GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento
GEOMETRIE NON EUCLIDEE Silvia Benvenuti Corso di Perfezionamento Insegnare Matematica e Fisica oggi Università di Camerino - Dicembre 2008
• Gli Elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
• Gli Elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Manuale di gioco Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Sistema assiomatico • Termini (primitivi e definiti) • Assiomi e postulati • Teoremi Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Termini Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Postulati Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Assiomi Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Proposizioni • Le prime. Proposizione 28 e la 3117: sono indipendenti dal V Proposizione 29: triangolo la somma di due In ogni postulato Se r e s angoli, sono parallele, allora formano condiuna comunque presi, è minore • Dipendono dal V postulato tuttesupplementari, le altre, trasversale tretti. angoli coniugati interni due cui laangoli 29, Proposizione la 32, interni la 27: 47 e angoli (Teorema di Pitagora) alterni corrispondenti uguali. 32: retta Se una a cadere su • La. Proposizione 17 è l’inversa delche. V, venga la 29 è l’inversa In ogni altre triangolo, se siforma prolunga uno dei lati, due rette gli angoli dellal’angolo 27 e alterni 28, lainterni 32 implica laloro, 16 ledei edue 17 esterno è uguale allatra somma due angoli uguali interni erette opposti, e la tra somma dei tre angoli interni saranno loro parallele. del triangolo è uguale a due retti. Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Digressione Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
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Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Formulazioni equivalenti Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Elenco di enunciati sostitutivi Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
La geometria assoluta Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
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Dalla pallavolo al beach volley: il punto di vista del matematico moderno Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Dati una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste una sola retta passante per P e parallela ad r Playfair N 1 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, esiste più di una retta passante per P e parallela ad r N 2 Data una retta r e un punto P non appartenente ad r, non esiste nessuna retta passante per P e parallela ad r Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
In un triangolo la somma degli angoli interni è uguale a 180° Saccheri N 1 In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180° N 2 In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180° Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Geometria o geometrie? “ Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Libertà! Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
La rivoluzione non euclidea Immanuel Kant (1724 -1804) Carl Friedrich Gauss (1777 -1855) Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Kant … e i Munduruku Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Come violette a primavera Due giuristi: Schweikart (1780 -1859) e Taurinus (1794 -1874) … … un militare Bolyai (1802 -1860) … e un matematico Lobačevskij (1793 -1856) Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Letteratura Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Geometrie diseducative? Giornale di matematiche ad uso degli studenti PRO • Giuseppe Battaglini (1826 -92) • Eugenio Beltrami (1835 -1900) • … CONTRO • • Giusto Bellavitis (1803 -80) Angelo Genocchi (1817 -89) Luigi Cremona (1830 -1903) Francesco Brioschi (1824 -97) «geometriefilosofiche delradicale soprasensibile» o «dasono manicomio» «a causa delle suediimplicazioni l’insegnamento dellail «i tentativi rinnovamento dei principi geometria non euclideadello si rivelerà molto utilee alla gioventù. portato naturale spirito critico, quando si «i geometri non euclidei hanno una comprensione oscura e Infatti, essa dilatacome il confine delle nostre idee, e può dar luogo ae presentano frutto di investigazioni coscienziose menti ingannevoli, e l’insegnamento della geometria alla «è la ragione che impone il dovere di fare un po’ di pubblicità meditazioni elevate esincere feconde» di convinzioni il dovere degli uomini dinelle scienza immaginaria o non euclidea nelle università e scuole geometria non euclidea, e quest’obbligo è tanto più pressante in agli geometria non euclidea nondi può «racconti di «la fate» , «elucubrazioni deliranti unprocurare professore è di discuterli confelicemente animo sereno, tenendosi lontano darebbe origine a una razza di studenti arrogante earroganza sciocca, quanto l’Italia, divenuta Nazione, è particolarmente studenti altro che stanchezza, vuotezza, universitario elevate al rango di nuove verità sovrumane, per» « solougualmente un’incredibile ignoranza può spingere a impedirne lo studio dall’entusiasmo e dal disprezzo» . che potrebbe compromettere la società» interessata a che la esua gioventù sia al corrente dell’ininterrotto stupidità» merito della megalomania» , progresso delle scienze esatte» . Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Libertà: l’influenza sull’arte moderna «se si desiderasse collegare lo spazio dei pittori a qualche geometria, bisognerebbe fare riferimento ai sapienti non euclidei, meditare su certi [loro] teoremi» Du cubisme (1912), Albert Gleizes e Jean Metzinger «Lobačevskij ha fatto esplodere l’assolutismo di Euclide. Con quadro èegli l’arte far incontrare linee, di cui si. Tutti constata Gauss «Un e Riemann ha di distrutto il rigidodue spazio euclideo. geometricamente il parallelismo, su una tela, gli oggetti matematici che essi hanno stabilito sonodavanti ai nostri occhi, nellae realtà di un mondo trasfigurato che segua inimmaginabili inaccessibili alla sensazione. schiudersi Pelham Grenville Wodehouse, Herbert George Lo Wells, Oscarnuove Wilde, e possibilità» della condizioni nuova epoca, annunciata dalla costruzione nuovi mondi Joseph Conrad, Ford Madox Ford, Marcel Proust, di. Gertrude Stein Tzara matematici, portava con sé una tentazione, e. Tristan gli artisti non(1896 -1963) hanno saputo resistere alla sua forza seduttrice. […] Noi abbiamo Alexander Scriabin, Edgar Varèse, George Antheil deciso di accettare come evidenti e necessarie le concezioni che i nostri predecessori hanno considerato come inconcepibili e che, in effetti, essi erano incapaci di concepire» . Eliezer El Lissitzky (1830 -1941) Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Coerenza logica e modellizzazione Costruire dei modelli di geometria non euclidea all’interno di quella euclidea: 1. interpretare gli enti primitivi della geometria non euclidea in termini degli enti primitivi di quella euclidea; 2. tradurre gli assiomi della geometria non euclidea nei corrispondenti enunciati euclidei; 3. dimostrare che gli enunciati euclidei così ottenuti sono tutti teoremi validi. la coerenza del sistema modellizzato segue immediatamente da quella del sistema “ospite” Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
• Gli elementi di Euclide • Il problema del V postulato • La negazione del V postulato e le geometrie non euclidee • La geometria iperbolica • La geometria ellittica • Le tre geometrie • Un vero viaggio di scoperta Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Caccia all’intruso ? ? ? Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Che cos’è un segmento? Che cos’è una retta? Segmento AB = il più breve tra tutti i percorsi che congiungono A e B Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Le rette del mappamondo… Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
…e le rotte degli aerei Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
…e le rotte degli aerei Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Caccia all’intruso - seguito Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Infinito vs illimitato Nozione topologica Nozione metrica Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Formalizzando: modello della sfera - S 2 (geometria ellittica doppia) Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Geometria dello sputo Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Teoremi immediati della geometria sferica • tutte le rette hanno la stessa lunghezza finita 2π; • il piano della geometria sferica ha area finita 4π; • le perpendicolari a una stessa retta s si incontrano in due punti, tra loro antipodali, che chiamiamo poli della retta s; Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Triangoli gonfi Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Triangoli gonfi Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Niente similitudini! Teorema dell’eccesso di Gauss: Area ( )= α + β + γ - π Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Calcolo dell’area di un triangolo sferico Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
E Pitagora? Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
L’universo di Riemann… Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
…e quello di Dante! Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Prospettiva sferica Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
Modello della semisfera - B 2 (geometria ellittica singola) Silvia Benvenuti – Geometrie non euclidee – Università di Camerino – Dicembre 2008
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