Le geometrie non euclidee di Paolo Bernacchioni Euclide
Le geometrie non euclidee di Paolo Bernacchioni
Euclide (325 ? - 265 a. C. ) Del matematico di Alessandria ci sono pervenuti “Gli elementi”, opera formata da 13 libri. I primi quattro trattano le proposizioni fondamentali della geometria piana.
L’importanza degli “Elementi” non è tanto nei risultati e nelle relazioni geometriche in essi contenute, quanto nel metodo da essi proposto. Edizione del 1498 degli “Elementi” di Euclide Partendo da poche proposizioni assunte come vere (postulati), se ne dimostrano altre (teoremi). Nasce il metodo ipotetico-deduttivo.
Euclide, “Elementi” Libro I Contiene: u 23 termini u 5 postulati u 5 nozioni comuni (detti assiomi da Aristotele) u 48 proposizioni (teoremi)
Premessa importante La geometria di Euclide è relativa ad oggetti che è possibile disegnare con riga e compasso, oggetti che hanno quindi una loro realtà intrinseca. Tutto cambia nel XIX secolo
David Hilbert (1862 - 1943) Nel 1899 pubblica “Fondamenti della geometria” che rovescia l’impostazione euclidea. Sono i postulati a definire implicitamente gli oggetti di una teoria matematica.
Euclide: i termini Sono definizioni di “oggetti” geometrici. Questi oggetti sono considerati entità reali. u punto è ciò che non ha parti u linea è lunghezza priva di larghezza u estremi di una linea sono punti u linea retta quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti
Euclide: le nozioni comuni Sono proposizioni vere in assoluto, anche al di fuori del contesto geometrico. u cose uguali a una stessa sono uguali tra loro u i doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro u il tutto è maggiore della parte u etc. . .
I primi 4 postulati Sono proposizioni relative alla geometria su cui tutti concordano. 1. Da ogni punto si può condurre una retta ad ogni altro punto. 2. Una retta si può prolungare per diritto. 3. Con ogni centro e distanza si può disegnare un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
Il quinto postulato 5. Se una retta, incontrando altre due rette, forma gli angoli interni dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate all’infinito si incontrano da quella parte in cui gli angoli sono minori di due retti.
Ancora sul quinto postulato Cerchiamo di capire …. Se r a + b < 2 retti allora r incontra s b s a
Cosa dire del quinto postulato? u E’ intuitivo? u E’ verificabile operativamente? Inoltre. . .
Nella proposizione (teorema) 29, Euclide dimostra l’inverso del 5° Se r parallela ad s postulato allora a + b = 2 retti r b a s
Sorgono spontanee delle domande u il 5° postulato è importante? u può essere riformulato più semplicemente? u è davvero un postulato o può essere dimostrato?
Dal 5° postulato derivano importanti proprietà geometriche Ad esempio che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti a + b + g = 2 retti g a b
Proclo Diodoco (410 - 485) Proclo dimostra che il 5° postulato è equivalente alla seguente proposizione: Per un punto fuori di una retta si può condurre una sola parallela alla retta data.
s P r La retta s esiste La retta s è unica
Molti matematici tentarono di dimostrare il 5° postulato. . . senza alcun successo!
Gerolamo Saccheri (1667 - 1733) Il gesuita Saccheri fu il primo ad impostare correttamente il problema
Saccheri ragionò per assurdo, negando il 5° postulato Costruì una geometria in cui da un punto esterno ad una retta si possono condurre infinite parallele alla retta data. Si aspettava di cadere in qualche contraddizione. . . ma invano!
Saccheri formulò e dimostrò molti teoremi diversi da quelli della geometria euclidea. . . ma non seppe essere coerente fino in fondo! Senza nessuna necessità, ad un certo punto affermò di aver trovato una contraddizione.
Tutto cambia a partire dalla prima metà del XIX secolo
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793 - 1856) Nel 1835 - 1838 pubblica (in russo) “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” Nel 1840 (in tedesco) “Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele”
Lobacevskij ammette i primi quattro postulati di Euclide … ma nega il quinto, per quanto riguarda l’unicità della parallela.
