Transformationen Transformationsmodelle Anwendung von Transformationen Robuste Transformationen Nachbarschaftstreue

Transformationen • Transformationsmodelle • Anwendung von Transformationen • Robuste Transformationen • Nachbarschaftstreue Anpassung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Transformationen in der Geodäsie • Aufgabe: Übergang von einem Koordinatensystem in ein anderes Koordinatenystem • Häufiger Fall: Von lokalem System in globales System und umgekehrt • z. B. : freie Stationierung, Abstecken • Bedeutung wächst mit GPS und GIS (länderübergreifende Auswertungen in EU) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

2 D-Transformationen • • Einfach und anschaulich Übergang lokal global und umgekehrt Ausreichend für einfache Vermessung Nicht mehr ausreichend für Wechsel des Bezugssystems, Photogrammetrie Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Situation bei Transformation • • Ausgangskoordinatensystem A Zielkoordinatensystem B n Punkte in A gegeben, davon m auch in B Unterscheidung: A Kleinbuchstaben, B Großbuchstaben, also (x, y, z) (X, Y, Z) • Gesucht: Koordinaten aller Punkte in B • Besteht aus 2 Schritten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bestimmung der Transformationsfunktion und -Parameter • Voraussetzung: Genügend viele idente Punkte (in beiden Systemen bekannt) = Passpunkte • Transformationsfunktion für diese Punkte: (X, Y)= F(x, y) • Funktion abhängig von Problemstellung und Anzahl der Passpunkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Durchführung der Transformation • Umrechnung aller Punkte • Umrechnung der Passpunkte liefert Kontrolle • Anzahl kann sehr groß sein, also eventuell entsprechende Funktionen verwenden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Bekannte Parameter • Bei Standardaufgaben oft Parameter bekannt • z. B. : Umrechnung von GPS-Koordinaten ins Landessystem • Problem: lokale Abweichungen (Klaffung) • Können mit weiterer (einfacher) Transformation bereinigt werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ähnlichkeitstransformation (1) • Auch: konforme Transformation oder (wenn überbestimmt) Helmert-Transformation • 4 Unbekannte: 2 x Translation a und b, Maßstab m, Rotation um a um z-Achse • Transformationsgleichungen separat für X und Y: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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Ähnlichkeitstransformation (2) • Matrizenschreibweise • Rotationsmatrix: • führt zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ähnlichkeitstransformation (3) • Manchmal sinnvoll: Weglassen des Maßstabes 3 -Parameter. Transformation (z. B. freie Stationierung) • Ähnlichkeitstransformation erhält die Gestalt transformierter Figuren, also – Gerade bleiben Gerade – Kreise bleiben Kreise – Parallele bleiben parallel – Winkel bleiben unverzerrt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Affin-Transformation (1) • Erweiterung der Ähnlichkeitstransformation durch – Unterschiedliche Drehwinkel für die Achsen – Unterschiedliche Maßstäbe für die Achsen • Anwendung: Digitalisieren alter Pläne oder Karten (ungleichmäßiger Papierverzug) • Transformationsgleichungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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Affin-Transformation (2) • Transformationsparameter: 2 x Translation a und b, 2 x Maßstab mx und my, 2 x Rotation um z-Achse a und b • Form von Figuren bleibt nicht erhalten • Erhalten bleiben Geradlinigkeit und Parallelität • Vereinfachung: Nur ein Drehwinkel 5 Parameter-Transformation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Polynomiale Transformation • Transformationsformel • Parameter sind geometrisch nicht zu deuten • Sinnvoll bei komplexen Verzerrungen • Problem: Wann wird abgebrochen? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Ähnlichkeitstransformation (1) • Wichtig in Photogrammetrie, Koordinatentransformation zwischen verschieden gelagerten Ellipsoiden, 3 D-Messverfahren • Ausgangspunkt 3 D-Koordinatensätze • Transformationsparameter: 3 x Translation, 3 x Rotation, 1 x Maßstab Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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3 D-Ähnlichkeitstransformation (2) • Zerlegung der Rotationsmatrix • Mit Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Ähnlichkeitstransformation (3) • Ausmultipliziert ergibt sich komplizierte 3 x 3 -Matrix • Rotationsmatrix abhängig von der Drehreihenfolge! Angegebene Formeln: erst um x, dann um y, dann um z. • Auch bezeichnet als 7 -Parameter. Transformation (Bursa-Wolf-Modell bei Übergang auf Schwerpunktskoordinaten) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Ähnlichkeitstransformation (4) • Bei kleinen Drehwinkeln Vereinfachung • sin x = x, cos x = 1, sin x = 0 • Ergibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Affin-Transformation • Transformationsgleichungen • • 12 Unbekannte, also 4 Passpunkte nötig Erhält Gradlinigkeit, Parallelität, Verhältnis Ändert Form von Figuren Kann Näherungswerte für Ähnlichkeitstransformation liefern Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Anwendung • Für Standardaufgaben Parameter bekannt (z. B. WGS 84 GK M-34) • Problem: lokale Abweichungen nicht berücksichtigt lokale Parameter bestimmen • Mehr Passpunkte als notwendig Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (1) • Formelapparat • Parametervektor Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (2) • Annahme: n Punkte im Ausgangssystem bekannt, davon p (≤ n) auch im Zielsystem bekannt (= Passpunkte) • Koordinaten im Zielsystem entsprechen den Beobachtungen Beobachtungsgleichungen • Formal: vermittelnde Beobachtungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (3) • 4 Gleichungen: eindeutig = einfache Koordinatentransformation • >4 Gleichungen: überbestimmte Koordinatentransformation (Helmert) • Koeffizientenmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (4) • Klassischer Fall: Gleiche Genauigkeit der Passpunkte P=I • Lösung bekannt: • Schätzwert für Varianzfaktor • Qualität des Modells: Mittlere Klaffung des Punktes Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (5) • Genauigkeitsangaben für m und a: Schwieriger weil gemeinsam bestimmt • Qxx liefert Varianzen für a bis d • m und a über Fehlerfortpflanzungsgesetz • Besondere Struktur der A-Matrix Normalgleichungen können sofort angeschrieben werden Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Helmert-Transformation (6) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kovarianzen für Helmert-Trafo • Kovarianzen für Passpunkte • Darf nicht singulär sein (z. B. aus freier Ausgleichung) • Weitere Rechnung nach Schema • Nur im Zielsystem so möglich • Kovarianzen im Ausgangssystem: Wolf schlägt vor zu verwenden (nur Näherung, liefert aber brauchbare Ergebnisse) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Prüfung der Ergebnisse • Hauptprobe (Gleichungen und Berechnung) • Berechnung der Klaffungen (Passpunkte) • Statistischer Test für grob falsche Passpunkte – Punkteverschiebung, Verwechslung (Lenzmann 1984) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Statistischer Test • Ausgeglichene Zielkoordinaten L+v=Ax • Fehlerhafter Passpunkt Pi führt zu L+v=Ax+Hiyi • v, x: neue Werte • Hiyi: Zuschlag zur Lösung • Prüfgröße: Fisher-verteilt mit f 1=d und f 2=n-u-d Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Helmert-Transformation (1) • 7 -Parameter-Transformation mindestens 3 Passpunkte notwendig (z. B. 2 x Voll-, 1 x Höhenpasspunkt) • Bei Überbestimmung: Näherungswerte kritisch • Lösung: Variante von Horn (1987), Gröbner-Basis • Vereinfachung: Kleine Rotationswinkel und kleine Maßstabsänderung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Helmert-Transformation (2) • Näherung für Rotationsmatrix: Einheitsmatrix • Näherung für Maßstab: 1 • Näherungswert für Translation aus beliebigem Passpunkt • Designmatrix für einen 3 D-Punkt • Unbekanntenvektor: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

