MATHMATIQUE Tronc commun Sciences Rsum de Cours avec

MATHÉMATIQUE Tronc commun Sciences Résumé de Cours avec exemples et exercices avec corrections Leçon 16: Formule des volumes des solides Objectifs : Calculer des aires et des volumes à l'aide des formules de cours. Méthodes et astuces Remarques et conseils pratiques Création : ATMANI NAJIB

Formule des volumes des solides Les bases et les faces latérales des solides délimitent un espace. Le calcul de cet espace s’appelle le volume. Exemple :

Volume d’un prisme Le volume d’un prisme s’obtient en multipliant l’aire d’une base par la hauteur du prisme. h largueur Longueur Volume prisme = Aire d’une base X hauteur Volume prisme = Aire base X hauteur

Volume prisme = Aire base X hauteur h Volume = L X l X h largeur Longueur Volume = S X h h h Volume = S X h Remarque : La hauteur d’un prisme est le segment joignant les deux faces parallèles.

Volume d’un cube c c c Toutes les arêtes du cube ayant la même mesure, la formule pour calculer son volume est très simple. Volume cube = c 3

Exemple Calcule le volume de ce prisme. 3 cm 5 cm 4 cm Volume = L l h Volume = 4 X 5 X 3 = 60 cm 3 Car, 3 dimensions : - longueur - largueur - hauteur

Exemple Calcule le volume de ce prisme. Volume = n c a 2 Xh 7 m 5 m Volume = 6 X 5 X 7 X 15 2 Volume = 1 575 m 3 15 m

Exemple Calcule le volume de ce prisme. 3 dm 8 dm Volume = b X h X H 2 4 dm Volume = 4 X 3 2 X 8 Volume = 48 dm 3 Remarque : Dans un triangle rectangle, les deux cathètes correspondent à la base et à la hauteur.

Exemple Calcule le volume de ce cube. 9 mm Volume cube = c 3 Volume cube = 93 Volume cube = 729 mm 3 9 mm

Volume d’une pyramide Le volume d’une pyramide s’obtient en multipliant l’aire de la base par la hauteur de la pyramide et en divisant par trois. À bases égales et à hauteurs égales, l’espace occupé par une pyramide est 3 fois plus petit que celui du prisme. Volume pyramide = Aire de la base X h 3 Volume pyramide = Aire base 3 Xh

Volume pyramide = Aire base Xh 3 Volume pyramide = c 2 h 3 Droite à base carrée Volume pyramide = nca 2 3 Droite à base hexagonale Xh

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. 8 m Volume pyramide = Aire de la base X h 3 Volume pyramide = c 2 h 3 Volume pyramide = 12 X 8 3 = 384 m 3 12 m

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. La mesure de la hauteur est inconnue, donc il faut : 1) Déterminer le demi-côté : 3 m 2) Utiliser l’apothème : 5 m 3) Déterminer la hauteur : a 2 = c 2 - b 2 a 2 = 5 2 - 3 2 a 2 = 16 a =4 m a ? 4 m 6 m b 3 m c 5 m 6 m

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. 4 m Volume pyramide = Aire de la base X h 3 Volume pyramide = c 2 h 3 Volume pyramide = 6 X 4 3 = 48 m 3 6 m 6 m

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. 7 m Volume pyramide = nca Xh 2 4 m 3 Volume pyramide = 6 X 5 X 4 2 3 Volume pyramide = 140 m 3 5 m X 7

Volume d’un cylindre Le volume d’un cylindre s’obtient en multipliant l’aire d’une base par la hauteur du cylindre. h Volume cylindre = π X r 2 X h Volume cylindre = π r 2 h

Exemple Calcule le volume de ce cylindre. 10 cm Volume cylindre = πr 2 h Volume cylindre = π X 52 X 10 Volume cylindre ≈ 785, 4 cm 3 5 cm

Volume d’un cône Le volume d’un cône s’obtient en multipliant l’aire de la base par la hauteur du cône et en divisant par trois. À bases égales et à hauteurs égales, l’espace occupé par un cône est 3 fois plus petit que celui du cylindre. Volume cône = π X r 2 X h 3 Volume cône = π r 2 h 3

Exemple Calcule le volume de ce cône. 12 m 9 m Volume π r 2 h cône = Volume cône ≈ 1 017, 88 m 3 3 π X 92 X 12 3

Exemple Calcule le volume de ce cône. La mesure de la hauteur est inconnue, donc il faut : a 1) Utiliser le rayon : 3 cm et l’apothème : 5 cm 2) Déterminer la hauteur : a 2 = c 2 - b 2 a 2 = 5 2 - 3 2 a 2 = 25 - 9 a 2 = 16 a = 4 cm 5 cm c 4 cm ? b 3 cm

Calcule le volume de ce cône. 4 cm 3 cm Volume π r 2 h cône = Volume cône ≈ 37, 7 cm 3 3 π X 32 X 4 3

Volume d’une boule Une boule est un solide régulier, sa formule est donc simple. Volume boule = 4 X π X r 3 3 Volume boule = 4 π r 3 3

Exemple Calcule le volume de cette boule. Volume π r 3 boule = 4 Volume boule = 4 X Volume boule ≈ 523, 6 dm 3 3 π X 53 3 r = 5 dm

En résumé Volume d’un prisme = Aire Xh base Volume d’une pyramide = Aire base Xh 3 Ces deux formules dépendent de la forme des bases. Volume d’un cylindre = Aire Volume d’un cône = Aire base Xh 3 Volume d’une boule = Volume du cube = c 3 4 π r 3 3 Xh = = π r 2 h 3

1) Le cube, ci-dessous, mesure 10 cm de coté. Calculer son volume en cm 3, puis exprimer ce volume en litres. m c 10 Volume du cube = coté Volume du cube = 10 10 Volume du cube = 1000 cm 3 Volume du cube = 1 litre

2) L’aquarium ci-dessous, mesure 60 cm de long, 30 cm de large et 40 cm de hauteur. Il est rempli à 90% de sa capacité. a) Calculer la hauteur d’eau dans l’aquarium. Hauteur d’eau = 90 % de 40 cm 90 40 100 36 cm m c 10 Volume = b) Calculer le volume d’eau contenu dans l’aquarium. Arrondir au litre près. longueur largeur hauteur Volume = 60 36 Volume = 64800 cm 3 Volume du cube = 65 litres

3) La citerne du camion, ci-dessous, est de forme cylindrique. Son diamètre est de 1 m 95 et mesure 10 mètres de long. Calculer son volume en m 3, puis exprimer ce volume en litres. Volume du cylindre = π rayon hauteur π 0, 975 10 2 2 30 m 3 30 000 litres

Les prismes droits et cylindres Le volume des solides droits est donné par la formule: Volume = Aire de la Base x Hauteur 28

Les pyramides et cônes • 29

Résumé: Formules permettant de calculer les volumes en géométrie dans l’espace 30

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