Teoria di Lobacevskij P r s s’ La retta s parallela ad r esiste s non è l’unica parallela ad r
Procedendo con metodo deduttivo, Lobacevskij deriva una geometria del tutto logica e priva di contraddizioni, oggi detta Geometria di Lobacevskij - Bolyai
Janos Bolyai (1802 - 1860) Matematico ungherese, nel 1832 pubblica, in appendice ad un trattato del padre Wolfgang, uno scritto in cui arriva a conclusioni analoghe a quelle di Lobacevskij
Il padre Wolfgang, orgoglioso, sottopone il lavoro del figlio al più grande matematico dell’epoca Karl Friedrich Gauss ma. . .
Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Gauss afferma che era da tempo arrivato alle stesse conclusioni. . . ma non le aveva pubblicate perché nessuno le avrebbe accettate. Bolyai ci rimane molto male. . .
Alcuni teoremi della geometria di Lobacevskij - Bolyai Detta anche Geometria iperbolica u per un punto passano infinite parallele u la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di due angoli retti u non ci sono quadrilateri con 4 retti u in triangoli disuguali le somme degli angoli interni sono disuguali
a + b + g = 2 retti - d g a b d si dice difetto Il difetto tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori. . . La geometria euclidea è un caso limite di quella iperbolica!
Bernhard Riemann (1826 - 1866) Nel 1854 tesi per libera docenza a Gottingen: “Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria”
Lobacevskij e Bolyai negano l’unicità della parallela. . . Riemann ne nega l’esistenza. P r La parallela ad r non esiste
Una conseguenza della geometria di Riemann Detta anche Geometria ellittica u la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti
a + b + g = 2 retti + e g a b e si dice eccesso L’eccesso tende a zero per triangoli di dimensioni sempre minori. . . La geometria euclidea è un caso limite anche di quella ellittica!
Sorgono spontanee delle domande Dato che esistono tre geometrie (iperbolica, ellittica ed euclidea). . . u qual è la geometria vera? u si può rispondere a questa domanda? u ha senso la prima domanda?
Modelli di geometrie Tutti noi abbiamo un chiaro modello dell’ambiente in cui si realizza la geometria euclidea. . . un foglio di carta
Un modello di geometria ellittica: la sfera Q P P Q Definiamo punto una coppia di punti diametralmente opposti
Le rette nella geometria sferica Definiamo retta ogni circonferenza massima
Relazioni tra punti e rette nella geometria sferica Segmento PQ Q P Per due punti passa una sola retta
Relazioni tra rette nella geometria sferica r s Due rette si incontrano sempre in un punto Non esistono rette parallele
Nella geometria sferica non vale il 5° postulato Q Q Da un punto esterno ad una retta non si possono tracciare parallele
I triangoli nella geometria sferica g a b a = b = retto a + b + g > 2 retti
Modelli di geometria iperbolica
Un esempio di modello di geometria iperbolica Superfici a curvatura negativa Pseudosfera
Eugenio Beltrami (1835 - 1900) Matematico italiano, nel 1868 propose il modello di geometria iperbolica basato sulla pseudosfera.
Felix Klein (1849 - 1925) Matematico tedesco, propose un altro modello di geometria iperbolica
Il modello di Klein per la geometria iperbolica L’ambiente è un cerchio C privato della circonferenza di contorno I punti sono quelli interni a C Le rette sono le corde (estremi esclusi) C t P s B A r
Rette parallele nel modello di Klein Data le retta r ed il C punto P esterno Esistono infinite parallele ad r per P P t Le rette s e t sono “di confine” s r
Distanza tra punti nel modello di Klein Consideriamo i C punti A, B su r Qual è la loro distanza? La nozione usuale non va bene. A B r
La distanza di Klein è un po’ complicata. . . C H A B r K
ma efficace per piccole distanze. . . Se B A C H A BBB B r K
e grandi distanze! Se B K C H A B BBB B K r La retta ha lunghezza infinita!
Un esempio da Escher
In conclusione Possiamo ora rispondere alla domanda “Qual è la vera geometria? ” La risposta è nelle parole scritte nel 1887 dal matematico e filosofo francese Henri Poincaré
Henri Poincaré (1854 - 1912) “Il problema se sia vera l’una o l’altra delle tre geometrie è senza senso. Altrettanto varrebbe domandarsi se il sistema metrico è vero e false le misure antiche. Una geometria non può essere più vera di un’altra, può essere soltanto più comoda”
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