3 D-Helmert-Transformation (3) • Matrix Ai für jeden Passpunkt aufgestellt und in Systemmatrix A zusammengefasst • Größere Drehwinkel: Verwendung der exakten Matrix notwendig komplexe Ableitungen • Näherungswerte für Maßstab und Rotationen oft über affine Transformation – 4 Vollpasspunkte notwendig Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Transformationen für GPS Mathematisch korrekter Lösungsweg für Transformation ins Landessystem • Landeskoordinaten 3 D-Koordinaten • Freie Ausgleichung der GPS-Messungen WGS-84 -Koordinaten • Bestimmung der Transformationsparameter • Transformation der GPS-Punkte • Umrechnung ins Landessystem Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Robuste Transformation • Bisher vorausgesetzt: Keine groben Fehler bei den Koordinaten der Passpunkte im Zielsystem • Robuste Verfahren können somit Punktverwechslungen u. ä. umgehen • Diskussion von – L 1 -Schätzung – LMS-Schätzung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

L 1 -Schätzung • Verlustfunktion mit s=1 • Leider nicht effizient Elimination der Fehler durch L 1, dann L 2 • Minimumsproblem • Praktische Umsetzung: Simplex-Algorithmus Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

LMS-Schätzung (1) • Forderung • n Beobachtungen aus den u Unbekannten gewählt, sodass eindeutige Lösung möglich • alle Verbesserungen berechnet, Median bestimmt • Lösung mit minimalem Wert ist gesuchte Lösung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

LMS-Schätzung (2) • Vorteile: – Frei von Einflüssen der Geometrie – Bis zu 50% fehlerhafte Daten möglich • Nachteil – Extrem hoher Rechenaufwand von Lösungen • Effiziente Algorithmen reduzieren Anzahl der zu berechnenden Lösungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Nachbarschaftstreue Anpassung Methoden, bei denen auch bei Überbestimmung keine Klaffungen in den Passpunkten auftreten • Maschenweise Affin-Transformation • Abstandsgewichte • Multiquadratische Interpolation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Maschenweise Affin. Transformation (1) • Zerlegung des Transformationsgebietes in Dreiecke • Passpunkte sind Eckpunkte der Dreiecke • Jeder zu transformierende Punkt wird einem Dreieck zugeordnet Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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Maschenweise Affin. Transformation (2) • Jedes Dreieck hat 6 Bestimmungsstücke (3 Eckpunkte) • Affin-Transformation hat 6 Parameter • Daher eindeutige Lösung vorhanden keine Klaffungen • Nachteil 1: Keine Kontrolle! • Nachteil 2: Linien zwischen Dreiecken verschieben sich Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Abstandsgewichte • Anpassungsbetrag für jeden Punkt in xund y-Richtung • Berechnet aus Klaffungen der Passpunkte • Abstandsgewicht pij meist über bestimmt mit k=1 oder 1, 5 oder 2 • Versagt bei ungleichmäßiger Verteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Multiquadratische Interpolation • Beruht auf n Interpolationsflächen vom Grad 2 (Hyperboloide) • Anpassungsbetrag • Produkt S-1 v nur ein mal bestimmt, dann Abstandsvektor des Punktes Restklaffungen j nur mehr eine Multiplikation pro Punkt Stützpunktmatrix • Trotzdem hoher Aufwand wenn viele Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Problem für die Zukunft Homogenisierung des Katasters • Komplexe Verzerrungsgeometrie • Topographie muss erhalten bleiben • Mindestgrößen sollten erhalten bleiben (Bauflächen, Wald - Eigenjagd) • Bezug zwischen homogenen Vermessungen und inhomogenem Kataster? Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil