanza 4. Si ammetta che tutti gli angoli retti sono uguali tra loro 5

- i criteri di congruenza dei triangoli - per un punto si può tracciare una sola retta perpendicolare ad una retta data - in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti 6

V assioma Geometria euclidea 7

PROBLEMATICA – IL V POSTULATO E LE PRIME CRITICHE dal 300 a. C – L’OPERA DI SACCHERI (1667 -1733) – L’OPERA DI GAUSS (1777 -1855) – LOBACEVSKIJ (1792 -1856) E BOLYAI (1802 -1860) – L’OPERA DI RIEMANN (1826 -1866) 8

Proposizioni equivalenti al postulato V • per un punto esterno ad una retta si può condurre una sola parallela alla retta data • la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale ad un angolo piatto • l’area di un triangolo può superare qualunque area assegnata grande a piacere (Gauss 1777 -1855) 9

Approccio al problema del V postulato da parte di Saccheri Data una retta r e un punto P fuori di essa allora a) per P passa esattamente una retta parallela a r o b) per P non passano rette parallele a r o c) per P passano almeno due rette parallele a r. 10

LOB. e BOLYAI 11

Se consideriamo i primi quattro postulati e l’ipotesi c • Tutti i teoremi di geometria che discendono dall’applicazione dei primi quattro postulati continuano ad essere teoremi della nuova geometria Valgono inoltre i seguenti teoremi: • la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore di un piatto • non si può costruire un rettangolo • non vale il teorema di Pitagora 12

Teoremi • di due triangoli , quello che ha l’area maggiore ha la somma degli angoli minore • detto difetto d la differenza tra 180° e la somma degli angoli interni di un triangolo, l’area del triangolo vale kd, dove k è una costante • L’area di un qualsiasi triangolo è minore di k 180° • due triangoli simili sono congruenti 13

LE NUOVE GEOMETRIE • LA NASCITA DI GEOMETRIE DIVERSE DALLA EUCLIDEA • GEOMETRIE NON EUCLIDEE: LA GEOMETRIA IPERBOLICA LA GEOMETRIA ELLITTICA • MODELLI DELLE GEOMETRIE e COERENZA • INDIPENDENZA DEL V ASSIOMA 14

I MODELLI DELLE GEOMETRIE • Il piano, la superficie cilindrica…. MODELLI della geometria euclidea • ogni postulato della geometria euclidea continua a valere per le figure della superficie cilindrica secondo la seguente interpretazione: 15

Dal piano alla superficie cilindrica • retta geodetica • triangolo curvilineo • cerchio 16

MODELLO DELLA GEOMETRIA IPERBOLICA DI KLEIN 17

Interpretazione • piano cerchio parte interna del • punto interno al cerchio • retta corda 18

MISURA E MOVIMENTI • Definiamo mis (AB)il valore assoluto del logaritmo del birapporto (ABPQ) (detti P e Q le intersezioni della corda AB con la circonferenza, si definisce (ABPQ) = (AP/BP). (BQ/AQ). ) 19

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Dimostriamo che la mis(AQ) diviene infinita : a tale scopo è sufficiente sottolineare che Lim (AXPQ)=0 per X → Q , perciò lim │log(AXPQ)│=+∞ per X → Q. e i movimenti? 21

CONSEGUENZE • Indipendenza del V postulato • Coerenza della geometria iperbolica 22

Trigonometria iperbolica il teorema dei seni in un triangolo iperbolico di lati a, b, c e angoli α, β, γ 23

MODELLO DELLA GEOMETRIA ELLITTICA DI RIEMANN 24

Interpretazione • piano superficie sferica • punto • retta coppia di punti diametralmente opposti → cerchio massimo (geodetica) 25

Riemann • la retta da infinita e illimitata diventa finita ( come misura), chiusa e illimitata • due rette sono sempre incidenti, per cui non esistono rette parallele. 26

TEOREMI • tutte le rette hanno la stessa lunghezza (finita) • la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°, essa tende a 180° quando l'area del triangolo tende a 0 • non esistono triangoli o poligoni simili con aree differenti 27

TEOREMI • due rette perpendicolari alla stessa retta si intersecano; tutte le perpendicolari alla stessa retta hanno un punto di intersezione comune (o due punti) alla stessa distanza dalla retta data • due rette qualsiasi hanno un unica perpendicolare in comune 28

TEOREMI • non esistono rettangoli • il teorema di Pitagora non vale, ma si avvicina al risultato con il tendere a zero dell'area del triangolo. 29

Quale geometria per la fisica? 30

L’uso di software geometrici • cabri plus • cinderella • geo 31

Poligoni regolari 32

Tassellazione con pentagoni 33

Arte e Geometria Escher 34

Cerchio limite III Coxeter 35

Coxeter pubblicò un’analisi del "Circle Limit III" di Escher in cui dimostrava la precisione matematica dell’opera. “Escher ha raggiunto il suo risultato per istinto, mentre io ci sono arrivato attraverso la trigonometria. Ma il suo lavoro è assolutamente preciso, al millimetro. Sfortunatamente non è vissuto tanto a lungo da poter vedere la mia esposizione matematica”. (L’articolo on-line di Coxeter, sul lavoro di Escher: Escher The Trigonometry of Escher's Woodcut "Circle Limit III": http: //www. ams. org/featurecolumn/archive/circle _limit_iii. pdf 36

Concludiamo riportando uno dei teoremi più belli e difficili della matematica del secolo scorso (XX secolo). Teorema di uniformizzazione di Riemann-Poincare'. Ogni geometria piana è riconducibile a una delle tre geometrie sopra descritte (euclidea, sferica , iperbolica). 37

Geometria secondo Klein • Programma di Erlangen (Erlanger programme) (1872) Felix Klein introduce una visione unitaria della geometria tramite il concetto di gruppo: la geometria diventa lo studio delle proprietà invarianti rispetto ad un gruppo di trasformazioni In particolare le geometrie non euclidee trovano una sistemazione nell’ambito della geometria proiettiva 38